Blaise Pascal

Blaise Pascal (1623–1662) war ein französischer Mathematiker, Physiker, Erfinder und Philosoph. Mit 16 Jahren fand er einen grundlegenden Satz über Kegelschnitte, mit Anfang zwanzig baute er eine der ersten funktionierenden Rechenmaschinen, und 1654 legte er gemeinsam mit Pierre de Fermat in einem Briefwechsel die Grundlagen der mathematischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das nach ihm benannte Pascalsche Dreieck gehört heute zum Schulstoff.

Pascal wurde nur 39 Jahre alt, und einen großen Teil seiner letzten Jahre widmete er der Religion. Trotzdem reicht sein Einfluss weit: Die Einheit des Drucks heißt Pascal, eine Programmiersprache trägt seinen Namen, und seine „Pensées“ zählen zu den Klassikern der französischen Prosa. Dieser Artikel stellt sein Leben und seine mathematischen Leistungen vor und trennt dabei Belegtes von späteren Ausschmückungen.

Kindheit in Clermont und Paris: Unterricht beim Vater

Blaise Pascal kam am 19. Juni 1623 in Clermont in der Auvergne zur Welt, dem heutigen Clermont-Ferrand. Sein Vater Étienne Pascal war ein wohlhabender Jurist im königlichen Steuerdienst und selbst ein fähiger Amateurmathematiker; eine Kurve, die Pascalsche Schnecke, ist nach ihm benannt. Die Mutter starb 1626, als Blaise drei Jahre alt war. Er wuchs mit seinen Schwestern Gilberte und Jacqueline auf, die beide später eine wichtige Rolle in seinem Leben spielten.

Anfang der 1630er-Jahre zog die Familie nach Paris. Blaise besuchte nie eine Schule oder Universität; der Vater unterrichtete ihn selbst. Nach seinem Plan sollte der Sohn zuerst Latein und Griechisch lernen und erst später Mathematik. Ab etwa 14 Jahren durfte Blaise den Vater jedoch zu den Treffen im Kreis von Marin Mersenne begleiten. Dort trafen sich Gelehrte wie Gilles Personne de Roberval und Girard Desargues, um neue Ergebnisse zu besprechen. Der Kreis gilt als Vorläufer der 1666 gegründeten Pariser Akademie der Wissenschaften.

1639 wurde Étienne Pascal königlicher Steuerkommissar in der Normandie, und die Familie zog Anfang 1640 nach Rouen. Die endlosen Abrechnungen des Vaters gaben den Anstoß zu Blaises erster Erfindung.

Mit 16 Jahren: der Satz von Pascal über Kegelschnitte

Desargues hatte eine neue Art entwickelt, Kegelschnitte zu betrachten: als Bilder eines Kreises bei der Zentralprojektion. Pascal griff diese Idee auf und veröffentlichte im Februar 1640 ein einseitig bedrucktes Blatt, den Essai pour les coniques. Es enthält den Kern dessen, was heute Satz von Pascal heißt:

Das Bemerkenswerte daran: Der Satz spricht nur von Punkten, Geraden und Schnittpunkten, nicht von Längen oder Winkeln. Er bleibt deshalb bei jeder Zentralprojektion gültig und gehört zu den Grundsteinen der projektiven Geometrie. Später nannte man die Figur das „mystische Sechseck“. Eine größere Abhandlung über Kegelschnitte stellte Pascal nie fertig; das Manuskript ist verloren. Gottfried Wilhelm Leibniz konnte es 1676 in Paris noch einsehen und beschrieb seinen Inhalt in einem Brief an Pascals Neffen.

Die Pascaline: eine der ersten Rechenmaschinen

Um dem Vater die Arbeit zu erleichtern, entwarf Pascal ab 1642 eine mechanische Rechenmaschine. Bis 1645 hatte er eine brauchbare Fassung, insgesamt ließ er rund 50 Prototypen bauen. Die Pascaline konnte unmittelbar addieren: Man stellte jede Ziffer an einem Speichenrad ein, das Ergebnis erschien in kleinen Fenstern darüber. Den Zehnerübertrag erledigte ein kleiner, durch Schwerkraft zurückfallender Hebel, der beim Übergang von 9 auf 0 das nächste Rad um eine Stelle weiterdrehte. Subtrahiert wurde über einen Umweg, die Addition des Neunerkomplements.

