Mathematik lernen · Studium

Reelle Zahlen und Vollständigkeit

Warum reichen die rationalen Zahlen nicht aus, und was macht die reellen Zahlen vollständig? Du lernst Supremum und Infimum, das Vollständigkeitsaxiom und seine wichtigsten Folgerungen, Cauchy-Folgen und den Satz von Bolzano und Weierstraß.

11 Min. Lesezeit Lernpfad Studium und Selbststudium, Schritt 13 von 70

Die Analysis I beginnt mit einer Frage, die in der Schule nie gestellt wird: Was sind eigentlich die reellen Zahlen? Du kennst $\sqrt{2}$ , $π$ und $e$ als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen, aber das ist keine Definition. Mathematisch sind die reellen Zahlen $ℝ$ ein vollständiger angeordneter Körper: Man kann in ihnen rechnen, sie sind der Größe nach geordnet, und es gibt keine Lücken. Die Lückenlosigkeit, die Vollständigkeit, ist die Eigenschaft, auf der Grenzwerte, Stetigkeit, Ableitung und Integral beruhen.

Hier erfährst du, warum $ℚ$ Lücken hat, wie Supremum und Infimum die kleinste obere Schranke beschreiben, was das Vollständigkeitsaxiom aussagt und welche Sätze daraus folgen. Dazu kommen Intervallschachtelungen, Cauchy-Folgen und der Satz von Bolzano und Weierstraß. Grenzwerte von Folgen und die Epsilon-Sprache stehen auf der Seite Folgen und Grenzwerte, die Beweisformen auf Beweisverfahren. Zum Üben gibt es einen Aufgabengenerator für Supremum und Infimum.

Rechnen und Ordnen: die Axiome

Die reellen Zahlen erfüllen zuerst die Körperaxiome: Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ, es gibt die neutralen Elemente 0 und 1 und zu jedem $a$ das Negative $- a$ , zu jedem $a \neq 0$ den Kehrwert $a^{- 1}$ , und es gilt das Distributivgesetz. Was das für Strukturen sind, steht auf der Seite Ringe und Körper. Dazu kommen die Ordnungsaxiome: Je zwei Zahlen sind vergleichbar ( $a \leq b$ oder $b \leq a$ ), $\leq$ ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv (eine Totalordnung), und sie passt zu den Rechenoperationen: Aus $a \leq b$ folgt $a + c \leq b + c$ , und aus $0 \leq a$ und $0 \leq b$ folgt $0 \leq a b$ .

Alle gewohnten Regeln folgen daraus, zum Beispiel $a^{2} \geq 0$ für alle $a$ oder: Aus $a < b$ und $c > 0$ folgt $a c < b c$ . Wichtig für die Analysis ist der Betrag $| x | = x$ für $x \geq 0$ und $| x | = - x$ für $x < 0$ . Er misst den Abstand von $x$ zu 0 und $| x - y |$ den Abstand von $x$ zu $y$ .

Beweis. Es gilt $- | a | \leq a \leq | a |$ und $- | b | \leq b \leq | b |$ . Addierst du beide Ungleichungen, folgt $- (| a | + | b |) \leq a + b \leq | a | + | b |$ . Das heißt genau $| a + b | \leq | a | + | b |$ . Für die zweite Aussage schreibst du $| a | = | (a - b) + b | \leq | a - b | + | b |$ und stellst um: $| a | - | b | \leq | a - b |$ . Vertauschst du $a$ und $b$ , folgt $| b | - | a | \leq | a - b |$ , und beide Ungleichungen zusammen sind die Behauptung mit dem Betrag außen.

Supremum und Infimum

Eine Menge $M \subseteq ℝ$ heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $s$ mit $x \leq s$ für alle $x \in M$ gibt. Jede solche Zahl heißt obere Schranke. Das Supremum $\sup M$ ist die kleinste obere Schranke. Entsprechend ist das Infimum $\inf M$ die größte untere Schranke.

Ein Maximum muss es nicht geben. Das Intervall $M = [0, 1)$ hat keine größte Zahl, denn zu jedem $x < 1$ liegt $\frac{x + 1}{2}$ noch in $M$ und ist größer. Trotzdem hat $M$ ein Supremum, nämlich 1: Das ist eine obere Schranke, und jede kleinere Zahl ist keine mehr.

Die Menge

M = [0, 1)

hat kein Maximum. Ihre oberen Schranken sind alle Zahlen ab 1, und die kleinste davon ist das Supremum 1.

