Körper darstellen: Schrägbild, Netz und Zweitafelbild

Ein Haus, eine Pyramide oder eine Konservendose hat Länge, Breite und Höhe, dein Heft nur Länge und Breite. Wie bekommst du den Körper trotzdem aufs Papier? Dafür gibt es drei Wege. Das Schrägbild wirkt räumlich, das Netz legt alle Flächen flach hin, und die Risse zeigen den Körper von mehreren Seiten in wahren Maßen.

Das Schrägbild eines Quaders und die Netze von Würfel und Quader stehen schon bei Würfel und Quader und bei den Netzen, Würfelgebäude bei Formen und Körper. Hier geht es um beliebige Körper.

Das Schrägbild für jeden Körper

Beim Schrägbild blickst du von schräg oben auf den Körper, ein Stück von rechts. Die Regeln gelten für jeden Körper:

1. Vorderfläche in wahrer Größe. Was parallel zur Zeichenebene liegt, zeichnest du ohne Verzerrung. Längen und Winkel stimmen.
2. Tiefenkanten (von vorn nach hinten) laufen unter 45° nach rechts oben und sind auf die Hälfte verkürzt.
3. Parallele Kanten bleiben parallel, und die Mitte einer Strecke bleibt ihre Mitte. Die Diagonalen eines Quadrats halbieren sich also auch im Bild.
4. Verdeckte Kanten zeichnest du gestrichelt.

Jeden Punkt kannst du ausrechnen. Lege ein Koordinatensystem in den Körper: Die x-Achse zeigt nach rechts, die y-Achse nach hinten (Tiefe) und die z-Achse nach oben. Der Punkt $P(x|y|z)$ erscheint im Bild an der Stelle

Dabei ist u die waagerechte und v die senkrechte Koordinate im Bild. Der Faktor kommt von der Verkürzung und vom Winkel: Es ist ½ · cos 45° ≈ 0,354.

Beispiel: Eine Pyramide im Schrägbild

Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seite 4 cm, die Pyramide ist 5 cm hoch, und die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt.

1. Grundfläche: Die vordere Kante AB zeichnest du 4 cm lang. Die Tiefenkanten sind 2 cm lang und laufen unter 45° nach rechts oben. In Bildkoordinaten ist $A(0|0)$, $B(4|0)$, $C(\mathrm{5,41}|\mathrm{1,41})$ und $D(\mathrm{1,41}|\mathrm{1,41})$.
2. Mittelpunkt: Die Diagonalen AC und BD schneiden sich in M bei $(\mathrm{2,71}|\mathrm{0,71})$.
3. Spitze: Senkrechte Strecken behalten ihre Länge. Gehe von M genau 5 cm nach oben zu $S(\mathrm{2,71}|\mathrm{5,71})$.
4. Kanten: Verbinde S mit allen Ecken. Die Ecke D liegt hinten links unten und ist verdeckt, also sind DA, DC und DS gestrichelt.

Ein Prisma zeichnest du, indem du die Grundfläche zeichnest und um die Höhe nach oben verschiebst. Bei einem liegenden Prisma zeichnest du die Grundfläche vorn in wahrer Gestalt und verschiebst sie unter 45° um die halbe Länge nach hinten. Bei Zylinder und Kegel legst du die Kreisfläche nach vorn, denn ein Kreis in der Vorderfläche bleibt ein Kreis. Ein Kreis in der Grundfläche wird im Schrägbild zur Ellipse.

Netze: Körper aufschneiden und flach legen

Ein Netz entsteht, wenn du einen Körper an manchen Kanten aufschneidest und alle Flächen in die Ebene klappst. Drei Fragen prüfen ein Netz: Kommt jede Fläche genau einmal vor? Hängen die Flächen an ganzen Kanten zusammen? Passen Kanten, die sich beim Falten treffen, in der Länge zusammen, ohne dass sich Flächen überlappen?