Einige Modelle rechneten in der damaligen Währung, in der ein Livre 20 Sols und ein Sol 12 Deniers hatte. Die Räder mussten also auch in Zwanziger- und Zwölferschritten übertragen. 1649 erhielt Pascal ein königliches Privileg, das ihm den Bau solcher Maschinen in Frankreich vorbehielt. Ein wirtschaftlicher Erfolg wurde die Pascaline trotzdem nicht: Sie war teuer, empfindlich und konnte nicht multiplizieren. Einige Exemplare sind erhalten. Die erste Rechenmaschine überhaupt war sie nicht: Wilhelm Schickard in Tübingen hatte schon 1623 eine „Rechenuhr“ entworfen, die aber unbekannt blieb. Leibniz entwickelte Pascals Ansatz in den 1670er-Jahren zu einer Maschine weiter, die auch multiplizieren konnte.

Vakuum, Luftdruck und das Pascalsche Prinzip

1646 erreichte Rouen die Nachricht von Evangelista Torricellis Versuch: Eine oben verschlossene, mit Quecksilber gefüllte Glasröhre, die man umgekehrt in eine Schale stellt, läuft nur teilweise leer, und über der Quecksilbersäule bleibt ein scheinbar leerer Raum. Viele Gelehrte hielten an der aristotelischen Lehre fest, die Natur verabscheue das Leere. Pascal wiederholte die Versuche in großem Maßstab, auch mit Wasser und Wein, und veröffentlichte 1647 seine Expériences nouvelles touchant le vide.

Seine Erklärung: Nicht ein „Abscheu vor dem Leeren“ trägt die Säule, sondern das Gewicht der Luft. Dann müsste die Säule auf einem Berg niedriger stehen. Am 19. September 1648 führte sein Schwager Florin Périer den entscheidenden Versuch auf dem Puy de Dôme bei Clermont durch: Auf dem Gipfel stand das Quecksilber um gut drei Zoll, rund 8 Zentimeter, tiefer als in der Stadt. Damit war gezeigt, dass der Luftdruck mit der Höhe abnimmt.

In zwei Abhandlungen über das Gleichgewicht von Flüssigkeiten und das Gewicht der Luft, die erst 1663 nach seinem Tod erschienen, formulierte Pascal das nach ihm benannte Pascalsche Prinzip: Ein Druck, der auf eine eingeschlossene Flüssigkeit ausgeübt wird, breitet sich in ihr nach allen Seiten gleichmäßig aus. Mit dem Druck p = F / A folgt daraus die Idee der hydraulischen Presse.

Das Pascalsche Dreieck

Aufbau und Bedeutung

Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Zahlentafel. Am Rand steht überall die 1, jede innere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber. Die Zeilen zählt man meist ab n = 0. Die Zahlen der Zeile n sind die Binomialkoeffizienten: Sie geben an, auf wie viele Arten man k Dinge aus n auswählen kann, und sie sind zugleich die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von (a + b)ⁿ.

Zum Beispiel ist (a + b)² = a² + 2ab + b² und (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. Die Koeffizienten 1, 2, 1 und 1, 4, 6, 4, 1 stehen genau in den Zeilen 2 und 4. Die Bildungsregel des Dreiecks lautet in moderner Schreibweise:

In der Tafel stecken viele weitere Muster. Die zweite Schrägzeile enthält die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, …, die dritte die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15, …, die vierte die Tetraederzahlen 1, 4, 10, 20, 35, … Die Summe der Zeile n ist 2ⁿ. Addiert man entlang flacher Schrägen, entstehen die Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Ist n eine Primzahl, sind alle inneren Zahlen der Zeile n durch n teilbar. Und wer alle ungeraden Zahlen einfärbt, erhält ein Muster, das dem Sierpinski-Dreieck, einem Fraktal, immer ähnlicher wird.

