Nasir ad-Din at-Tusi

Nasir ad-Din at-Tusi (1201–1274) war ein persischer Gelehrter, der als Mathematiker, Astronom und Philosoph arbeitete. Er stammte aus der Stadt Tus im Nordosten des heutigen Iran und lebte in einer Zeit, in der mongolische Heere ganze Reiche zerstörten. Trotzdem schuf er Werke, die Jahrhunderte überdauerten, darunter eine Abhandlung, die zum ersten Mal die Trigonometrie als eigenes Fach darstellte, also die Lehre vom Berechnen von Dreiecken.

Berühmt ist er für zwei Dinge. Er formulierte und bewies den Sinussatz für ebene Dreiecke, eine Regel, die Schülerinnen und Schüler noch heute lernen. Und er erfand das Tusi-Paar, einen geometrischen Kniff, der aus zwei gleichmäßigen Kreisbewegungen eine Pendelbewegung auf einer Geraden macht. Damit wollte er die Planetenbahnen besser beschreiben, als es das Weltbild des Claudius Ptolemäus erlaubte. At-Tusi zählt zu den Höhepunkten der Mathematik der islamischen Welt.

Herkunft und Ausbildung in Chorasan

At-Tusi kam 1201 in Tus zur Welt, einer Stadt in der Provinz Chorasan nahe dem heutigen Maschhad. Sein Name bedeutet schlicht „der aus Tus“. Er wuchs in einer schiitischen Familie auf und lernte zunächst Koran, Rechtswissenschaft und Arabisch. Als Jugendlicher ging er nach Nischapur, damals ein geistiges Zentrum der Region, und studierte Mathematik, die Philosophie des Avicenna und Medizin. Währenddessen zogen die Heere Dschingis Khans durch Chorasan. Wer in solchen Zeiten forschen wollte, brauchte den Schutz eines Fürsten.

Im Dienst von Ismailiten und Mongolen

Um 1233 fand at-Tusi eine Stelle am Hof eines ismailitischen Statthalters in Quhistan. Die Ismailiten, eine schiitische Glaubensgemeinschaft, besaßen in den Bergen Irans Festungen mit Bibliotheken. Hier schrieb er um 1235 die Achlaq-i Nasiri, ein Buch über Ethik, Haushalt und Politik, das für Jahrhunderte viel gelesen wurde. Später lebte er in der Bergfestung Alamut. Ob er freiwillig dorthin ging, ist unklar.

1256 ergab sich Alamut dem Mongolenherrscher Hülegü, einem Enkel Dschingis Khans. At-Tusi trat in dessen Dienst und begleitete ihn nach den meisten Berichten 1258 nach Bagdad, als die Mongolen die Stadt eroberten. Wie man sein Verhalten bewertet, ist umstritten: Manche Berichte werfen ihm vor, den Eroberern zu bereitwillig gedient zu haben, andere betonen, dass er Bibliotheken und Heiligtümer rettete.

Die Sternwarte von Maragha

Hülegü machte Maragha im Nordwesten Irans zu seiner Hauptstadt. Dort ließ er ab 1259 eine Sternwarte bauen, und at-Tusi leitete das Vorhaben. Es gab große Wandquadranten zum Messen von Sternhöhen, eine Bibliothek und Gelehrte aus vielen Ländern. Der Herrscher erhoffte sich vor allem zuverlässigere Vorhersagen, denn Astronomie und Astrologie waren damals noch eng verwoben. Das Ergebnis waren die Ilchanischen Tafeln (Zidsch-i Ilchani), um 1272 abgeschlossen: Tabellen für die Orte der Planeten und Sterne, benannt nach den mongolischen Ilchanen, den Herrschern Persiens.

Trigonometrie als eigenes Fach

Das Wort Trigonometrie bedeutet „Dreiecksmessung“: Aus wenigen bekannten Seiten und Winkeln eines Dreiecks berechnet man die übrigen. Werkzeuge dafür kannten schon Griechen und Inder, vor allem Tabellen für den Sinus, ein Maß für die Neigung eines Winkels. Doch sie dienten der Sternkunde. At-Tusi behandelte in seiner Schakl al-qattaʿ, oft als „Abhandlung über das vollständige Viereck“ übersetzt, ebene Dreiecke und Kugeldreiecke (Dreiecke auf einer Kugeloberfläche) ganz ohne astronomische Fragen. Er stellte die sechs Grundfälle des rechtwinkligen Kugeldreiecks zusammen. Damit wurde die Trigonometrie ein Teil der reinen Mathematik, wie es die Geometrie schon lange war.

