Taylorpolynom-Rechner: Funktionen durch Polynome annähern

So benutzt du den Rechner

Gib die Funktion ein, etwa sin(x), e^x oder ln(1+x), dazu die Entwicklungsstelle a, den Grad n und eine Stelle x, an der du den Näherungswert sehen möchtest. Der Rechner zeigt die Rechenschritte, eine Tabelle der Ableitungen und den Graphen von Funktion und Polynom.

Die Idee

Ein Taylorpolynom stimmt an der Stelle a mit der Funktion überein, und zwar nicht nur im Wert, sondern auch in der ersten, zweiten, dritten und jeder weiteren Ableitung bis zum Grad n. Je mehr Ableitungen übereinstimmen, desto besser passt das Polynom in der Nähe von a. Die Formel lautet:

Zwei Beispiele

Für sin(x) an der Stelle 0 sind die Ableitungen abwechselnd 0, 1, 0, −1. Das Taylorpolynom vom Grad 7 ist x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040. An der Stelle x = 1 liefert es 0,841468254, der genaue Wert sin(1) ist 0,8414709848. Der Fehler beträgt nur etwa 0,0000027.

Für e^x sind alle Ableitungen wieder e^x, an der Stelle 0 also 1. Das Polynom vom Grad 4 ist 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24. Bei x = 1 ergibt es 2,7083, die Eulersche Zahl e ist 2,71828. Mit jedem weiteren Glied kommt man näher, und die unendliche Reihe ergibt genau e. Mehr über diese Zahl steht auf der Seite Exponentialfunktion.

Wofür man Taylorpolynome braucht

Taschenrechner und Computer berechnen Sinus, Logarithmus und e-Funktion mit Polynomen und ähnlichen Näherungen, denn Polynome bestehen nur aus Plus und Mal. In der Physik ersetzt man schwierige Funktionen nahe einem Punkt durch die ersten Glieder: Für kleine Winkel ist sin(x) ≈ x, daraus folgt die einfache Formel für die Schwingungsdauer eines Pendels.

Konvergenz, Restglied und die wichtigsten Reihen erklärt die Lernseite Taylorreihen. Einzelne Ableitungen mit Rechenweg bildet der Ableitungsrechner, die Grundlagen stehen in der Analysis.

Häufige Fragen