Stetigkeit und Epsilon-Delta

Anschaulich ist eine Funktion stetig, wenn du ihren Graphen zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen. Dieses Bild trägt weit, aber es beweist nichts. Wer fragt, ob $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$ in 0 stetig ist oder ob eine Funktion auf $ℝ$ überall stetig und doch nirgends ableitbar sein kann, braucht eine Definition, mit der man rechnen kann. Die liefert die Epsilon-Delta-Definition, die du in der ersten Analysis-Vorlesung lernst. Die anschauliche Einführung steht schon auf der Seite Analysis.

Hier erfährst du, wie du Stetigkeit mit der Epsilon-Delta-Definition und mit Folgen nachweist, welche Rechenregeln gelten, und was die Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen besagen: Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum und gleichmäßige Stetigkeit. Beweise nutzen die Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Grenzwert einer Funktion

Zuerst die Frage, was $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ bedeuten soll. Gemeint ist: Je näher $x$ an $a$ liegt (aber $x\ne a$), desto näher liegt $f(x)$ an $L$. Exakt heißt das:

Der Wert $f(a)$ selbst spielt dabei keine Rolle, die Stelle $a$ wird ausgelassen. Deshalb hat $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ bei $a=2$ den Grenzwert 4, obwohl $f(2)$ gar nicht erklärt ist: Für $x\ne 2$ ist $f(x)=x+2$. Man unterscheidet einseitige Grenzwerte $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$ (nur $x>a$) und $\underset{x\to a^{-}}{\lim }$ (nur $x<a$). Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide existieren und gleich sind.

Stetigkeit mit Epsilon und Delta

Das Bild dazu: Du gibst eine Fehlertoleranz $\epsilon$ für den Funktionswert vor, ein waagerechtes Band um $f(a)$. Dann musst du einen senkrechten Streifen $\delta$ um $a$ finden, in dem der Graph ganz in diesem Band bleibt. Je kleiner das Band, desto schmaler wird der Streifen, aber es muss immer einen geben.

Die Reihenfolge der Quantoren ist entscheidend: Erst kommt $\epsilon$, dann darf $\delta$ von $\epsilon$ (und von $a$) abhängen. Ein Beweis hat deshalb immer denselben Ablauf: Sei $\epsilon >0$ beliebig. Wähle $\delta =\dots$ (aus einer Nebenrechnung). Dann gilt für alle $x$ mit $|x-a|<\delta$ die Abschätzung $|f(x)-f(a)|<\epsilon$.

Wie man Unstetigkeit zeigt

Verneint man die Definition, steht da: $f$ ist in $a$ nicht stetig, wenn es ein $\epsilon >0$ gibt, sodass zu jedem $\delta >0$ ein $x$ mit $|x-a|<\delta$ und $|f(x)-f(a)|\ge \epsilon$ existiert. Die Vorzeichenfunktion $\mathrm{sgn}(x)$ ist bei 0 so ein Fall: Nimm $\epsilon =\frac{1}{2}$ und $f(0)=0$. Zu jedem $\delta$ liegt $x=\frac{\delta }{2}$ im Streifen, aber $|\mathrm{sgn}(x)-0|=1\ge \frac{1}{2}$. Ein noch wilderes Beispiel ist die Dirichlet-Funktion, die 1 auf den rationalen und 0 auf den irrationalen Zahlen ist: Sie ist an keiner Stelle stetig, denn in jedem Streifen liegen rationale und irrationale Zahlen (Dichtheit).

Das Folgenkriterium

Das Kriterium ist besonders nützlich, um Unstetigkeit zu zeigen: Es genügt eine Folge, bei der es schiefgeht. Betrachte $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ für $x\ne 0$ und $f(0)=0$. Die Folge $x_n=\frac{1}{\pi /2+2\pi n}$ geht gegen 0, aber $f(x_n)=\sin (\frac{\pi }{2}+2\pi n)=1$ für alle $n$. Die Folge $y_n=\frac{1}{2\pi n}$ geht ebenfalls gegen 0, aber $f(y_n)=0$. Es gibt also keinen Grenzwert, und $f$ ist in 0 nicht stetig, egal welchen Wert man dort festlegt.

Beweisidee. Ist $f$ stetig und $x_n\to a$, wähle zu $\epsilon$ das $\delta$ aus der Definition und dann $N$ mit $|x_n-a|<\delta$ für $n\ge N$. Dann gilt $|f(x_n)-f(a)|<\epsilon$. Ist $f$ nicht stetig, gibt es ein $\epsilon$ und zu jedem $\delta =\frac{1}{n}$ ein $x_n$ mit $|x_n-a|<\frac{1}{n}$ und $|f(x_n)-f(a)|\ge \epsilon$. Diese Folge konvergiert gegen $a$, die Bilder aber nicht gegen $f(a)$.

