Al-Karadschi

Abu Bakr Muhammad al-Karadschi (um 953–um 1029) war ein persischer Mathematiker und Ingenieur, der den größten Teil seines Lebens in Bagdad verbrachte. Sein Hauptwerk, das al-Fachri, lehrt Algebra auf neue Art: Er rechnet mit der Unbekannten x und ihren Potenzen so selbstverständlich wie mit Zahlen und stützt sich dabei weniger auf Zeichnungen als seine Vorgänger. Außerdem beschrieb er das Zahlendreieck der Binomialkoeffizienten und bewies Summenformeln mit einem Verfahren, das der vollständigen Induktion nahekommt.

Mit diesen Ideen setzte er fort, was al-Chwarizmi begonnen hatte, und verband es mit den Aufgaben des griechischen Mathematikers Diophant. Die Mathematik der islamischen Welt wurde dadurch eigenständiger. Später schrieb al-Karadschi auch ein Handbuch zur Suche nach Grundwasser.

Leben: Karadschi oder Karchi?

Schon der Name ist umstritten. Er erscheint als al-Karadschi (nach der iranischen Stadt Karadsch) und als al-Karchi (nach Karkh, einem Stadtteil Bagdads). Beide Lesarten kommen in den Handschriften vor, und die Forschung neigt eher zur ersten, ohne sicher zu sein. Sicher ist, dass er in Bagdad arbeitete. Dort schrieb er um 1010 seine mathematischen Werke, das al-Fachri widmete er dem Wesir Fachr al-Mulk. Später verließ er die Stadt, vermutlich nach dem Tod des Wesirs, und wandte sich als Ingenieur praktischen Fragen zu.

Von seinen Büchern sind drei mathematische erhalten. Das Todesjahr liegt wohl zwischen 1019 und 1029. Das genaue Geburtsdatum, das gelegentlich zu lesen ist (13. April 953), gilt nicht als gesichert.

Algebra löst sich von der Geometrie

Al-Chwarizmi hatte Gleichungen noch mit Quadraten und Rechtecken begründet. Al-Karadschi geht einen Schritt weiter. Er definiert die Potenzen x, x², x³, … und sogar 1/x, 1/x², 1/x³, … und gibt Regeln für ihre Produkte an. Im Kern lautet seine Regel: Beim Multiplizieren addiert man die Hochzahlen, xⁿ · x^m = x^n+m. Nur die Null als Hochzahl, x⁰ = 1, kannte er noch nicht. Auch das Rechnen mit Potenzen erklärt die Lernseite zu Potenzen und Exponenten.

Mit Summen solcher Potenzen, den Polynomen, kann er addieren, subtrahieren und multiplizieren. Dividieren geht bei ihm nur durch einzelne Terme, und er kennt ein Verfahren für die Wurzel aus einem Polynom mit positiven Beiwerten. Wie das geht, zeigt ein Beispiel:

Mehr dazu auf der Lernseite zu Polynomen. Wie wichtig dieser Schritt war, bewerten Historiker verschieden. Der Mathematikhistoriker Roshdi Rashed sieht in al-Karadschi den Ersten, der die Algebra vollständig von der Geometrie befreit und auf das Rechnen mit Unbekannten gegründet hat. Andere meinen, er habe vor allem frühere Ideen sorgfältig zusammengestellt, und weisen darauf hin, dass er für Beweise noch auf Zeichnungen zurückgreift. Beide Seiten haben gute Gründe. Wie Diophant sammelt er außerdem Aufgaben, von denen er viele verallgemeinert.

Das Zahlendreieck der Binomialkoeffizienten

Multipliziert man (a + b) mehrfach mit sich selbst, entstehen Summen wie (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Die Zahlen davor, die Binomialkoeffizienten, hat al-Karadschi berechnet. Im al-Fachri findet sich (a + b)³, im al-Badi auch (a − b)³ und (a + b)⁴. Den allgemeinen Aufbau des Zahlendreiecks beschrieb er in einem Werk, das nicht erhalten ist. Wir kennen es aus dem Zitat eines späteren Gelehrten, as-Samaw’al (um 1150). Man beginnt mit einer Spalte aus zwei Einsen. Jede neue Spalte beginnt mit einer 1, jede weitere Zahl ist die Summe aus der Zahl links daneben und der Zahl links darüber, und am Ende steht wieder eine 1.

