Potenzmethode, Rayleigh-Quotient und Gerschgorin-Kreise: Aufgaben

Hier rechnest du von Hand die Schritte nach, die ein Computer für Eigenwerte ausführt. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt. Eigenwerte über das charakteristische Polynom übst du auf dem Blatt Eigenwerte.

Das brauchst du

• Potenzmethode: x^(k+1) = A x^(k), nach jedem Schritt normieren. Ohne Normierung ist x⁽²⁾ = A(A x⁽⁰⁾).
• Rayleigh-Quotient: R(x) = x^TA x / x^Tx. Für Eigenvektoren ist es genau der Eigenwert.
• Rate: Der Fehler sinkt pro Schritt um |λ₂/λ₁|. Eigenwerte bei 2 × 2: Spur = Summe, Determinante = Produkt.
• Schrittzahl: Gesucht ist das kleinste k mit q^k < 10^−d, also k > d · ln 10 / (−ln q).
• Gerschgorin: Jeder Eigenwert liegt in einem Kreis um a_ii mit dem Radius Σ_j≠i |a_ij|.

Alles steht auf der Seite Numerische Eigenwertverfahren bei der Potenzmethode, dem Rayleigh-Quotienten und den Gerschgorin-Kreisen.