August Ferdinand Möbius

August Ferdinand Möbius (1790–1868) war ein deutscher Mathematiker und Astronom, der fast sein ganzes Berufsleben an der Universität Leipzig verbrachte. Weltberühmt ist das nach ihm benannte Möbiusband, ein Papierstreifen, der nach einer halben Drehung zu einem Ring verklebt wird und dann nur noch eine Seite und einen Rand hat. Doch das ist nicht alles: Möbius entwickelte die baryzentrischen Koordinaten, die Möbius-Funktion der Zahlentheorie und die Möbius-Transformationen der Geometrie.

Er war ein stiller Gelehrter, der Rufe an andere Universitäten ablehnte. Seine Ideen wirken bis heute, von der Computergrafik bis zur Primzahlforschung.

Herkunft, Studium und Leipzig

Möbius wurde am 17. November 1790 in Schulpforta bei Naumburg geboren. Sein Vater war Tanzlehrer und starb, als der Sohn drei Jahre alt war. Seine Mutter stammte von Martin Luther ab. Bis 1803 wurde er zu Hause unterrichtet, dann besuchte er die berühmte Landesschule Pforta. Ab 1809 studierte er in Leipzig zunächst Rechtswissenschaft und wechselte dann zu Mathematik, Astronomie und Physik.

1813 hörte er in Göttingen den Astronomen Carl Friedrich Gauß, danach in Halle den Mathematiker Johann Friedrich Pfaff. 1815 habilitierte er sich in Leipzig. 1816 wurde er auf Empfehlung von Gauß außerordentlicher Professor für Astronomie und Beobachter an der Leipziger Sternwarte. Er leitete deren Umbau von 1818 bis 1821 und übernahm 1848 die Direktion. 1820 heiratete er; das Paar hatte eine Tochter und zwei Söhne. Zu seinen Enkeln zählte der Nervenarzt Paul Julius Möbius.

Der barycentrische Calcul: Punkte als Schwerpunkte

Möbius’ erstes großes Buch erschien 1827. Seine Grundidee: Man beschreibt einen Punkt als Schwerpunkt von Gewichten. Setzt man in den Ecken A, B, C eines Dreiecks die Gewichte a, b und c an, so gibt es genau einen Punkt P, an dem man das Dreieck im Gleichgewicht balancieren könnte:

Diese „Gewichts-Koordinaten“ sind unabhängig davon, wie man das Koordinatensystem legt, und sie erlauben Rechnungen mit Punkten im Unendlichen. In Computergrafik und Robotik rechnet man heute mit ihrer Weiterentwicklung, den homogenen Koordinaten. Möbius legte damit auch Grundlagen für die projektive Geometrie. Wie man mit Punkten und Pfeilen im Koordinatensystem rechnet, steht im Lernbereich Vektoren.

Das Möbiusband

1858 stieß Möbius bei Untersuchungen über Polyeder, also Körper mit ebenen Flächen, auf eine überraschende Fläche. Ein normaler Papierring hat zwei Seiten, innen und außen. Verklebt man den Streifen aber mit einer halben Drehung, gibt es nur noch eine einzige durchgehende Fläche, auf der man von jedem Punkt zu jedem anderen gelangt, ohne den Rand zu überqueren. Auch der Rand besteht nur aus einer einzigen Kurve.

Möbius erkannte die einseitige Fläche 1858, doch er veröffentlichte sie erst 1865 in einer Abhandlung über den Inhalt von Polyedern, die ursprünglich für ein Preisausschreiben der Pariser Akademie gedacht war. Der Göttinger Mathematiker Johann Benedict Listing hatte die Fläche im selben Jahr unabhängig gefunden und seinen Fund schon 1861/62 veröffentlicht. Gelegentlich wird deshalb Listing als Entdecker genannt. Das Möbiusband ist ein Grundbeispiel der Topologie, der Lehre von Eigenschaften, die bei Verformen erhalten bleiben. Felix Klein erdachte später die nach ihm benannte Kleinsche Flasche.