Supremum, Infimum, Maximum und Minimum an Beispielen
Menge	Infimum	Supremum	Min / Max
$(- 2, 3]$	$- 2$	$3$	kein Min, Max $= 3$
${\frac{1}{n} ∣ n \geq 1}$	$0$	$1$	kein Min, Max $= 1$
${{(- 1)}^{n} (1 - \frac{1}{n}) ∣ n \geq 1}$	$- 1$	$1$	weder noch
$ℕ$	$0$	nicht beschränkt	Min $= 0$

Das Vollständigkeitsaxiom

Dieses Axiom unterscheidet $ℝ$ von $ℚ$ . In $ℚ$ gilt es nicht: Die Menge $M = {x \in ℚ ∣ x^{2} < 2}$ ist beschränkt (durch 2), hat aber keine kleinste obere Schranke in $ℚ$ . Die „Lücke“ wäre $\sqrt{2}$ , und die ist wie im Abschnitt Wurzel aus 2 gezeigt nicht rational. Die Obergrenze liegt in $ℝ$ : Dort ist $\sup M = \sqrt{2}$ .

Wichtige Folgerungen

Archimedisches Prinzip: Zu jeder reellen Zahl $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n > x$ . Beweis: Wäre $ℕ$ nach oben beschränkt, gäbe es $s = \sup ℕ$ . Dann wäre $s - 1$ keine obere Schranke, es gäbe also $n$ mit $n > s - 1$ , und damit $n + 1 > s$ im Widerspruch zur oberen Schranke $s$ .
Dichtheit von $ℚ$ : Zwischen je zwei reellen Zahlen $a < b$ liegt eine rationale Zahl. Beweis: Wähle $n$ mit $n (b - a) > 1$ und dann die kleinste ganze Zahl $m$ mit $m > n a$ . Es folgt $m \leq n a + 1 < n b$ und damit $a < \frac{m}{n} < b$ .
Existenz von Wurzeln: Zu jedem $a > 0$ gibt es genau ein $x > 0$ mit $x^{2} = a$ . Man erhält es als $x = \sup {t > 0 ∣ t^{2} < a}$ . Dass dieses Supremum wirklich $x^{2} = a$ erfüllt, zeigt die Beweisidee im Kasten darunter für $a = 2$ .
Monotoniekriterium: siehe unten.

Beweisidee: Warum $\sqrt{2}$ in $ℝ$ existiert

Sei $M = {t > 0 ∣ t^{2} < 2}$ . Die Menge ist nicht leer, denn $1 \in M$ . Sie ist durch 2 nach oben beschränkt, denn aus $t \geq 2$ folgt $t^{2} \geq 4$ . Nach dem Vollständigkeitsaxiom gibt es also $x = \sup M$ , und es gilt $x \geq 1$ . Wir zeigen $x^{2} = 2$ , indem wir die beiden anderen Möglichkeiten ausschließen.

Angenommen, $x^{2} < 2$ . Dann kann man $x$ um ein kleines $h$ mit $0 < h \leq 1$ vergrößern, ohne 2 zu überschreiten. Es ist ${(x + h)}^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ $\leq x^{2} + h (2 x + 1)$ . Das ist kleiner als 2, wenn $h (2 x + 1) < 2 - x^{2}$ ist, und so ein $h$ gibt es, weil $2 - x^{2} > 0$ gilt. Dann liegt $x + h$ in $M$ und ist größer als $x$ . Das widerspricht der Eigenschaft von $x$ , obere Schranke zu sein.
Angenommen, $x^{2} > 2$ . Dann kann man $x$ um ein kleines $h$ verkleinern und bleibt über 2. Setze $h = \frac{x^{2} - 2}{2 x}$ . Dann ist $0 < h < x$ und ${(x - h)}^{2} = x^{2} - 2 x h + h^{2}$ $= 2 + h^{2} > 2$ . Jedes $t \in M$ erfüllt $t^{2} < 2 < {(x - h)}^{2}$ und damit $t < x - h$ . Also ist $x - h$ eine obere Schranke von $M$ , die kleiner ist als $x$ . Das widerspricht der Eigenschaft von $x$ , die kleinste obere Schranke zu sein.

Es bleibt $x^{2} = 2$ . Für jedes $a > 0$ geht der Beweis genauso mit ${t > 0 ∣ t^{2} < a}$ . Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass $t^{2}$ für positive $t$ mit $t$ streng wächst.

Wegen der Dichtheit liegen in jedem noch so kleinen Intervall sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Trotzdem ist $ℝ$ „viel größer“ als $ℚ$ : Die Menge $ℚ$ ist abzählbar, $ℝ$ nicht.

