John Wallis

John Wallis (1616–1703) war ein englischer Mathematiker, der von 1649 bis zu seinem Tod den Savilian-Lehrstuhl für Geometrie an der Universität Oxford innehatte. Er führte 1655 das Zeichen ∞ für „unendlich“ ein und fand eine überraschende Formel für die Kreiszahl π: ein unendliches Produkt aus lauter einfachen Brüchen, das heute Wallissches Produkt heißt. Daneben war er ein gefragter Entzifferer geheimer Botschaften, Gründungsmitglied der Royal Society und ein streitlustiger Gelehrter.

In seinem Buch Arithmetica infinitorum (1656) rechnete Wallis kühn mit unendlichen Reihen und Produkten, ohne jeden Schritt streng zu begründen. Er verwandelte damit Geometrie in Arithmetik und baute auf den Ideen von Bonaventura Cavalieri und Pierre de Fermat auf. Ein junger Student namens Isaac Newton las das Buch im Winter 1664/65 und fand darin den Anstoß für seine binomische Reihe. Wallis ist damit ein wichtiges Bindeglied in der Mathematik des 17. Jahrhunderts.

Leben: Vom Pfarrer zum Oxforder Professor

Herkunft und Ausbildung

Wallis kam in Ashford in der englischen Grafschaft Kent als Sohn eines Geistlichen zur Welt. Er besuchte Schulen in Tenterden und Felsted und begann Ende 1632 am Emmanuel College in Cambridge zu studieren. Dort erwarb er 1637 den Bachelor- und 1640 den Mastergrad; im selben Jahr wurde er zum Priester geweiht. Mathematik gehörte damals nicht zum Kern der Ausbildung, und Wallis eignete sich vieles selbst an.

Geheimschriften im Bürgerkrieg

Als 1642 der englische Bürgerkrieg zwischen König und Parlament begann, bekam Wallis einen abgefangenen Brief der Royalisten, die Anhänger des Königs, in die Hände. Er entzifferte die Geheimschrift in etwa zwei Stunden. Fortan entschlüsselte er für die Seite des Parlaments weitere Botschaften, und noch Jahrzehnte später soll er eine geheime Nachricht Ludwigs XIV. gelesen haben.

Oxford und Royal Society

1649 berief ihn Oliver Cromwell auf den Savilian-Lehrstuhl für Geometrie in Oxford. Wallis behielt ihn über 50 Jahre, bis zu seinem Tod. 1657 wurde er zusätzlich Verwalter des Universitätsarchivs. Schon in den 1640er-Jahren hatte er an wöchentlichen Treffen von Naturforschern in London teilgenommen, aus denen die Royal Society hervorging; 1663 gehörte er zu ihren „Original Fellows“. Anfang der 1660er-Jahre unterrichtete er außerdem zwei gehörlose Schüler und berichtete darüber vor der Gesellschaft. Wallis starb am 8. November 1703 in Oxford im Alter von 86 Jahren.

Arithmetica infinitorum: Rechnen mit dem Unendlichen

Die Arithmetica infinitorum („Rechnen mit Unendlichem“) erschien 1656 in Oxford. Cavalieri hatte Flächen mit Linien verglichen; Wallis rechnete stattdessen mit Zahlenfolgen. Er berechnete die Fläche unter den Kurven y = xⁿ als Grenzwert von Summen und stieß dabei auf eine Frage, die ihn berühmt machte: Was passiert, wenn der Exponent keine ganze Zahl ist?

Wallis legte dafür dar, wie man Potenzen wie x⁻¹ und x^1/2 zu verstehen hat, nämlich so, wie man sie heute liest: x⁻¹ ist der Kehrwert 1/x, und x^1/2 ist die Quadratwurzel √x. So ist 2⁻³ = 1/8 und 4^1/2 = 2. Diese Schreibweise setzte sich durch, nachdem Newton sie aufgriff. Mehr dazu im Lernbereich über Potenzen und Exponenten.

Das Wallissche Produkt für π

Wallis wollte die Fläche eines Viertelkreises mit Radius 1 bestimmen, die π/4 beträgt. Für Kurven der Form (1 − x²)ⁿ mit ganzzahligem n kannte er die Flächen unter der Kurve von 0 bis 1:

Der Viertelkreis gehört zum Exponenten n = 1/2, liegt also zwischen den Werten 1 und 2/3. Wallis erkannte das Bildungsgesetz der Zahlenreihe und setzte es für den Zwischenwert n = 1/2 fort. Dieses Verfahren, aus bekannten Werten einen Zwischenwert zu erschließen, heißt Interpolation. Heraus kam ein Produkt, das sich unendlich lange fortsetzen lässt:

Jeder Faktor ist ein einfacher Bruch aus ganzen Zahlen, und doch ergibt sich am Ende die geheimnisvolle Kreiszahl. Allerdings nähert sich das Produkt dem Ziel sehr langsam. Verdoppelt man das Produkt, erhält man Näherungen für π:

Selbst mit 10.000 Faktoren stimmen nur vier Nachkommastellen (3,1415 statt 3,14159…). Als Rechenverfahren taugt die Formel also wenig; ihr Wert liegt in der Einsicht, dass π aus rein rationalen Bausteinen entsteht. Der niederländische Gelehrte Christiaan Huygens traute dem Ergebnis zunächst nicht und akzeptierte es erst, als man ihm die Näherungswerte vorrechnete. Der erste Präsident der Royal Society, William Brouncker, antwortete mit einem Kettenbruch für 4/π, den Wallis in sein Buch aufnahm: 4/π = 1 + 1²/(2 + 3²/(2 + 5²/(2 + …))).

Das Zeichen ∞

Das Symbol für „unendlich“ druckte Wallis erstmals 1655 in seiner Schrift über die Kegelschnitte (De sectionibus conicis). Er benutzte es nicht nur als Sammelname für „unbegrenzt groß“, sondern rechnete damit: Der Ausdruck 1/∞ stand bei ihm für eine unendlich kleine Größe. Auch damit bereitete er die Analysis vor, die später Newton und Leibniz zu einer allgemeinen Methode ausbauten.

Warum Wallis eine liegende Acht wählte, ist nicht überliefert. Vermutet wird, dass er sich am römischen Zeichen für 1.000 in seiner älteren Schreibweise oder am griechischen Buchstaben ω orientierte. Die Kurve in Form einer liegenden Acht trägt den Namen Lemniskate und wurde 1694 von Jakob Bernoulli beschrieben.

Treatise of Algebra und der Streit mit Hobbes

Sein letztes großes Werk, der Treatise of Algebra (London 1685), ist eine ausführliche Geschichte der Algebra in englischer Sprache. Wallis würdigte darin den Engländer Thomas Harriot und behauptete, René Descartes habe seine Algebra bei Harriot gelernt, eine Unterstellung, die bis heute umstritten ist. Er akzeptierte auch negative und komplexe Lösungen von Gleichungen als sinnvolle Größen. Zudem enthält das Buch frühe veröffentlichte Ergebnisse Newtons über unendliche Reihen.

Berüchtigt war Wallis für seine Streitlust. 1655 behauptete der Philosoph Thomas Hobbes, den Kreis quadriert, also ein Quadrat mit genau dem Flächeninhalt eines Kreises konstruiert zu haben. Wallis widerlegte ihn noch, während seine Arithmetica im Druck war, und die Flugschriften beider Männer flogen mehr als 20 Jahre hin und her, bis Hobbes 1679 starb. Heute weiß man, dass Hobbes sich irrte: Mit Zirkel und Lineal ist ein Kreis nicht in ein Quadrat gleichen Flächeninhalts zu verwandeln.

Zeitleiste: John Wallis’ Leben

1. 1616 Geburt in Ashford, Kent
2. 1632 Beginn des Studiums am Emmanuel College in Cambridge
3. 1640 Master-Abschluss und Priesterweihe
4. 1642 Entziffert einen Geheimbrief der Royalisten
5. 1649 Savilian-Professor für Geometrie in Oxford
6. 1655 Erster Druck des Zeichens ∞; Streit mit Hobbes beginnt
7. 1656 Arithmetica infinitorum mit dem Wallisschen Produkt
8. 1663 Aufnahme als „Original Fellow“ in die Royal Society
9. 1685 Treatise of Algebra
10. 1703 Tod in Oxford am 8. November

Bedeutung und Nachwirkung

Das Zeichen ∞ steht heute in jedem Mathematikbuch, vor allem in der Analysis, wo es Grenzwerte und unbeschränktes Wachstum beschreibt. Auch die Schreibweise mit negativen und gebrochenen Exponenten, die für Wurzeln, Wachstumsformeln und Logarithmen unentbehrlich ist, geht auf Wallis zurück. Die Wallis-Integrale, Flächen unter Potenzen von Sinus und Kosinus, gehören zum Standardstoff im Studium und führen zu Näherungsformeln für die Fakultät.

Wichtiger noch ist seine Denkweise. Wallis zeigte, dass sich mit unendlichen Prozessen rechnen lässt, wenn man Muster erkennt und fortsetzt. Newton erweiterte diese Technik zur binomischen Reihe und zur Fluxionsrechnung, und Leonhard Euler trieb sie im 18. Jahrhundert zur Meisterschaft.

Quellen und weiterführende Literatur

• Jacqueline A. Stedall (Hrsg.): The Arithmetic of Infinitesimals. John Wallis 1656. Springer, New York 2004.
• Jacqueline A. Stedall: A Discourse Concerning Algebra. English Algebra to 1685. Oxford University Press, Oxford 2002.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: John Wallis (englisch)
• Wikipedia: John Wallis