Vorläufer in Indien, Persien, China und Europa

Pascal hat das Dreieck nicht entdeckt. In Indien beschrieb der Kommentator Halayudha im 10. Jahrhundert eine gleichwertige Anordnung zum Abzählen von Versmaßen. Um das Jahr 1000 stellte al-Karadschi in Bagdad die Binomialkoeffizienten in einer Tafel zusammen, und auch Omar Chayyam kannte sie. In China ist das Dreieck nach Yang Hui benannt, der es 1261 abbildete und dabei auf den älteren Jia Xian (11. Jahrhundert) verwies. In Europa druckte Petrus Apianus es 1527 auf das Titelblatt eines Rechenbuchs; in Italien heißt es nach Niccolò Tartaglia bis heute „Tartaglia-Dreieck“.

Pascals Beitrag: der Traité du triangle arithmétique

Pascals Leistung liegt in der systematischen Behandlung. In seinem Traité du triangle arithmétique, 1654 gedruckt, aber erst 1665 nach seinem Tod veröffentlicht, leitete er zahlreiche Eigenschaften der Tafel her und verband sie mit drei Anwendungen: dem Abzählen von Kombinationen, den Potenzen von Binomen und dem Teilungsproblem beim Glücksspiel. Für einige Beweise nutzte er ein Schema, das heute vollständige Induktion heißt: Man zeigt eine Aussage für die erste Zeile und zeigt dann, dass sie von jeder Zeile auf die nächste übergeht. Pascal war nicht der Erste, der so schloss, formulierte das Verfahren aber besonders klar. Seinen Namen erhielt das Dreieck erst später: Pierre Rémond de Montmort sprach 1708 von der „Tafel von Herrn Pascal“, Abraham de Moivre 1730 vom Triangulum Arithmeticum Pascalianum.

1654: Der Briefwechsel mit Fermat und die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Im Sommer 1654 trug Antoine Gombaud, bekannt als Chevalier de Méré, ein Schriftsteller mit Sinn fürs Glücksspiel, Pascal zwei Fragen vor. Pascal wandte sich an den Juristen und Mathematiker Pierre de Fermat in Toulouse. Ihr Briefwechsel von Juli bis Oktober 1654, von dem nicht alle Briefe erhalten sind, gilt als Geburtsstunde der mathematischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die beiden haben sich nie persönlich getroffen.

Das Teilungsproblem

Die wichtigere Frage war das Teilungsproblem: Zwei gleich starke Spieler setzen denselben Betrag. Wer zuerst eine bestimmte Zahl von Runden gewinnt, erhält den ganzen Einsatz. Das Spiel wird vorzeitig abgebrochen. Wie teilt man den Einsatz gerecht? Die Frage war alt. Luca Pacioli hatte 1494 vorgeschlagen, nach dem Verhältnis der bereits gewonnenen Runden zu teilen, und auch Tartaglia und Cardano hatten keine überzeugende Lösung gefunden. Pascal und Fermat erkannten unabhängig voneinander: Es kommt nicht darauf an, was schon geschehen ist, sondern darauf, was noch geschehen könnte.

Pascals Lösung: vom Ende her rechnen

Pascal erläuterte seinen Weg in einem Brief vom 29. Juli 1654 an einem Beispiel: Jeder Spieler setzt 32 Pistolen, insgesamt liegen 64 im Topf, und wer zuerst drei Runden gewinnt, bekommt alles. Er rechnet rückwärts von Stellungen aus, deren Wert klar ist:

• Stand 2 : 1. Gewinnt Spieler A die nächste Runde, erhält er 64. Verliert er, steht es 2 : 2, und jeder hätte Anspruch auf 32. Sicher sind A also 32, die übrigen 32 werden halbiert: A erhält 48, B 16.
• Stand 2 : 0. Mit einem Sieg erhält A 64, mit einer Niederlage entsteht die Stellung 2 : 1 mit 48 für A. A stehen also (64 + 48) / 2 = 56 zu.
• Stand 1 : 0. Ein Sieg führt zu 2 : 0 (56), eine Niederlage zu 1 : 1 (32). A erhält (56 + 32) / 2 = 44, B die restlichen 20.

