Platonische Körper

Die platonischen Körper sind die fünf Körper, deren Flächen alle gleiche regelmäßige Vielecke sind und an deren Ecken überall gleich viele Flächen zusammentreffen: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Mehr als diese fünf gibt es nicht.

Benannt sind sie nach dem Philosophen Platon, der sie im Timaios beschrieb. Hier lernst du die Namen, zählst Ecken, Kanten und Flächen, prüfst den Eulerschen Polyedersatz an allen fünf Körpern und siehst, warum es nur fünf gibt. Dazu kommen Platons Elemente, Keplers Irrtum, Beispiele aus der Natur und eine Bastelvorlage. Die Grundbegriffe stehen bei Formen und Körper.

Was ist ein platonischer Körper?

Beide Bedingungen sind nötig. Ein Quader hat Rechtecke, die nicht alle gleich sind. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat Quadrat und Dreiecke. Klebst du zwei Tetraeder an einer Fläche zusammen, hast du sechs gleiche Dreiecke, aber an manchen Ecken treffen drei und an anderen vier Dreiecke zusammen. Auch das ist kein platonischer Körper.

Die fünf Körper und ihre Namen

Die Namen sind griechisch. Sie bestehen aus einer Zahl und hedra, was „Fläche“ oder „Sitz“ bedeutet.

Der Würfel heißt in der Mathematik auch Hexaeder. Die Tabelle zählt alles, was du wissen musst. Beim Zählen hilft eine Regel: Jede Kante gehört zu genau zwei Flächen, also ist die Zahl der Kanten gleich Flächen mal Seiten pro Fläche geteilt durch 2. Beim Dodekaeder sind das 12 · 5 : 2 = 30 Kanten.

Der Eulersche Polyedersatz

Auch bei anderen Körpern stimmt es: Die Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat 5 Ecken, 8 Kanten und 5 Flächen, und 5 − 8 + 5 = 2. Ein dreiseitiges Prisma hat 6 Ecken, 9 Kanten und 5 Flächen: 6 − 9 + 5 = 2. Leonhard Euler teilte seine Beobachtung 1750 dem Mathematiker Goldbach mit.

Warum gilt der Satz? Eine Idee, die für Körper ohne Loch trägt: Drücke das Kantenmodell flach, die Außenseite zählt als eine Fläche. Beginne mit einer einzigen Ecke: e = 1, k = 0, f = 1, und 1 − 0 + 1 = 2. Jede neue Kante hat zwei Möglichkeiten. Sie führt zu einer neuen Ecke, dann wächst e und k um 1. Oder sie schließt eine Fläche, dann wachsen k und f um 1. Beide Male bleibt e − k + f gleich 2.

Warum es genau fünf gibt

An einer Ecke müssen mindestens drei Flächen zusammentreffen. Damit die Ecke spitz ist und sich der Körper schließt, müssen die Winkel der Flächen an der Ecke zusammen weniger als 360° ergeben. Bei genau 360° liegen die Flächen flach nebeneinander, bei mehr als 360° passen sie gar nicht. Ein gleichseitiges Dreieck hat 60° Winkel, ein Quadrat 90°, ein regelmäßiges Fünfeck 108°, ein regelmäßiges Sechseck 120°. Probiere alle Möglichkeiten durch:

Genau fünf Möglichkeiten bleiben übrig: drei, vier oder fünf Dreiecke, drei Quadrate oder drei Fünfecke an einer Ecke. Ab dem Sechseck geht gar nichts mehr, denn drei Sechsecke ergeben schon 360°. Dass jede der fünf Möglichkeiten wirklich einen Körper ergibt, zeigt die Konstruktion. Beides steht am Ende von Euklids Elementen.

Dualität: Körper, die zusammengehören

Setze in jede Fläche eines Würfels einen Punkt und verbinde Punkte benachbarter Flächen. Du erhältst ein Oktaeder. Der Würfel hat 6 Flächen und 8 Ecken, das Oktaeder 6 Ecken und 8 Flächen: Flächen und Ecken tauschen die Plätze. Beim Dodekaeder und Ikosaeder ist es genauso, und das Tetraeder ergibt wieder ein Tetraeder. Man nennt solche Paare dual.

