Grundlagen der Algebra

Bei dem Wort „Algebra“ bekommen viele Schülerinnen und Schüler Bauchschmerzen. Dabei ist die Algebra eines der logischsten Gebiete der Mathematik: Sie ist Rechnen mit Platzhaltern. Wenn du die Regeln einmal verstanden hast, wirken Aufgaben mit x und y kaum noch geheimnisvoll.

Hier lernst du die wichtigsten Begriffe, die Reihenfolge der Rechenoperationen und die ersten Gleichungen kennen. Am Ende erfährst du, wie die Algebra vor über 1.200 Jahren zu ihrem Namen kam. Die Seite ist der Einstieg in den Bereich Algebra.

Was ist Algebra?

In der Arithmetik rechnest du mit festen Zahlen: 3 + 4 = 7. Die Algebra geht einen Schritt weiter. Statt 3 + 4 schreibt sie a + b, wobei a und b für beliebige Zahlen stehen. Das bringt zwei große Vorteile.

Erstens kannst du allgemeine Regeln aufschreiben. Die Aussage a + b = b + a gilt für alle Zahlen, das ist das Kommutativgesetz. Zweitens kannst du Unbekannte berechnen. Aus 3 + x = 7 folgt x = 4.

Dabei ist Algebra mehr als „Buchstaben statt Zahlen“. Der Kern ist das Modellieren: Du beschreibst eine Situation mit einer Gleichung, löst sie nach festen Regeln und prüfst, ob die Lösung zur Situation passt.

Wozu brauchst du Algebra im Alltag?

Algebra begegnet dir öfter, als du denkst, meist ohne dass jemand „Gleichung“ sagt.

• Kochen: Für 4 Personen brauchst du 300 g Nudeln, also 75 g pro Person. Für n Personen gilt 75 · n Gramm. Bei 6 Personen sind das 450 g.
• Sparen: Du legst 15 € im Monat zurück, ein Spiel kostet 60 €. Aus 15 · m = 60 folgt m = 4 Monate.
• Sport: Es gilt v = s : t. Wer 100 m in 12,5 s läuft, erreicht 100 : 12,5 = 8 m/s.
• Informatik: In jedem Programm stehen Variablen. Die Anweisung „Punkte = Punkte + 10“ zählt bei jedem Treffer zehn Punkte dazu.

Zentrale Begriffe: Variable, Term, Gleichung

Drei Wörter brauchst du für den Einstieg. Eine ausführliche Erklärung mit weiteren Begriffen wie Koeffizient, Summand oder Monom findest du auf der Seite Grundlagen algebraischer Begriffe.

Variable und Konstante

Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine Zahl steht, zum Beispiel x, y oder t. Eine Konstante ist ein fester Wert, etwa die Zahl 7. Im Ausdruck 3x + 7 ändert sich x von Fall zu Fall, die 7 bleibt immer 7.

Term und Gleichung

Ein Term (auch Ausdruck, englisch expression) verbindet Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, zum Beispiel 5x − 4 + 2y. Er enthält kein Gleichheitszeichen und ist deshalb keine Aussage, sondern eine Rechenvorschrift. Eine Gleichung setzt zwei Terme gleich, zum Beispiel 3x + 2 = 11. Sie ist eine Aussage, die für manche Werte von x wahr ist und für andere falsch.

Die Reihenfolge der Rechenoperationen

Damit alle bei demselben Term auf dasselbe Ergebnis kommen, gilt eine feste Reihenfolge (mehr dazu bei der Reihenfolge der Rechenoperationen):

1. Zuerst rechnest du alles in Klammern.
2. Dann berechnest du Potenzen.
3. Danach folgen Mal und Geteilt („Punktrechnung“).
4. Zuletzt kommen Plus und Minus („Strichrechnung“).

Stehen gleichrangige Rechenzeichen nebeneinander, rechnest du von links nach rechts.

Die Grundrechenarten mit zwei Variablen

Sind a und b zwei Zahlen, lassen sich daraus die einfachsten Terme bilden. Die Spalte rechts zeigt jeweils einen Zahlenwert für a = 12 und b = 4.

