Rechner · Klasse 10 bis Studium
Regressionsrechner: Ausgleichsgerade, Korrelation und Prognose
Der Rechner legt durch Messpunkte die beste Gerade, Parabel oder Exponentialkurve nach der Methode der kleinsten Quadrate. Er zeigt den Rechenweg, den Korrelationskoeffizienten, das Bestimmtheitsmaß, die Abweichungen jedes Punktes und eine Prognose.
So benutzt du den Rechner
Trage die Messwerte als Paare ein, ein Paar pro Zeile, zum Beispiel 1 2,1. Wähle das Modell: linear (Gerade), quadratisch (Parabel) oder exponentiell (Wachstum). Der Rechner zeigt die Gleichung, wie gut sie passt, und eine Prognose für einen x-Wert deiner Wahl. Im Diagramm siehst du die Punkte und die Kurve.
Die Methode der kleinsten Quadrate
Echte Messpunkte liegen nie genau auf einer Geraden. Gesucht ist die Gerade y = ax + b, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände aller Punkte zur Geraden am kleinsten ist. Die Lösung lässt sich direkt ausrechnen:
Beispiel mit den Punkten (1 | 2,1), (2 | 3,9), (3 | 6,2), (4 | 7,8) und (5 | 10,1): Die Mittelwerte sind 3 und 6,02. Die Formel ergibt a = 19,9 : 10 = 1,99 und b = 6,02 − 1,99 · 3 = 0,05. Die Ausgleichsgerade lautet y = 1,99x + 0,05, und für x = 8 sagt sie etwa 15,97 voraus.
Wie gut passt die Gerade?
Der Korrelationskoeffizient r liegt zwischen −1 und 1. Werte nahe 1 bedeuten einen starken steigenden, Werte nahe −1 einen starken fallenden Zusammenhang, Werte um 0 keinen linearen Zusammenhang. Im Beispiel ist r = 0,9987. Das Bestimmtheitsmaß R² = 0,9973 sagt: Die Gerade erklärt 99,7 % der Streuung der y-Werte. Wichtig bleibt der Blick ins Diagramm, denn auch eine gekrümmte Punktwolke kann ein hohes r haben.
Exponentielle Regression
Für Wachstum, das sich in gleichen Schritten vervielfacht, passt y = a · bx. Der Rechner logarithmiert die y-Werte, legt eine Gerade durch die Logarithmen und rechnet zurück. Für die Werte 100, 152, 228, 341 und 510 bei x = 0 bis 4 erhält er y ≈ 100,65 · 1,5018x, also ein Wachstum um gut 50 % pro Schritt. Die Prognose für x = 6 ist rund 1155. Mehr zu solchen Modellen steht auf der Seite Exponentialfunktion.
Die Lernseite Lineare Regression erklärt die Methode ausführlich, das Arbeitsblatt Lineare Regression bietet Übungen. Mittelwert, Standardabweichung und Boxplot einer einzelnen Datenreihe berechnet der Statistik-Rechner.
Häufige Fragen
Bedeutet eine hohe Korrelation, dass x die Ursache für y ist?
Nein. Zwei Größen können zusammenhängen, weil beide von einer dritten abhängen, oder ganz zufällig. Mehr dazu im Abschnitt Korrelation ist nicht Kausalität.
Wie weit darf ich mit der Prognose gehen?
Vorsichtig. Innerhalb des Bereichs der Messwerte ist die Prognose meist gut. Weit außerhalb kann sich der Zusammenhang ändern, und das Modell gilt nicht mehr.
Welches Modell soll ich wählen?
Schau dir die Punkte an. Liegen sie ungefähr auf einer Linie, nimm linear. Bilden sie einen Bogen, quadratisch. Wachsen sie immer schneller um ungefähr denselben Faktor, exponentiell. Vergleiche dann R² und die Abweichungen.
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