Es ist dasselbe Dreieck, das man heute nach Blaise Pascal benennt, das man in China aber schon als Yang-Hui-Dreieck kannte. Aus Spalte 3 liest man zum Beispiel (x + 2)³ = x³ + 3 · 2x² + 3 · 4x + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8 ab. Probe für x = 1: 27 = 1 + 6 + 12 + 8.

Beweise Schritt für Schritt

Wie lässt sich beweisen, dass eine Formel für alle Zahlen gilt, wenn man nur endlich viele nachrechnen kann? Al-Karadschi geht so vor: Er beweist eine Aussage für n = 1, dann für n = 2 mithilfe des Falls n = 1, dann für n = 3 mithilfe von n = 2, und so fort bis etwa n = 5. Dann bemerkt er, dass man auf diese Weise beliebig weitermachen kann. Das erinnert an Dominosteine: Fällt der erste und stößt jeder den nächsten um, fallen alle. Das ist noch keine vollständige Induktion im heutigen Sinn, aber ein großer Schritt dorthin.

Sein bekanntestes Beispiel ist die Summe der Kubikzahlen. Er zeigt, dass sie gleich dem Quadrat der Summe der Zahlen selbst ist:

Der Kern des Beweises: Das Quadrat der Summe bis 10 unterscheidet sich vom Quadrat der Summe bis 9 genau um 10³. Es gilt nämlich 55² − 45² = 3.025 − 2.025 = 1.000 = 10³. Dieselbe Überlegung gilt von 9 auf 8 und weiter bis zum Anfang, sodass man 1³ + 2³ + … + 10³ = 55² = 3.025 erhält.

Der Ingenieur: Wasser unter der Erde

Später schrieb al-Karadschi im Auftrag eines Herrschers das Buch Inbat al-miyah al-khafiya („Die Erschließung verborgener Gewässer“). Es erklärt, wie man Grundwasser findet und mit Brunnen und unterirdischen Kanälen, den Qanaten, nutzbar macht. Für die trockenen Länder Irans war das lebenswichtig.

Zeitleiste

1. 9. Jh. Diophants Arithmetika wird ins Arabische übersetzt, eine wichtige Quelle für al-Karadschi.
2. um 953 Geburt al-Karadschis (Jahr und Ort unsicher).
3. um 1010 Er schreibt in Bagdad al-Fachri, al-Badi und al-Kafi.
4. nach 1010 Er verlässt Bagdad vermutlich nach dem gewaltsamen Tod des Wesirs, dem er das al-Fachri gewidmet hatte, und schreibt später das Buch über Grundwasser.
5. um 1029 Tod al-Karadschis (Jahr geschätzt).
6. um 1150 As-Samaw’al überliefert al-Karadschis Konstruktion des Zahlendreiecks.
7. 1853 Franz Woepcke gibt Auszüge aus dem al-Fachri in Paris heraus und macht al-Karadschi in Europa bekannt.

Was von al-Karadschi bleibt

Al-Karadschi hat die Algebra ein Stück weit zu dem gemacht, was sie heute ist: ein Rechnen mit Unbekannten nach festen Regeln, unabhängig von Zeichnungen. As-Samaw’al nannte als Ziel dieser Schule, mit Unbekannten mit allen Mitteln der Arithmetik so zu rechnen wie der Rechner mit bekannten Zahlen. Einige seiner Aufgaben tauchen bei späteren europäischen Autoren wie Fibonacci und Cardano wieder auf, meist ohne Nennung seines Namens. Wer heute Polynome multipliziert oder Binomialkoeffizienten ausrechnet, benutzt Ideen, die al-Karadschi und seine Nachfolger vor rund tausend Jahren ausgearbeitet haben.

Quellen und weiterführende Literatur

• Roshdi Rashed: The Development of Arabic Mathematics. Between Arithmetic and Algebra, Kluwer, Dordrecht 1994.
• Franz Woepcke (Hrsg.): Extrait du Fakhrî, traité d’algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhaçan Alkarkhî, Paris 1853.
• Jacques Sesiano: Le traitement des équations indéterminées dans le Badīʿ fī ’l-Ḥisāb d’Abū Bakr al-Karajī, in: Archive for History of Exact Sciences 17 (1977), S. 297–379.
• MacTutor History of Mathematics: Al-Karaji (englisch)
• Wikipedia: Abu Bakr al-Karadschi