Übergangsmatrizen: Aufgaben mit Lösungen

Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie Menschen oder Dinge zwischen Zuständen wechseln. In jeder Spalte steht, wohin die Mitglieder eines Zustands in einem Schritt wechseln. Wähle oben eine Aufgabenart und die Zahl der Zustände. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Aufbau: Die Spalte gibt den Zustand „von“ an, die Zeile den Zustand „nach“. Jede Spalte summiert sich zu 1 (oder 100 %).
• Ein Schritt: Der neue Zustandsvektor ist A · v. Jede Zeile wird mit dem Vektor multipliziert: erste Zeile mal v ergibt die neue Zahl im ersten Zustand.
• Zwei Schritte: Rechne zweimal nacheinander A · v, oder nutze A² · v. Das Nacheinander ist meist weniger Arbeit.
• Stationäre Verteilung: Gesucht ist v mit A · v = v und der Summe 1. Bei zwei Zuständen genügt eine Gleichung mit v₁ + v₂ = 1.
• Abkürzung bei zwei Zuständen: Wechselt Zustand 1 mit der Wahrscheinlichkeit p zu Zustand 2 und Zustand 2 mit q zu Zustand 1, ist die stationäre Verteilung (q : (p + q) | p : (p + q)). Für p = 0,1 und q = 0,2 ergibt das (2 : 3 | 1 : 3).

Die Grundlagen stehen auf der Seite Übergangsmatrizen bei der Übergangsmatrix, bei mehreren Schritten und bei der stationären Verteilung. Das Multiplizieren erklärt die Seite Matrizen, zum Kontrollieren dient der Matrizenrechner.