Intervallschachtelung

Eine Intervallschachtelung besteht aus Intervallen $[a_{n}, b_{n}]$ , die ineinander liegen, $[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subseteq [a_{n}, b_{n}]$ , und deren Länge $b_{n} - a_{n}$ gegen 0 geht. Das Intervallschachtelungsprinzip sagt: Es gibt genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt. Der Beweis benutzt die Vollständigkeit: Die Folge $(a_{n})$ ist nach oben durch $b_{1}$ beschränkt, also ist $s = \sup_{n} a_{n}$ erklärt, und es gilt $a_{n} \leq s \leq b_{n}$ für alle $n$ . Denn jedes $b_{n}$ ist obere Schranke aller $a_{m}$ : Für $m \leq n$ gilt $a_{m} \leq a_{n} \leq b_{n}$ , für $m > n$ gilt $a_{m} \leq b_{m} \leq b_{n}$ . Zwei verschiedene Zahlen in allen Intervallen hätten einen festen Abstand, der für große $n$ größer wäre als die Länge $b_{n} - a_{n}$ . Deshalb ist die Zahl eindeutig.

Monotone Folgen konvergieren

Beweis. Sei $s = \sup {a_{n}}$ , das existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom. Zu $ε > 0$ gibt es nach der Charakterisierung des Supremums ein $N$ mit $a_{N} > s - ε$ . Wegen der Monotonie gilt für alle $n \geq N$ : $s - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq s$ , also $| a_{n} - s | < ε$ .

Damit lässt sich die Eulersche Zahl einführen: Die Folge $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ist monoton wachsend und durch 3 beschränkt. Ihre Werte sind $a_{1} = 2$ , $a_{10} \approx 2,5937$ , $a_{100} \approx 2,7048$ und $a_{1000} \approx 2,7169$ . Sie konvergiert also, ohne dass man den Grenzwert vorher kennt, und dieser ist $e \approx 2,71828$ .

Cauchy-Folgen

Die Definition des Grenzwerts verlangt, dass man ihn schon kennt. Das Cauchy-Kriterium kommt ohne ihn aus: Eine Folge soll konvergieren, wenn ihre Glieder untereinander beliebig nah zusammenrücken.

Beweisidee. Konvergiert $a_{n} \to g$ , wähle $N$ mit $| a_{n} - g | < \frac{ε}{2}$ für $n \geq N$ . Dann gilt für $m, n \geq N$ nach der Dreiecksungleichung $| a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} - g | + | g - a_{m} | < ε$ . Für die Umkehrung zeigt man zuerst, dass eine Cauchy-Folge beschränkt ist, und wählt dann mit dem Satz von Bolzano und Weierstraß (nächster Abschnitt) eine Teilfolge, die gegen ein $g$ konvergiert. Weil die Glieder zusammenrücken, konvergiert dann die ganze Folge gegen $g$ .

In $ℚ$ gilt das Cauchy-Kriterium nicht: Die Folge der Dezimalnäherungen $1; 1,4; 1,41; 1,414; \dots$ von $\sqrt{2}$ ist eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen, aber ihr Grenzwert ist nicht rational. Aus dieser Beobachtung stammt eine zweite Möglichkeit, $ℝ$ zu definieren: Man identifiziert Cauchy-Folgen rationaler Zahlen, die sich um eine Nullfolge unterscheiden. Genau diese Konstruktion hat Georg Cantor 1872 angegeben. Auch in allgemeineren Räumen mit einem Abstand (metrische Räume) heißt ein Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, vollständig.

Der Satz von Bolzano und Weierstraß

Beweis (Intervallhalbierung). Alle Glieder liegen in einem Intervall $I_{0} = [a, b]$ . Halbiere es. Mindestens eine Hälfte enthält unendlich viele Folgenglieder, nenne sie $I_{1}$ . Halbiere $I_{1}$ und wiederhole. So entsteht eine Intervallschachtelung $I_{0} \supseteq I_{1} \supseteq \dots$ mit Längen $\frac{b - a}{2^{k}} \to 0$ . Wähle aus jedem $I_{k}$ ein Folgenglied $a_{n_{k}}$ mit wachsenden Indizes $n_{1} < n_{2} < \dots$ Der gemeinsame Punkt $g$ aller $I_{k}$ ist der Grenzwert dieser Teilfolge, denn $| a_{n_{k}} - g | \leq \frac{b - a}{2^{k}}$ .

Der Grenzwert einer Teilfolge heißt Häufungspunkt der Folge. Der größte Häufungspunkt heißt Limes superior $limsup a_{n}$ , der kleinste Limes inferior $liminf a_{n}$ . Bei $a_{n} = {(- 1)}^{n} (1 + \frac{1}{n})$ liegen die geraden Glieder bei $1 + \frac{1}{n} \to 1$ und die ungeraden bei $- (1 + \frac{1}{n}) \to - 1$ . Die Häufungspunkte sind also $1$ und $- 1$ , und es gilt $limsup a_{n} = 1$ und $liminf a_{n} = - 1$ . Das Supremum der Menge der Glieder ist dagegen $a_{2} = 1,5$ , und das ist etwas anderes. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist und nur einen Häufungspunkt hat.

