Taylorreihen: Taylorpolynom, Restglied und Reihen

Ein Taylorpolynom ist ein Polynom, das sich an einer Stelle $a$ an eine Funktion $f$ „anschmiegt“: Es hat dort denselben Funktionswert, dieselbe Steigung, dieselbe Krümmung und so weiter. Mit ihm kannst du Funktionen wie $\sin x$ oder $e^{x}$ näherungsweise berechnen, nur mit Addieren, Multiplizieren und Dividieren. Treibst du den Grad immer weiter, entsteht eine unendliche Summe, die Taylorreihe.

Die einfachste Näherung kennst du schon: die Tangente. Sie hat denselben Wert und dieselbe Steigung wie die Funktion, ist also ein Taylorpolynom vom Grad 1. Mit höheren Potenzen verbessert sich die Näherung. Du brauchst dafür die Ableitung und die Ableitungen der Ableitung, die höheren Ableitungen $f'', f''', \dots$ . Zum Kontrollieren hilft der Ableitungsrechner.

Die Idee: Anschmiegen

Gesucht ist ein Polynom $T_{n} (x) = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} (x - a)^{2} + \dots + c_{n} (x - a)^{n}$ , das an der Stelle $a$ dieselben Ableitungen hat wie $f$ . Für die erste Ableitung heißt das $T_{n}' (a) = f' (a)$ , für die zweite $T_{n}'' (a) = f'' (a)$ und so fort. Leitest du $T_{n}$ genau $k$ -mal ab und setzt dann $x = a$ ein, bleibt nur der Summand mit $(x - a)^{k}$ übrig, alle anderen werden null. Dieser liefert den Wert $c_{k} \cdot k \cdot (k - 1) \cdot \dots \cdot 1 = c_{k} \cdot k!$ . Er soll gleich $f^{(k)} (a)$ sein, und daraus folgt $c_{k} = \frac{f^{(k)} (a)}{k!}$ .

Als Beispiel nehmen wir $f (x) = \sin x$ an der Stelle $a = 0$ . Die Ableitungen wiederholen sich: $\sin, \cos, - \sin, - \cos, \sin, \dots$ . An der Stelle 0 sind ihre Werte $0, 1, 0, - 1, 0, 1, \dots$ . Daraus ergeben sich die Koeffizienten $c_{k}$ :

$c_{0} = 0$ , $c_{1} = 1$ , $c_{2} = 0$ , $c_{3} = - \frac{1}{3!} = - \frac{1}{6}$ , $c_{4} = 0$ , $c_{5} = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ , $c_{6} = 0$ , $c_{7} = - \frac{1}{5040}$ .

Das Taylorpolynom 7. Grades lautet also $T_{7} (x) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040}$ .

Taylorpolynome von sin x an der Stelle 0. T₁ = x ist die Tangente. Mit jedem Grad schmiegt sich das Polynom über einen größeren Bereich an die Sinuskurve an. Weit außen laufen die Polynome davon.

Im Bild siehst du, wie sich die Polynome an die Sinuskurve anschmiegen. $T_{1} = x$ ist die Tangente im Nullpunkt. $T_{3}$ trifft die Kurve schon besser. Die Abweichung bleibt unter 0,01 bei $T_{3}$ bis etwa $x = 1$ , bei $T_{5}$ bis etwa $1,8$ und bei $T_{7}$ bis etwa $2,5$ . Weit vom Nullpunkt entfernt laufen alle Polynome davon, denn ein Polynom geht irgendwann gegen Unendlich, der Sinus nicht.

Die Formel

Die Entwicklungsstelle wählst du also so, dass du dort die Funktionswerte und Ableitungen leicht kennst und dass sie nahe am gesuchten $x$ liegt. Je weiter $x$ von $a$ entfernt ist, desto größer wird in der Regel der Fehler.

Die wichtigsten Reihen

Wichtige Taylorreihen um $a = 0$
Funktion	Reihe	gilt für
$e^{x}$	$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$	alle $x$
$\sin x$	$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$	alle $x$
$\cos x$	$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$	alle $x$
$\ln (1 + x)$	$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1} x^{k}}{k} = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots$	$- 1 < x \leq 1$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$	$- 1 < x < 1$
$\arctan x$	$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k + 1}}{2 k + 1} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots$	$- 1 \leq x \leq 1$

Vergleiche die Reihen: Der Sinus hat nur ungerade Potenzen, denn er ist punktsymmetrisch. Der Kosinus hat nur gerade Potenzen, denn er ist achsensymmetrisch. Die Reihe für $\frac{1}{1 - x}$ ist die geometrische Reihe. Setzt du in die Reihe für den Arkustangens $x = 1$ ein, ergibt sich wegen $\arctan 1 = \frac{π}{4}$ die Reihe $\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots$ . Wie diese Reihen in Indien entdeckt wurden, steht bei Madhava.

