Omar Chayyam

Omar Chayyam (1048–1131), auf Persisch Omar-e Chayyām, war ein persischer Mathematiker, Astronom und Philosoph aus Nischapur im Nordosten des heutigen Iran. In der Mathematik wurde er durch eine Entdeckung berühmt: Er zeigte, wie man Gleichungen dritten Grades, bei denen die Unbekannte als x³ vorkommt, mit Hilfe von Kegelschnitten löst, also mit Parabeln, Kreisen und Hyperbeln. Sein Algebrabuch ist das erste bekannte Werk, das solche Gleichungen systematisch ordnet.

Außerdem arbeitete er an einer Kalenderreform mit und untersuchte das Parallelenpostulat des Euklid. Im Westen kennt man ihn vor allem als Dichter: Die Vierzeiler, die ihm zugeschrieben werden, machte der Engländer Edward FitzGerald 1859 weltberühmt.

Leben: Gelehrter zwischen Hof und Sternwarte

Der Name Chayyam bedeutet „Zeltmacher“ und weist vermutlich auf das Handwerk seines Vaters Ibrahim hin. Omar wuchs in der Zeit der Seldschuken auf, türkischer Herrscher, die das Land seit etwa 1040 regierten. Gelehrte waren nur sicher, wenn ein Fürst sie schützte. Um 1070 ging Chayyam nach Samarkand, wo ihn der Rechtsgelehrte Abu Tahir förderte. Dort schrieb er sein berühmtes Algebrabuch. In der Einleitung klagt er über die schwierigen Zeiten, in denen Wissenschaftler kaum Ruhe fanden.

1073 oder 1074 rief ihn der Seldschuken-Sultan Malik Schah nach Isfahan, wo er mit dem Wesir Nizam al-Mulk ein Observatorium aufbaute. Etwa 18 Jahre lang leitete Chayyam die Forscher dort. 1079 trug er zur Reform des Kalenders bei. 1092 wurde Nizam al-Mulk ermordet, kurz darauf starb der Sultan. Die Förderung endete, und Chayyam geriet auch unter Druck frommer Kritiker. Später arbeitete er wohl in Merw (im heutigen Turkmenistan) und starb in seiner Heimatstadt Nischapur.

Kubische Gleichungen mit Kegelschnitten

Quadratische Gleichungen lösten Gelehrte wie al-Chwarizmi mit Rechnung und Zeichnung. Bei Gleichungen dritten Grades versagte das. Schon die Griechen kannten Aufgaben, die darauf führen, etwa die Würfelverdoppelung. Chayyam schreibt in seiner Einleitung, dass von den Alten keine Schrift darüber überliefert sei. Seine Antwort war, alle Gleichungen dritten Grades mit positiven Beiwerten in Typen einzuteilen und jeden Typ geometrisch zu lösen: durch den Schnittpunkt zweier Kegelschnitte. So heißen die Kurven, die entstehen, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Eine Formel suchte er nicht, er hoffte aber, dass spätere Gelehrte eine rechnerische Lösung finden würden. Das gelang den Italienern im 16. Jahrhundert (Tartaglia, Cardano und Ferrari). Auch erkannte er, dass eine solche Gleichung mehr als eine Lösung haben kann. Und er sagte, dass sie sich im Allgemeinen nicht mit Zirkel und Lineal lösen lasse. Für die Würfelverdoppelung bewies das erst 1837 Pierre Wantzel.

Allgemein löst die Parabel x² = b · y zusammen mit dem Halbkreis über dem Durchmesser c die Gleichung x³ + b²x = b²c. Die Gleichung dieses Beispiels hat b = 1 und c = 10. Chayyam rechnete nicht mit Buchstaben, sondern beschrieb alles in Worten und Figuren, etwa als „ein Würfel und Seiten sind gleich einer Zahl“. Dass er die Aufgabe in dieser Form lösen konnte, setzt eine Brücke zwischen Algebra und Geometrie voraus, die erst Descartes im 17. Jahrhundert zu einem allgemeinen Verfahren ausbaute. Wie man quadratische Gleichungen löst, erklärt die Lernseite zu quadratischen Gleichungen.

