Richard Dedekind (1831–1916): Dedekindscher Schnitt

Richard Dedekind (1831–1916) war ein deutscher Mathematiker aus Braunschweig, der klärte, was reelle Zahlen eigentlich sind. Seine Antwort ist der Dedekindsche Schnitt: Eine Zahl wie √2 wird als Trennlinie beschrieben, die alle rationalen Zahlen in eine linke und eine rechte Gruppe teilt. Daneben begründete er die Theorie der Ideale in der Zahlentheorie und beschrieb 1888 in Was sind und was sollen die Zahlen?, wie sich die natürlichen Zahlen aus Mengen und Abbildungen aufbauen lassen.

Dedekind studierte bei Carl Friedrich Gauß, war eng mit Bernhard Riemann befreundet und stand im Briefwechsel mit Georg Cantor. Er veröffentlichte wenig, aber jede seiner Arbeiten wurde zum Baustein der modernen Mathematik. Sein Leitsatz: Was beweisbar ist, soll nicht ohne Beweis geglaubt werden.

Herkunft und Studium: Braunschweig und Göttingen

Julius Wilhelm Richard Dedekind kam am 6. Oktober 1831 in Braunschweig als jüngstes von vier Kindern zur Welt. Sein Vater war Jurist und Professor am Collegium Carolinum, einer Lehranstalt, an der Dedekind 1848 selbst zu studieren begann. 1850 wechselte er nach Göttingen. Seine erste Vorlesung bei Gauß behandelte die Methode der kleinsten Quadrate. 1852 promovierte er bei Gauß über sogenannte Eulersche Integrale. Er war dessen letzter Doktorand.

1854 habilitierte sich Dedekind in Göttingen, nur wenige Wochen nach seinem Freund Riemann. Er hörte dort Vorlesungen von Peter Gustav Lejeune Dirichlet, der nach Gauß’ Tod 1855 dessen Lehrstuhl übernahm, und gehörte zu den nur drei Hörern von Riemanns Vorlesung über abelsche Funktionen im Winter 1855/56.

Zürich 1858: der Dedekindsche Schnitt

Das Problem: Lücken im Zahlenstrahl

1858 wurde Dedekind Professor am Polytechnikum in Zürich. Dort sollte er Differential- und Integralrechnung lehren und stellte fest, dass die Grundlagen dafür nicht sauber geklärt waren. Ein Beispiel: Eine Folge von Zahlen, die immer weiter wächst, aber nie über 2 hinausgeht, soll irgendwo ankommen. Dieser Satz leuchtet ein, lässt sich aber nur beweisen, wenn der Zahlenstrahl keine Lücken hat. Die rationalen Zahlen, also alle Brüche, haben aber welche. Schon Hippasos soll entdeckt haben, dass die Diagonale des Quadrats mit Seitenlänge 1, also √2, sich nicht als Bruch schreiben lässt. Am 24. November 1858 hatte Dedekind die rettende Idee.

Der Schnitt bei √2

Ein Schnitt teilt alle Brüche in zwei Klassen A (links) und B (rechts), wobei jedes Element von A kleiner ist als jedes Element von B und A kein größtes Element hat. Für √2 sieht der Schnitt so aus:

A = {q \in ℚ : q \leq 0 oder q^{2} < 2}, B = {q \in ℚ : q > 0 und q^{2} > 2}

Jeder Bruch landet in genau einer der beiden Klassen, denn q² = 2 ist für einen Bruch unmöglich. Die Klasse A hat kein größtes Element, B kein kleinstes: Wie nahe man auch an √2 herankommt, es geht immer noch näher.

Einige Brüche und ihre Klasse
Bruch q	q²	Klasse
1,4	1,96	A (kleiner als 2)
1,41	1,9881	A
1,42	2,0164	B (größer als 2)
1,5	2,25	B

Der Dedekindsche Schnitt für √2: Brüche mit q² < 2 liegen links, Brüche mit q² > 2 rechts. Die Stelle dazwischen ist keine rationale Zahl, sondern eine „Lücke“.

Dedekinds Gedanke: Man definiert die Zahl √2 als den Schnitt selbst. Damit wird jede Lücke zu einer Zahl, und der Zahlenstrahl ist ohne Lücken. So entstehen alle reellen Zahlen. In Stetigkeit und irrationale Zahlen veröffentlichte er das 1872. Im selben Jahr stellte auch Cantor eine Konstruktion über Zahlenfolgen vor, und Karl Weierstraß hatte schon früher in Vorlesungen einen eigenen Zugang entwickelt. Der Gedanke erinnert außerdem an die Proportionenlehre des Eudoxos, die in Euklids Elementen überliefert ist.