In heutiger Sprache berechnete Pascal den Erwartungswert des Gewinns, und zwar Schritt für Schritt rückwärts, ein Verfahren, das in der Entscheidungstheorie bis heute verwendet wird.

Fermats Lösung: alle Fälle abzählen

Fermat ging anders vor. Angenommen, A fehlen noch 2 Siege und B noch 3. Spätestens nach 4 weiteren Runden steht dann ein Sieger fest. Fermat stellte sich vor, dass alle 4 Runden gespielt werden, auch wenn das Spiel schon früher entschieden wäre. Das ergibt 2⁴ = 16 gleich wahrscheinliche Verläufe. In 11 davon gewinnt A mindestens zwei Runden, in 5 nicht. Ein Einsatz von 100 Talern wäre also im Verhältnis 11 : 5 zu teilen: 68,75 für A und 31,25 für B.

Gilles de Roberval wandte ein, die gedachten Runden würden ja gar nicht alle gespielt. Pascal verteidigte Fermats Kunstgriff: Das Ergebnis ändert sich nicht, wenn man bereits entschiedene Verläufe zu Ende denkt. Und er zeigte, wie das Dreieck die Rechnung abkürzt. Die Zeile 4 lautet 1, 4, 6, 4, 1. Die Anzahlen der Verläufe mit 4, 3 oder 2 Siegen für A sind 1 + 4 + 6 = 11, die mit 1 oder 0 Siegen 4 + 1 = 5. Allgemein liefert die Zeile mit der Nummer „fehlende Siege von A plus fehlende Siege von B minus 1“ die Lösung.

1656 legte Pascal Fermat eine weitere Aufgabe vor, die heute als Problem des Spielerruins bekannt ist: Zwei Spieler setzen so lange, bis einer sein gesamtes Kapital verloren hat. Der Niederländer Christiaan Huygens hatte bei einem Besuch in Paris 1655 von diesen Fragen gehört, ohne Pascal oder Fermat zu treffen. Er nahm sie in seine Schrift De ratiociniis in ludo aleae (1657) auf, das erste gedruckte Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Darauf baute wiederum Jakob Bernoulli in seiner Ars Conjectandi auf.

Glaube, Port-Royal und die späten Jahre

1646 verletzte sich Étienne Pascal schwer an der Hüfte. Die beiden Heilkundigen, die ihn behandelten, waren Anhänger des Jansenismus, einer strengen, an Augustinus orientierten Strömung im französischen Katholizismus mit Zentrum im Kloster Port-Royal. Die ganze Familie kam so mit dieser Bewegung in Kontakt. Nach dem Tod des Vaters 1651 trat Jacqueline 1652 in Port-Royal ein. Blaise verbrachte die folgenden Jahre eher weltlich in Pariser Salons, wo er auch den Chevalier de Méré kennenlernte.

In der Nacht zum 23. November 1654 erlebte Pascal eine religiöse Erfahrung, die er auf einem Zettel festhielt, dem sogenannten Mémorial. Er nähte ihn ins Futter seines Rocks ein; man fand ihn erst nach seinem Tod. Danach rückte die Religion ins Zentrum seines Lebens. 1656 und 1657 verteidigte er in 18 anonym gedruckten Briefen, den Lettres provinciales, die Jansenisten gegen die Jesuiten. Die Briefe erschienen unter dem Decknamen Louis de Montalte und gelten wegen ihrer klaren, ironischen Sprache als Meisterwerk der französischen Prosa.

Von der Mathematik nahm Pascal keinen vollständigen Abschied. 1658 untersuchte er die Zykloide, die Kurve, die ein Punkt auf einem rollenden Rad beschreibt. Unter dem Decknamen Amos Dettonville schrieb er einen Wettbewerb über Flächen, Schwerpunkte und Rotationskörper der Kurve aus. Unter anderem John Wallis reichte Lösungen ein; den Preis vergab Pascal an niemanden und veröffentlichte seine eigenen Lösungen. Eine dieser Schriften, die Abhandlung über die Sinus des Viertelkreises, regte Leibniz später zu seinem „charakteristischen Dreieck“ an, einem Ausgangspunkt der Infinitesimalrechnung.