Parallelen und Verhältnisse

In einem Kommentar zu den schwierigen Postulaten bei Euklid versuchte Chayyam, das Parallelenpostulat zu beweisen: Eine dritte Gerade trifft zwei Geraden so, dass die Innenwinkel auf einer Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind. Dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite. Beweisen ließ sich das nicht, denn das Postulat folgt nicht aus den anderen. Doch beim Versuch untersuchte er Vierecke mit zwei rechten Winkeln an der Grundseite und gleich langen Seitenkanten daneben und stieß so auf Eigenschaften, die später in der nichteuklidischen Geometrie eine Rolle spielten. Auch Nasir ad-Din at-Tusi arbeitete später an diesem Problem. Im selben Buch untersucht Chayyam, wann Verhältnisse gleich sind, und fragt, ob ein Verhältnis selbst eine Zahl sein kann.

Die Kalenderreform

Unter Malik Schah wurde ab 1079 ein neuer Sonnenkalender eingeführt, der nach dem Herrschernamen Dschalal ad-Din Dschalali-Kalender heißt. Chayyam gehörte der Gruppe von Gelehrten an, die ihn vorbereiteten. Für die Länge des Jahres wird ihm in der Literatur ein Wert von etwa 365,2422 Tagen zugeschrieben, ein Wert, der bis in die vierte Nachkommastelle mit der heutigen Messung übereinstimmt. Der heutige iranische Kalender geht auf diese Reform zurück.

Der Dichter: Rubaiyat nur kurz

Ein Rubai ist ein Vierzeiler, Mehrzahl Rubaiyat. Viele solcher Gedichte, die vom Weingenuss, vom Vergehen der Zeit und von Zweifeln am Schicksal sprechen, werden Chayyam zugeschrieben. FitzGerald veröffentlichte 1859 eine freie englische Nachdichtung, die zunächst 75 Vierzeiler umfasste und später erweitert wurde, und löste damit eine Welle der Begeisterung aus.

Zeitleiste

1. 1048 Geburt Omar Chayyams in Nischapur.
2. um 1070 In Samarkand entsteht die Abhandlung über Beweise für Aufgaben der Algebra.
3. 1073–1074 Berufung nach Isfahan, Bau und Leitung der Sternwarte.
4. 1079 Beginn der Kalenderreform unter Malik Schah.
5. 1092 Tod von Nizam al-Mulk und Malik Schah, das Ende der Förderung.
6. 1131 Tod Chayyams in Nischapur.
7. 1535–1545 Tartaglia und Cardano finden die Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades.
8. 1837 Wantzel beweist, dass die Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist.
9. 1859 FitzGeralds Rubáiyát of Omar Khayyám erscheint.

Was von Omar Chayyam bleibt

Chayyam gilt vielen als der Erste, der eine allgemeine Theorie der Gleichungen dritten Grades entwarf, und er verband damit Algebra und Geometrie auf eine Weise, die den Weg zur analytischen Geometrie bereitete. Sein Algebrabuch erschien 1851 in einer französischen Übersetzung von Franz Woepcke, die im Westen seinen Ruf als Mathematiker begründete. Er steht in der Tradition von al-Karadschi, der die Algebra stärker vom Rechnen mit Bildern löste, und von Ibn al-Haitham, der Kegelschnitte zur Lösung von Aufgaben nutzte.

Quellen und weiterführende Literatur

• Sebastian Linden: Die Algebra des Omar Chayyam, 2. Auflage, Springer, Berlin und Heidelberg 2017.
• Roshdi Rashed, Bijan Vahabzadeh: Omar Khayyam, the Mathematician, Bibliotheca Persica Press, New York 2000.
• Mehdi Aminrazavi: The Wine of Wisdom. The Life, Poetry and Philosophy of Omar Khayyam, Oneworld, Oxford 2005.
• Franz Woepcke: L’algèbre d’Omar Alkhayyâmî, Paris 1851.
• MacTutor History of Mathematics: Omar Khayyam (englisch)
• Wikipedia: Omar Chayyām