Mit Reihen rechnen

Wie gut ist die Näherung? Die Tabelle zeigt für $x = 1$ die Werte der Taylorpolynome von $\sin x$ . Der genaue Wert ist $\sin 1 = 0,8414709848$ .

Taylorpolynome von $\sin x$ an der Stelle $x = 1$
Grad $n$	$T_{n} (1)$	Fehler $\sin 1 - T_{n} (1)$
1	1,000000000	$- 1,6 \cdot 10^{- 1}$
3	0,833333333	$8,1 \cdot 10^{- 3}$
5	0,841666667	$- 2,0 \cdot 10^{- 4}$
7	0,841468254	$2,7 \cdot 10^{- 6}$
9	0,841471010	$- 2,5 \cdot 10^{- 8}$

Mit jedem weiteren Glied gewinnst du etwa zwei Stellen. Beim Grad 7 stimmen schon fünf Nachkommastellen, beim Grad 9 sieben. Bei der Exponentialfunktion ist es ähnlich: Für $x = 1$ ergeben die Grade 0 bis 6 die Werte $1$ ; $2$ ; $2,5$ ; $2,6667$ ; $2,7083$ ; $2,7167$ und $2,7181$ .

Das Restglied: wie genau ist die Näherung?

Der Fehler des Taylorpolynoms heißt Restglied $R_{n} (x) = f (x) - T_{n} (x)$ . Eine Formel von Joseph-Louis Lagrange liefert ihn ohne die Funktion selbst zu kennen:

Der Konvergenzradius

Nicht jede Taylorreihe stimmt überall mit der Funktion überein. Sie konvergiert im Allgemeinen nur in einem Bereich um die Entwicklungsstelle $a$ , nämlich für $| x - a | < ρ$ . Die Zahl $ρ$ heißt Konvergenzradius. Für die Reihen von $e^{x}$ , $\sin x$ und $\cos x$ ist $ρ = \infty$ : Sie stimmen überall. Für $\frac{1}{1 - x}$ , $\ln (1 + x)$ und $\arctan x$ ist $ρ = 1$ .

Bei einer Reihe $\sum c_{k} x^{k}$ erhältst du den Radius oft aus dem Quotienten aufeinanderfolgender Koeffizienten, $ρ = \lim | \frac{c_{k}}{c_{k + 1}} |$ . Bei $e^{x}$ ist $c_{k} = \frac{1}{k!}$ , also $\frac{c_{k}}{c_{k + 1}} = k + 1 \to \infty$ . Bei der geometrischen Reihe sind alle $c_{k} = 1$ , also ist $ρ = 1$ .

Überraschend: Die Funktion $\frac{1}{1 + x^{2}}$ ist auf ganz $ℝ$ glatt, ihre Reihe $1 - x^{2} + x^{4} - \dots$ hat aber ebenfalls nur den Radius 1. Der Grund liegt bei den komplexen Zahlen: Der Nenner wird bei $x = \pm i$ null, und diese Stellen haben von 0 den Abstand 1.

Anwendungen

Kleine Winkel und das Pendel

Aus der Reihe $\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \dots$ folgt für kleine Winkel (im Bogenmaß) die Näherung $\sin x \approx x$ . Der Fehler ist klein: Bei $x = 0,1$ (rund $5,7 °$ ) beträgt er 0,17 %, bei $10 °$ etwa 0,5 %, bei $30 °$ aber schon 4,7 %.

Die Näherung macht das Pendel berechenbar. Die Bewegungsgleichung eines Fadenpendels lautet $θ'' = - \frac{g}{L} \sin θ$ . Mit $\sin θ \approx θ$ wird daraus die einfache Schwingungsgleichung, deren Periode $T = 2 π \sqrt{L / g}$ nicht von der Auslenkung abhängt. Mehr zu solchen Gleichungen steht bei den Differentialgleichungen. Bei einer Auslenkung von $10 °$ ist die wahre Schwingungsdauer um etwa 0,2 % länger.