Möbius-Funktion und Möbius-Transformation

1832 führte Möbius eine Funktion ein, die in der Zahlentheorie unentbehrlich wurde. Die Möbius-Funktion μ(n) zerlegt n in Primfaktoren. Kommt ein Primfaktor doppelt vor, ist μ(n) = 0. Sonst ist μ(n) = +1 bei einer geraden Anzahl verschiedener Primfaktoren und −1 bei einer ungeraden Anzahl.

Die Funktion ist eng mit den Primzahlen und mit Bernhard Riemanns Zetafunktion verbunden, und mit ihr lassen sich Summen über alle Teiler einer Zahl wieder „umkehren“ (Möbius-Inversion). Die zweite große Erfindung betrifft komplexe Zahlen. Eine Möbius-Transformation hat die Form

und verwandelt Kreise und Geraden stets wieder in Kreise oder Geraden. Möbius beschrieb sie 1855 als „Kreisverwandtschaft“. Heute dienen sie unter anderem dazu, die Geometrie der Riemannschen Zahlenkugel und der Relativitätstheorie zu beschreiben.

Statik, Fünf-Prinzen-Problem und späte Jahre

1837 veröffentlichte Möbius das Lehrbuch der Statik, in dem er das Gleichgewicht von Kräften geometrisch behandelte. 1840 stellte er in einer Vorlesung ein Rätsel: Ein König will sein Reich unter fünf Söhnen aufteilen, sodass jedes Gebiet an jedes der vier anderen grenzt. Es geht nicht, wie man heute weiß. Die Aufgabe gehört zu den Vorläufern des Vierfarbenproblems.

1844 wurde Möbius ordentlicher Professor, nachdem er einen Ruf nach Jena abgelehnt hatte. Er starb am 26. September 1868 in Leipzig. Nach ihm sind ein Mondkrater und ein Asteroid benannt.

Zeitleiste: August Ferdinand Möbius’ Leben

1. 1790 Geburt am 17. November in Schulpforta
2. 1809 Beginn des Studiums in Leipzig
3. 1813 Studium bei Gauß in Göttingen
4. 1816 Professor für Astronomie in Leipzig
5. 1827 Der barycentrische Calcul
6. 1832 Einführung der Möbius-Funktion
7. 1840 Das Problem der fünf Prinzen
8. 1848 Direktor der Leipziger Sternwarte
9. 1858 Entdeckung des Möbiusbands
10. 1868 Tod am 26. September in Leipzig

Bedeutung heute

• Computergrafik: Homogene Koordinaten sind Standard, wenn Programme Figuren drehen, verschieben und perspektivisch darstellen.
• Technik: Förderbänder und Schleifbänder werden mitunter als Möbiusband gedreht, damit sie sich gleichmäßig abnutzen.
• Zahlentheorie: Die Möbius-Funktion gehört zu den Standardwerkzeugen beim Zählen und Sieben von Zahlen.
• Kunst und Symbol: Das Möbiusband erscheint als Motiv in Kunst und Architektur und als Symbol der Endlosigkeit.

Mehr zu Dreiecken, Flächen und Körpern bietet der Lernbereich Geometrie; einordnen lässt sich Möbius in der Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Was ist ein Möbiusband?

Ein Band mit einer halben Verdrehung, dessen Enden verklebt sind. Es hat nur eine Seite und nur einen Rand.

Wann lebte August Ferdinand Möbius?

Er wurde am 17. November 1790 in Schulpforta geboren und starb am 26. September 1868 in Leipzig.

Quellen und weiterführende Literatur

• Richard Baltzer (Hrsg.): August Ferdinand Möbius. Gesammelte Werke, 4 Bände. S. Hirzel, Leipzig 1885–1887.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2, Springer, Berlin 2009.
• MacTutor History of Mathematics: August Ferdinand Möbius (englisch)