Beachte die Reihenfolge: b − a ist eine andere Zahl als a − b. Hier wäre 4 − 12 = −8. Das Malzeichen darfst du zwischen Variablen weglassen, ab bedeutet a · b. Zwischen zwei Zahlen geht das nicht: 12 · 4 ist 48, nicht 124. Alle Schreibregeln erklärt die Seite Wie schreibt man algebraische Terme?.

Wichtige Formeln der Algebra

Einige Umformungen kommen so oft vor, dass man sie als Formeln auswendig kennt. Die Zahlenproben in der letzten Spalte zeigen, dass jede Formel stimmt.

Die ersten drei Zeilen sind die binomischen Formeln. Sie werden bei den quadratischen Gleichungen ausführlich geübt, die Würfelformeln gehören zum Binomischen Lehrsatz.

Erste Gleichungen lösen

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Legst du links etwas dazu, musst du rechts dasselbe dazulegen, sonst kippt die Waage. Auf dieser Idee beruhen die Eigenschaften der Gleichheit. Praktisch heißt das: Du machst eine Rechnung mit der Umkehroperation, und zwar auf beiden Seiten. Die Probe am Ende zeigt dir, ob du richtig gerechnet hast.

Alle Verfahren, von der einfachen Umformung bis zu Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten, findest du auf der Seite Gleichungen lösen.

Ein Term aus dem Alltag: der Wocheneinkauf

Variablen helfen auch, Rechnungen übersichtlich zu halten. Du willst 2 Dutzend Eier, 3 Brote und 5 Flaschen Saft kaufen. Setze a für den Preis eines Dutzends Eier, b für den Preis eines Brotes und c für den Preis einer Flasche.

Geschichte: Wie die Algebra zu ihrem Namen kam

Wer glaubt, die Algebra sei eine Erfindung der Buchstabenrechnung, irrt. Aufgaben, die wir heute mit Gleichungen lösen, rechneten schon die Babylonier vor rund 4.000 Jahren (Sumerische und babylonische Mathematik). Den Namen verdanken wir aber einem Buch aus Bagdad.

Al-Chwarizmi und das Ergänzen

Um 820 schrieb Muhammad al-Chwarizmi ein Lehrbuch, dessen Titel man mit „Das kurz gefasste Buch über das Rechnen durch Ergänzen und Ausgleichen“ übersetzen kann. Das arabische Wort al-dschabr („das Ergänzen“) wurde zum Namen des ganzen Fachs. Im 12. Jahrhundert wurde das Buch ins Lateinische übersetzt, und aus al-dschabr wurde algebra.

Beide Verfahren aus dem Titel sind Umformungen, die du heute noch benutzt. Beim Ergänzen schaffst du abgezogene Terme weg. Aus x² = 40x − 4x² wird durch Addieren von 4x² auf beiden Seiten 5x² = 40x. Beim Ausgleichen fasst du gleiche Sorten zusammen. Aus 50 + x² = 29 + 10x wird durch Abziehen von 29 auf beiden Seiten 21 + x² = 10x. Dabei schrieb al-Chwarizmi jede Gleichung in Worten, Symbole gab es nicht.

Von Wörtern zu Symbolen

Danach entwickelte sich die Schreibweise in drei Stufen. Diophant kürzte im 3. Jahrhundert n. Chr. die Unbekannte und ihre Potenzen ab. François Viète nutzte 1591 Buchstaben auch für gegebene Zahlen und konnte so allgemeine Formeln aufschreiben. René Descartes führte 1637 die heutige Verabredung ein: Buchstaben vom Ende des Alphabets (x, y, z) für Unbekannte, vom Anfang (a, b, c) für bekannte Größen.

Wie geht es weiter?

Als Nächstes lernst du auf der Seite Algebraische Ausdrücke, wie du Termwerte berechnest. Danach folgt Wie schreibt man algebraische Terme? mit Textaufgaben. Alle Themen im Überblick findest du bei der Algebra.

Häufige Fragen

Was ist Algebra einfach erklärt?

Algebra ist das Rechnen mit Platzhaltern. Du benutzt Buchstaben für Zahlen, schreibst damit allgemeine Regeln auf und berechnest unbekannte Zahlen mithilfe von Gleichungen.

Warum heißt die Algebra „Algebra“?

Das Wort kommt vom arabischen al-dschabr („das Ergänzen“) aus dem Titel eines Buches von al-Chwarizmi (um 820). Durch lateinische Übersetzungen wurde daraus algebra.