Grundriss, Aufriss und Seitenriss

Im Schrägbild sind Längen in der Tiefe nicht wahr. Wer baut oder fertigt, braucht genaue Maße und zeichnet den Körper deshalb von mehreren Seiten. Stell dir eine Zimmerecke vor: Wand, Boden und Seitenwand sind die Tafeln, auf die jeder Punkt senkrecht abgebildet wird. Danach klappt man die Tafeln in die Zeichenebene.

• Der Aufriss ist die Ansicht von vorn und zeigt Breite und Höhe.
• Der Grundriss ist die Ansicht von oben und zeigt Breite und Tiefe.
• Der Seitenriss ist die Ansicht von der Seite (üblich: von links) und zeigt Tiefe und Höhe.

Mit Aufriss und Grundriss hast du ein Zweitafelbild, kommt der Seitenriss dazu, ein Dreitafelbild. Ein Punkt P hat die Bilder P′ (Grundriss), P″ (Aufriss) und P‴ (Seitenriss). Sie liegen auf einer Ordnungslinie, senkrecht zwischen Aufriss und Grundriss und waagerecht zwischen Aufriss und Seitenriss. Der Abstand von P″ zur Rissachse, der Knickkante zwischen den Tafeln, ist die Höhe von P, der Abstand von P′ seine Tiefe. Die Geschichte des Verfahrens steht bei Gaspard Monge.

Verdeckte Kanten zeichnest du in den Rissen gestrichelt.

Die wahre Länge einer Strecke

Eine schräg liegende Strecke erscheint in Grundriss und Aufriss verkürzt. Ihre wahre Länge liefert der Satz des Pythagoras aus der Länge im Grundriss und dem Höhenunterschied, wie bei der Raumdiagonale.

Würfelgebäude: Ansichten aus dem Bauplan

Im Bauplan steht in jedem Feld, wie viele Würfel dort übereinanderliegen. Daraus liest du die Ansichten ab.

• Anzahl: $3+0+1+1+2+0+1+1+2=11$ Würfel.
• Von vorn: In jeder Spalte zählt die größte Zahl, denn hohe Säulen verdecken niedrige: 3, 2, 2.
• Von rechts: In jeder Reihe zählt die größte Zahl. Vorn liegt dabei links im Bild: 2, 2, 3. Von links wäre die Reihenfolge umgekehrt: 3, 2, 2.
• Von oben: Jedes Feld mit einer Zahl größer als 0 ist ein Quadrat. Hier sind es 7.

Umgekehrt legen zwei Ansichten das Gebäude meist nicht eindeutig fest, und es gibt eine kleinste und eine größte Zahl passender Würfel. Für die größte setzt du in jedes Feld das kleinere der beiden Maße von Spalte und Reihe. Für die kleinste stellst du hohe Säulen so, dass sie Spalte und Reihe zugleich bedienen.

Übungen

Geschichte: von Dürers Netzen zur darstellenden Geometrie

Schon Albrecht Dürer zeichnete Körper im Netz. In seiner Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt von 1525 stehen Netze der platonischen Körper und mehrerer archimedischer Körper. Das Schrägbild heißt in der Fachsprache Kavalierperspektive, bei halber Tiefe auch Kabinettperspektive. Der Name geht auf den Festungsbau des 18. Jahrhunderts zurück, in dem ein „Kavalier“ ein erhöhter Standpunkt mit freiem Rundblick war.

Zu einer eigenen Wissenschaft wurden die Risse, als Gaspard Monge um 1795 die darstellende Geometrie begründete. Er zeigte, dass sich aus Grundriss und Aufriss viele räumliche Aufgaben mit Zirkel und Lineal lösen lassen. Weil seine Methode militärisch wichtig war, wurde sie zunächst geheim gehalten.

Häufige Fragen

Weiter geht es bei den Körpern selbst: Prisma, Pyramide, Zylinder und Kegel. Dort berechnest du Oberfläche und Volumen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Darstellende Geometrie
• Wikipedia: Kavalierperspektive
• Wikipedia: Zweitafelprojektion
• Wikipedia: Netz (Geometrie)
• Wikipedia: Net (polyhedron) (englisch)
• Wolf-Dieter Klix, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1990.