Rechenregeln

Mit dem Folgenkriterium übertragen sich die Grenzwertsätze für Folgen sofort auf Funktionen: Sind $f$ und $g$ in $a$ stetig, so sind es auch $f+g$, $c·f$, $f·g$ und, wenn $g(a)\ne 0$, auch $\frac{f}{g}$. Ist $g$ in $a$ und $h$ in $g(a)$ stetig, so ist die Verkettung $h\circ g$ in $a$ stetig. Daraus folgt: Polynome, rationale Funktionen (dort, wo der Nenner nicht 0 ist), Wurzeln, Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus und Kosinus sind stetig auf ihrem Definitionsbereich. Funktionen wie $\frac{\sin x}{x}$ oder $e^{-x^2}$ sind damit stetig, ohne dass man ein $\delta$ suchen muss.

Der Zwischenwertsatz

Beweis für $f(a)<0<f(b)$ und $c=0$. Sei $S=\{x\in [a,b]\mid f(x)<0\}$. Die Menge ist nicht leer ($a\in S$) und beschränkt, hat also ein Supremum $s=\sup S$. Wäre $f(s)<0$, wäre wegen der Stetigkeit auch $f(x)<0$ für alle $x$ in einer Umgebung von $s$, also gäbe es Elemente von $S$ rechts von $s$, ein Widerspruch. Wäre $f(s)>0$, wäre $f>0$ auf einem Intervall $(s-\delta ,s]$, dann wäre $s-\delta$ eine kleinere obere Schranke von $S$, ebenfalls ein Widerspruch. Also ist $f(s)=0$. Der allgemeine Fall folgt, indem man $f-c$ betrachtet.

Eine schöne Folgerung ist der Fixpunktsatz in einer Dimension: Jede stetige Funktion $f:[0,1]\to [0,1]$ hat einen Fixpunkt, also ein $x$ mit $f(x)=x$. Denn $g(x)=f(x)-x$ erfüllt $g(0)=f(0)\ge 0$ und $g(1)=f(1)-1\le 0$. Außerdem ist das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion wieder ein Intervall. Beides stimmt nicht mehr, wenn man Lücken zulässt: Die Funktion $x\mapsto x^2-2$ wechselt in $\mathbb{Q}$ das Vorzeichen, ohne in $\mathbb{Q}$ eine Nullstelle zu haben.

Der Satz vom Maximum und Minimum

Beweisidee. Sei $M=\sup \{f(x)\mid x\in [a,b]\}$ (möglicherweise $\infty$). Wähle Punkte $x_n$ mit $f(x_n)\to M$. Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß hat $(x_n)$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert $x^{·}\in [a,b]$. Wegen der Stetigkeit konvergiert $f$ an dieser Teilfolge gegen $f(x^{·})$. Also ist $M=f(x^{·})$ endlich und wird angenommen.

Beide Voraussetzungen sind nötig. Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ auf $(0,1]$ ist stetig, aber nach oben unbeschränkt. Die Funktion $f(x)=x$ auf dem offenen Intervall $(0,1)$ ist stetig und beschränkt, nimmt aber weder Maximum noch Minimum an. Der Satz ist die Grundlage der Optimierung: Eine stetige Funktion auf $[a,b]$ hat immer eine größte und eine kleinste Stelle, die man in den Randpunkten oder bei den Nullstellen der Ableitung suchen kann.

Gleichmäßige Stetigkeit

In der Definition der Stetigkeit darf das $\delta$ vom Punkt $a$ abhängen. Bei $f(x)=x^2$ musst du den Streifen umso schmaler wählen, je weiter rechts du bist, denn der Graph wird steiler. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit verlangt man ein $\delta$, das für alle Punkte gleichzeitig passt.

Dieser Satz ist der Schlüssel zum Riemann-Integral: Er zeigt, dass jede stetige Funktion integrierbar ist. Eine häufig nützliche Teilmenge der gleichmäßig stetigen Funktionen sind die Lipschitz-stetigen: Gilt $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ für alle $x,y$, wähle $\delta =\frac{\epsilon }{L}$. Eine differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung ist Lipschitz-stetig, das folgt aus dem Mittelwertsatz.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von der Anschauung zur Definition

Bis ins 18. Jahrhundert galt eine Funktion als stetig, wenn sie sich durch einen einzigen Rechenausdruck beschreiben ließ. Bernard Bolzano gab 1817 die erste Definition mit Schranken an und bewies den Zwischenwertsatz mit einem Supremumsargument. Augustin-Louis Cauchy erklärte Stetigkeit 1821 im Cours d’analyse mit unendlich kleinen Größen. Die heutige Epsilon-Delta-Sprache setzte sich durch Karl Weierstraß durch, der sie in seinen Berliner Vorlesungen ab den 1860er-Jahren verwendete. Eduard Heine führte 1872 die gleichmäßige Stetigkeit ein. Mit der Weierstraß-Funktion war endgültig klar, dass die Anschauung nicht ausreicht.

Weiter im Studium: Stetigkeit und Konvergenz lassen sich auf beliebige Räume mit einem Abstand übertragen, siehe Metrische Räume und Topologie. Für Folgen von Funktionen gibt es die gleichmäßige Konvergenz, siehe Funktionenfolgen und Potenzreihen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Stetigkeit
• Wikipedia: Zwischenwertsatz
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin.
• Bernard Bolzano: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege, Prag 1817.