Ideale: Primfaktoren retten

Jede ganze Zahl lässt sich auf genau eine Weise in Primzahlen zerlegen, etwa 12 = 2 · 2 · 3. In manchen größeren Zahlbereichen stimmt das nicht mehr. Nimmt man zu den ganzen Zahlen die Zahl √−5 hinzu, so gilt

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{- 5}) \cdot (1 - \sqrt{- 5})

Zur Probe: (1 + √−5)(1 − √−5) = 1 − (−5) = 6. Beide Zerlegungen bestehen aus Faktoren, die sich in diesem Zahlbereich nicht weiter zerlegen lassen. Dedekind führte deshalb Ideale ein, besondere Mengen von Zahlen, die den fehlenden „idealen“ Zahlen von Ernst Eduard Kummer entsprechen. In der Sprache der Ideale gibt es wieder eine eindeutige Zerlegung in Primideale. Veröffentlicht hat er das in Anhängen zu Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie, die er herausgab. Zahlbereiche mit dieser Eigenschaft heißen heute Dedekind-Ringe. Darauf baute Emmy Noether auf, als sie die moderne Algebra mitbegründete.

„Was sind und was sollen die Zahlen?“ (1888)

1888 erschien Dedekinds Büchlein, in dem er die natürlichen Zahlen aus Mengen und Abbildungen aufbaut. Seine Definition einer unendlichen Menge ist bis heute üblich: Eine Menge ist unendlich, wenn sie sich Element für Element auf einen echten Teil ihrer selbst abbilden lässt. Die natürlichen Zahlen sind dafür ein Beispiel, denn die Zuordnung n ↦ 2n bildet sie auf die geraden Zahlen ab, einen echten Teil. Bei einer endlichen Menge geht das nie.

„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.“
Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), Vorwort

Dedekind beschrieb die natürlichen Zahlen als Menge mit einem Startelement und einer Nachfolger-Abbildung, die den Beweis durch vollständige Induktion erlaubt. Kurz darauf, 1889, veröffentlichte Giuseppe Peano ähnliche Axiome; man spricht deshalb von den Dedekind-Peano-Axiomen. Mit Cantor verband ihn ein Briefwechsel über Mengen und das Unendliche, der 1872 begann. Heute gehören diese Ideen zur Mengenlehre.

Lehrer und Herausgeber in Braunschweig

1862 kehrte Dedekind nach Braunschweig zurück und lehrte am dortigen Polytechnikum, der späteren Technischen Hochschule, bis 1894. Mit Heinrich Weber gab er 1876 Riemanns gesammelte Werke heraus. Er heiratete nie und lebte lange mit seiner Schwester Julie zusammen. Dedekind starb am 12. Februar 1916 mit 84 Jahren in seiner Heimatstadt.

Zeitleiste: Richard Dedekinds Leben

1831 Geburt am 6. Oktober in Braunschweig
1850 Wechsel an die Universität Göttingen
1852 Promotion bei Gauß
1854 Habilitation in Göttingen
1858 Professor in Zürich; Idee des Schnitts am 24. November
1862 Rückkehr nach Braunschweig
1872 Stetigkeit und irrationale Zahlen
1888 Was sind und was sollen die Zahlen?
1916 Tod am 12. Februar in Braunschweig

Bedeutung heute

Wer in der Analysis lernt, dass es zwischen zwei reellen Zahlen keine Lücke gibt, begegnet Dedekinds Gedanken. Seine Sprache der Mengen und Abbildungen prägt die gesamte Mathematik, und Dedekind-Ringe sind Standard in der algebraischen Zahlentheorie. Mehr zu Zahlen findest du im Lernbereich unter Zahlen und ihre Eigenschaften, zur Epoche im Artikel Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Was ist ein Dedekindscher Schnitt?

Ein Dedekindscher Schnitt teilt alle rationalen Zahlen in eine linke und eine rechte Klasse, wobei jede Zahl links kleiner ist als jede Zahl rechts. Liegt die Trennstelle nicht bei einem Bruch, definiert der Schnitt eine irrationale Zahl wie √2.

Wann lebte Richard Dedekind?

Er wurde am 6. Oktober 1831 in Braunschweig geboren und starb am 12. Februar 1916 ebenfalls in Braunschweig.

Wie definierte Dedekind unendliche Mengen?

Eine Menge ist unendlich, wenn sie sich Element für Element auf einen echten Teil von sich selbst abbilden lässt. Die natürlichen Zahlen lassen sich zum Beispiel mit n ↦ 2n auf die geraden Zahlen abbilden.

Quellen und weiterführende Literatur

Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Vieweg, Braunschweig 1872.
Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?, Vieweg, Braunschweig 1888.
Winfried Scharlau (Hrsg.): Richard Dedekind 1831–1981. Eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag, Vieweg, Braunschweig 1981.
MacTutor History of Mathematics: Richard Dedekind (englisch)
Wikipedia: Richard Dedekind (deutsch)