Die Zahl der Kanten bleibt dabei gleich: Würfel und Oktaeder haben je 12, Dodekaeder und Ikosaeder je 30.

Platon und die Elemente

Platon beschrieb die fünf Körper im Timaios (um 360 v. Chr.) und ordnete vier von ihnen den Elementen zu: dem Tetraeder das Feuer, dem Würfel die Erde, dem Oktaeder die Luft und dem Ikosaeder das Wasser. Das spitze Tetraeder passt zum stechenden Feuer, der standfeste Würfel zur Erde, das fast kugelige Ikosaeder zum fließenden Wasser. Das Dodekaeder habe der Gott für das Weltganze verwendet, was genau damit gemeint ist, ist umstritten. Entdeckt hat Platon die Körper nicht. Wer sie vor ihm kannte, steht bei Platon und die platonischen Körper und bei der griechischen Mathematik.

Wo kommen platonische Körper vor?

• Spielwürfel sind Würfel. In Rollenspielen gibt es auch Würfel mit 4, 8, 12 und 20 Seiten, die genau den fünf Körpern entsprechen.
• Kristalle: Kochsalz wächst in Würfeln, Diamant und Fluorit oft als Oktaeder. Pyrit bildet Würfel und das Pentagondodekaeder, dessen Fünfecke aber nicht regelmäßig sind.
• Viren: Die Eiweißhülle vieler Viren, etwa von Adeno- und Herpesviren, ist ikosaedrisch gebaut: 20 Dreiecksfelder und 12 Ecken. Die Bauregeln beschrieben Caspar und Klug 1962.

Bastelvorlage zum Ausdrucken

Mit den Netzen baust du alle fünf Körper selbst. Ein Netz entsteht, wenn du einen Körper an Kanten aufschneidest und flach legst (Netze). Drucke die Netze auf dünnen Karton, dann halten die Körper besser. Du brauchst eine Schere, Klebstoff, ein Lineal und einen stumpfen Gegenstand zum Falzen, zum Beispiel eine leere Kugelschreibermine.

1. Schneide jedes Netz an den Außenlinien aus.
2. Falze alle Innenlinien: Lege das Lineal an, fahre mit dem stumpfen Gegenstand nach und knicke das Papier.
3. Bestreiche die Klebelaschen und klebe sie unter die passenden Kanten.
4. Beim Dodekaeder und Ikosaeder klebst du zuerst einen Ring aus Flächen und danach den Rest. Die letzte Lasche drückst du von innen mit einem Stift an.
5. Zähle am fertigen Körper Ecken, Kanten und Flächen und vergleiche mit der Tabelle. Prüfe e − k + f = 2.

Alternativ baust du ein Kantenmodell: Du brauchst so viele Stäbchen (zum Beispiel Zahnstocher) wie der Körper Kanten hat und so viele Knetkugeln wie Ecken. Fürs Tetraeder sind das 6 Stäbchen und 4 Kugeln, fürs Oktaeder 12 Stäbchen und 6 Kugeln.

Beim Drucken wählst du „Tatsächliche Größe“ oder „100 %“, dann haben alle Kanten die angegebene Länge. Jedes Netz kommt auf eine eigene Seite.

Typische Fehler

Übungen mit Lösungen

Kurze Geschichte der platonischen Körper

Schon vor Platon kannte man einige der Körper. Euklid zeigte am Ende seiner Elemente, wie man alle fünf konstruiert, und dass es keine weiteren gibt (Euklid). Platon gab ihnen im Timaios eine Bedeutung als Bausteine der Welt, Kepler baute 1596 daraus ein Modell des Sonnensystems, und Euler fand 1750 die Formel für Ecken, Kanten und Flächen. Schon Albrecht Dürer zeichnete 1525 Netze der platonischen Körper. Wie die Körper in die Schule kommen, zeigt die Seite Formen und Körper.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Euklid: Die Elemente, Bücher I bis XIII, übersetzt von Clemens Thaer, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1962.
• Peter R. Cromwell: Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge 1997.
• Donald L. D. Caspar, Aaron Klug: Physical Principles in the Construction of Regular Viruses, in: Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 27 (1962), S. 1–24.
• Wikipedia: Platonischer Körper
• Wikipedia: Eulerscher Polyedersatz