Die Euler-Formel

Setzt du in die Reihe der Exponentialfunktion $i x$ ein, sortierst du die Potenzen von $i$ : $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , dann wiederholt es sich. Die Summanden ohne $i$ ergeben die Reihe des Kosinus, die mit $i$ die des Sinus:

e^{i x} = (1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots) + i (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots) = \cos x + i \sin x

Für $x = π$ folgt die berühmte Gleichung $e^{i π} + 1 = 0$ (siehe Eulers Identität).

Grenzwerte

Mit Reihen lassen sich Grenzwerte, bei denen Zähler und Nenner gegen 0 gehen, direkt ablesen:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^{2}}{6} + \dots) = 1$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{24} + \dots) = \frac{1}{2}$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \dots) = \frac{1}{2}$ .

Taschenrechner und Zinsen

Rechner und Computer berechnen Funktionen wie $\sin$ und $e^{x}$ mit Polynomen und ähnlichen Verfahren. Der Gedanke dahinter ist die Taylorreihe, und das Restglied sagt, wie viele Glieder für die angezeigten Stellen nötig sind. Auch im Alltag nützt sie: Aus der Binomialreihe folgt $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ für kleines $x$ . Bei 1 % Zinsen und 10 Jahren ergibt ${1,01}^{10}$ den Wert $1,1046$ , die Näherung $1 + 10 \cdot 0,01 = 1,10$ liegt nur 0,4 % daneben.

Typische Fehler

Übungen

Zum Üben hilft der Taylorpolynom-Rechner, Folgen und Reihen kannst du mit dem Folgenrechner prüfen.

Geschichte: von Madhava bis Lagrange

Die frühesten Beispiele für Taylorreihen stammen aus dem 14. Jahrhundert von Madhava in Kerala (Südindien), der Reihen für Sinus, Kosinus und Arkustangens gefunden haben soll (Pi-Geschichte). In Europa leitete Isaac Newton mehrere solcher Reihen her. Ende 1670 schickte der Mathematiker John Collins einige davon an James Gregory. Gregory fand daraufhin etwas wie die allgemeine Maclaurin-Reihe und schrieb Anfang 1671 an Collins darüber.

Zum Namensgeber wurde Brook Taylor, der 1715 in seiner Methodus incrementorum directa et inversa den allgemeinen Satz veröffentlichte. Seine Bedeutung wurde zunächst nicht erkannt. 1772 nannte ihn Joseph-Louis Lagrange „die Hauptgrundlage der Differentialrechnung“. Colin Maclaurin stellte 1742 in seinem Treatise of Fluxions den Fall $a = 0$ heraus und schrieb die Reihe Taylor zu. Deshalb heißt dieser Fall heute Maclaurin-Reihe. Leonhard Euler nutzte Reihen intensiv, unter anderem für die nach ihm benannte Formel für $e^{i x}$ . Die Formel für das Restglied trägt den Namen Lagranges.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Taylorpolynom und Taylorreihe?

Das Taylorpolynom hat endlich viele Glieder bis zum Grad $n$ und ist eine Näherung. Die Taylorreihe hat unendlich viele Glieder und kann, wo sie konvergiert, die Funktion genau darstellen.

Warum heißt es manchmal Maclaurin-Reihe?

Weil $a = 0$ der wichtigste Fall ist. Colin Maclaurin hat ihn 1742 ausführlich behandelt, obwohl Taylor die Formel schon 1715 für jede Stelle $a$ veröffentlicht hatte.

Wie viele Glieder braucht man?

Das hängt von der gewünschten Genauigkeit und vom Abstand zur Entwicklungsstelle ab. Das Restglied liefert eine Schranke, mit der du die nötige Gliederzahl bestimmen kannst.

Funktioniert die Taylorreihe für jede Funktion?

Nein. Die Funktion muss an der Stelle beliebig oft differenzierbar sein, und selbst dann kann die Reihe nur an der Entwicklungsstelle stimmen (siehe das Beispiel $e^{- 1 / x^{2}}$ ).

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Taylor-Formel
Wikipedia: Taylorreihe
Wikipedia: Konvergenzradius
Wikipedia: Brook Taylor
Wikipedia: Taylor series (englisch, Abschnitt History)
Brook Taylor: Methodus incrementorum directa et inversa, London 1715.