Der Sinussatz

Der berühmteste Satz aus diesem Umfeld ist der Sinussatz: In jedem Dreieck stehen die Seiten im gleichen Verhältnis wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel. Seite a liegt dabei gegenüber von α, b gegenüber von β und c gegenüber von γ.

Praktisch ist das überall, wo man ein Dreieck nicht direkt ausmessen kann, etwa beim Vermessen von Gelände oder in der Seefahrt. Mehr zu Sinus, Kosinus und Tangens steht auf der Lernseite Trigonometrie.

Völlig neu war der Sinussatz nicht. Der indische Mathematiker Brahmagupta kannte im 7. Jahrhundert verwandte Beziehungen, und für Kugeldreiecke findet er sich im 10. Jahrhundert bei Gelehrten wie Abu Mahmud al-Chudschandi. At-Tusi formulierte und bewies ihn klar für ebene Dreiecke. In Europa erarbeitete Regiomontanus die Trigonometrie im 15. Jahrhundert unabhängig davon neu.

Das Tusi-Paar

Auch in der Astronomie suchte at-Tusi mathematische Klarheit. Ptolemäus hatte die Planetenbewegung mit Kreisen auf Kreisen beschrieben und dafür einen Rechentrick benutzt, den Äquant: einen Punkt neben dem Mittelpunkt, von dem aus die Bewegung gleichmäßig aussehen sollte. Viele Gelehrte fanden das unbefriedigend, denn Himmelskörper sollten sich gleichmäßig um einen Mittelpunkt bewegen.

At-Tusis Lösung ist das Tusi-Paar. Ein kleiner Kreis mit dem Radius r rollt im Inneren eines Kreises mit dem Radius 2r. Ein Punkt P auf dem kleinen Kreis läuft dabei nicht auf einer Kurve, sondern exakt auf einem Durchmesser des großen Kreises hin und her. Solche Pendelbewegungen brauchten at-Tusis Planetenmodelle. Für Merkur gelang ihm die Anwendung nicht, eine Lösung fand später Ibn asch-Schatir.

Euklid und das Parallelenpostulat

At-Tusi überarbeitete Klassiker wie Euklids Elemente und Ptolemäus’ Almagest (1247) so klar, dass Studierende sie auch ohne Lehrer verstanden. Seine Euklid-Fassung erschien 1594 in Rom im Druck. Wie vor ihm Ibn al-Haitham und Omar Chayyam versuchte er außerdem, Euklids Parallelenpostulat zu beweisen. Das kann nicht gelingen, wie im 19. Jahrhundert Bolyai und Lobatschewski mit ihren nichteuklidischen Geometrien zeigten.

Zeitleiste: Nasir ad-Din at-Tusi

1. 1201 Geburt in Tus in der Provinz Chorasan
2. ab 1213 Studium in Nischapur
3. 1233 Anstellung am Hof eines ismailitischen Statthalters
4. um 1235 Ethikbuch Achlaq-i Nasiri
5. 1256 Alamut ergibt sich Hülegü, at-Tusi tritt in dessen Dienst
6. 1259 Beginn des Baus der Sternwarte von Maragha
7. um 1272 Abschluss der Ilchanischen Tafeln
8. 1274 Tod bei Bagdad

Bedeutung und Nachwirkung

At-Tusis Planetenmodelle und Sterntafeln wurden im Orient jahrhundertelang benutzt und kommentiert. Dass die Trigonometrie heute als eigenes Gebiet der Mathematik gilt, ist auch sein Verdienst. Wer mit dem Sinussatz ein Dreieck berechnet, nutzt eine Regel, die er in allgemeiner Form bewies. Auch ein Navigationsgerät beruht auf dieser Idee: Standorte werden aus gemessenen Längen und Winkeln von Dreiecken berechnet. Ein Mondkrater, der Asteroid (10269) Tusi und eine technische Universität in Teheran tragen seinen Namen. Einen Gelehrten der übernächsten Generation stellt die Seite über Kamal ad-Din al-Farisi vor.

Häufige Fragen

Was besagt der Sinussatz?

In jedem Dreieck ist das Verhältnis von Seitenlänge zu Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich: a : sin α = b : sin β = c : sin γ.

Was ist das Tusi-Paar?

Ein kleiner Kreis rollt im Inneren eines doppelt so großen Kreises, und ein Punkt auf ihm bewegt sich geradlinig hin und her.

Quellen und weiterführende Literatur

• George Saliba: A History of Arabic Astronomy. Planetary Theories During the Golden Age of Islam, New York University Press, New York 1994.
• F. Jamil Ragep: Tusi and Copernicus. The Earth’s Motion in Context. In: Science in Context 14 (2001), S. 145–163.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Nasir al-Din al-Tusi (englisch)
• Wikipedia: Nasīr ad-Dīn at-Tūsī