Daneben arbeitete Pascal an einer Verteidigung des Christentums, die unvollendet blieb. Aus seinen Notizzetteln stellten Freunde nach seinem Tod die Pensées („Gedanken“) zusammen, die 1670 erschienen. Darin steht auch die berühmte Pascalsche Wette: Wer an Gott glaubt, riskiert im schlimmsten Fall einen endlichen Verlust, kann aber einen unendlichen Gewinn erlangen. Mathematisch gesehen ist das eine frühe Abwägung von Erwartungswerten unter Unsicherheit.

„Das Herz hat seine Gründe, die der Verstand nicht kennt.“

Im März 1662 nahm in Paris eine von Pascal und seinem Freund, dem Herzog von Roannez, geplante Kutschenlinie den Betrieb auf, die carrosses à cinq sols: Fahrzeuge, die zu festen Zeiten auf festen Strecken fuhren und jeden Fahrgast für fünf Sols mitnahmen: eine Art früher öffentlicher Nahverkehr. Pascal war zu dieser Zeit bereits schwer krank. Er starb am 19. August 1662 im Haus seiner Schwester Gilberte in Paris, 39 Jahre alt. Woran er litt, ist bis heute unklar; diskutiert werden unter anderem ein Magenkrebs und Tuberkulose. Sein Grab befindet sich in der Kirche Saint-Étienne-du-Mont.

Zeitleiste: Blaise Pascals Leben

1. 1623 Geburt am 19. Juni in Clermont in der Auvergne.
2. 1640 Umzug nach Rouen; der Essai pour les coniques mit dem Satz von Pascal erscheint.
3. 1642–1645 Entwicklung der Rechenmaschine Pascaline.
4. 1647 Expériences nouvelles touchant le vide: Versuche zum Vakuum.
5. 1648 Am 19. September bestätigt der Versuch auf dem Puy de Dôme, dass der Luftdruck mit der Höhe abnimmt.
6. 1654 Briefwechsel mit Fermat über das Teilungsproblem; der Traité du triangle arithmétique wird gedruckt; religiöses Erlebnis in der Nacht zum 23. November.
7. 1656–1657 Die 18 Lettres provinciales erscheinen.
8. 1658 Untersuchungen und Preisausschreiben zur Zykloide.
9. 1662 Start der ersten Pariser Kutschenlinie im März; Tod am 19. August in Paris.
10. 1670 Die Pensées erscheinen postum.

Was von Pascal bleibt: Bedeutung heute

Am häufigsten begegnet man Pascal im Mathematikunterricht. Das Pascalsche Dreieck ist der anschaulichste Zugang zu den Binomialkoeffizienten und damit zu den binomischen Formeln, zur Kombinatorik und zur Binomialverteilung. Der Gedanke, den Pascal und Fermat 1654 entwickelten (gleich wahrscheinliche Fälle abzählen und den Erwartungswert berechnen), steht am Anfang jeder Stochastik und ist heute Grundlage von Versicherungsmathematik, Statistik und Risikorechnung.

Auch außerhalb der Mathematik ist sein Name präsent. Seit 1971 heißt die SI-Einheit des Drucks Pascal (1 Pa = 1 N/m²); Wetterberichte nennen den Luftdruck in Hektopascal. Der Schweizer Informatiker Niklaus Wirth benannte um 1970 seine Programmiersprache Pascal nach ihm. Das Pascalsche Prinzip steckt in jeder hydraulischen Bremse. Der Satz von Pascal ist ein Klassiker der projektiven Geometrie, und in der Philosophie und Literaturwissenschaft gehören die Pensées zum Kanon.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1: Von den Anfängen bis Leibniz und Newton, Springer, Berlin 2008.
• A. W. F. Edwards: Pascal’s Arithmetical Triangle. The Story of a Mathematical Idea, Johns Hopkins University Press, Baltimore 2002 (Erstausgabe 1987).
• Keith Devlin: The Unfinished Game. Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books, New York 2008.
• Ivo Schneider (Hrsg.): Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933. Einführungen und Texte, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988.
• MacTutor History of Mathematics: Blaise Pascal (englisch)