Typische Fehler

Supremum mit Maximum verwechseln: Das Supremum muss nicht zur Menge gehören. $\sup [0, 1) = 1$ , aber ein Maximum gibt es nicht.
Obere Schranke mit Supremum verwechseln: Jede Zahl $\geq 1$ ist obere Schranke von $[0, 1)$ , aber nur 1 ist die kleinste.
„Beschränkt, also konvergent“: Beschränkt reicht nicht, die Folge ${(- 1)}^{n}$ ist beschränkt und divergiert. Mit Monotonie gilt der Schluss.
Betrag falsch auflösen: $| a + b | = | a | + | b |$ gilt nur, wenn $a$ und $b$ dasselbe Vorzeichen haben oder eine der Zahlen 0 ist. Allgemein gilt nur $\leq$ .
Cauchy-Bedingung nur für Nachbarglieder prüfen: $| a_{n + 1} - a_{n} | \to 0$ reicht nicht. Bei der harmonischen Reihe geht $\frac{1}{n + 1} \to 0$ , trotzdem divergiert sie. Es müssen alle Paare $m, n \geq N$ gelten.
0,999… ist nicht kleiner als 1: Die Dezimalzahl $0, \bar{9}$ ist nicht „fast“ 1, sondern genau gleich 1. Beide sind Grenzwert derselben Intervallschachtelung.

Übungen

Geschichte: Wie die Lücken geschlossen wurden

Die Griechen entdeckten, dass die Diagonale des Quadrats nicht mit Brüchen messbar ist, und lösten das Problem geometrisch mit der Proportionenlehre des Eudoxos. Bis ins 19. Jahrhundert rechneten Mathematiker mit reellen Zahlen, ohne sie zu definieren. Bernard Bolzano erkannte 1817, dass für den Zwischenwertsatz eine Vollständigkeitseigenschaft nötig ist, und formulierte ein Supremumsprinzip. Augustin-Louis Cauchy führte 1821 das Konvergenzkriterium ein, das seinen Namen trägt, konnte aber die Existenz des Grenzwerts nicht begründen. Karl Weierstraß baute die Analysis in seinen Berliner Vorlesungen ab den 1860er-Jahren streng auf, und 1872 gaben Dedekind und Cantor die Konstruktionen an, mit denen die Reihe der Arbeiten zur „Arithmetisierung der Analysis“ ihren Abschluss fand.

Selbstcheck: Das kann ich jetzt

Ich-kann-Bogen: Reelle Zahlen und Vollständigkeit Name: ____________________ Datum: __________

Ich kann mit dem Betrag rechnen und die Dreiecksungleichung beweisen. nachlesen
Ich kann Supremum und Infimum einer Menge bestimmen. nachlesen
Ich kann das Vollständigkeitsaxiom nennen und Folgerungen daraus ziehen. nachlesen
Ich kann erklären, warum monotone beschränkte Folgen konvergieren. nachlesen
Ich kann Cauchy-Folgen erkennen. nachlesen
Ich kann den Satz von Bolzano und Weierstraß erklären. nachlesen

Häufige Fragen

Muss ich das Vollständigkeitsaxiom beweisen?

Nein, es ist ein Axiom, wenn man $ℝ$ axiomatisch einführt. Führt man $ℝ$ über Cauchy-Folgen oder Dedekind-Schnitte ein, ist es ein Satz, den man dann beweisen muss. In den meisten Vorlesungen wird es als Axiom vorausgesetzt.

Sind Supremum und Limes superior dasselbe?

Nein. Das Supremum betrachtet alle Glieder der Folge, der Limes superior nur den größten Wert, dem sich die Folge unendlich oft nähert. Im Beispiel ${(- 1)}^{n} (1 + \frac{1}{n})$ ist das Supremum 1,5, der Limes superior 1.

Warum braucht man das alles für die Ableitung?

Weil Sätze wie der Zwischenwertsatz, der Satz vom Maximum und der Mittelwertsatz auf der Vollständigkeit beruhen. In $ℚ$ sind sie falsch: Die Funktion $x^{2} - 2$ wechselt das Vorzeichen, hat aber keine rationale Nullstelle.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Reelle Zahl
Wikipedia: Infimum und Supremum
Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin.
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Vieweg+Teubner, Wiesbaden.
Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Vieweg, Braunschweig 1872.

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