Sumerische und babylonische Mathematik

Die sumerische und babylonische Mathematik ist die Mathematik Mesopotamiens, des Landes zwischen Euphrat und Tigris im heutigen Irak. Sie umfasst rund drei Jahrtausende: von den ersten Zahlzeichen der Sumerer um 3200 v. Chr. bis zur mathematischen Astronomie der Seleukidenzeit nach 300 v. Chr. Ihr bekanntestes Merkmal ist das Sexagesimalsystem, ein Stellenwertsystem zur Basis 60, dessen Spuren wir bis heute in jeder Uhr und jedem Winkelmesser finden.

Über keine frühe Kultur wissen wir mathematisch so viel wie über diese. Das liegt am Schreibmaterial: Die Schreiber drückten ihre Zeichen mit einem Griffel aus Schilfrohr in feuchten Ton. Getrocknete oder gebrannte Tontafeln überstehen Brände und Jahrtausende im Boden weit besser als Papyrus. So sind Hunderte mathematischer Texte erhalten: Rechentabellen, Übungsaufgaben mit Lösungen und Schülerarbeiten. Sie zeigen eine Mathematik, die aus Verwaltung und Landvermessung erwuchs, sich aber bald auch Aufgaben um ihrer selbst willen stellte.

Viele Ergebnisse, die man lange den Griechen zuschrieb, kannten babylonische Schreiber schon mehr als tausend Jahre früher: den Zusammenhang der Seiten im rechtwinkligen Dreieck, ein Verfahren für quadratische Gleichungen und eine Näherung für √2, die erst in der sechsten Nachkommastelle vom wahren Wert abweicht. Begründungen im Sinne eines Beweises findet man auf den Tafeln allerdings nicht; sie lehren Rechenwege anhand von Beispielen.

Historischer Rahmen: von Sumer bis zu den Seleukiden

Im Süden Mesopotamiens entstanden im 4. Jahrtausend v. Chr. die ersten Städte der Welt, allen voran Uruk. Tempel und Paläste verwalteten große Mengen an Getreide, Vieh, Arbeitskräften und Land. Um diese Wirtschaft zu organisieren, erfanden die Sumerer um 3200 v. Chr. die Schrift, und die ersten Texte waren fast ausschließlich Abrechnungen. Mathematik war hier von Anfang an ein Werkzeug der Verwaltung: Felder mussten vermessen, Ernten verteilt, Rationen berechnet und Abgaben festgesetzt werden. Deshalb wird Sumer oft als „Wiege der Zivilisation“ bezeichnet, auch wenn Ackerbau und Viehzucht schon Jahrtausende früher im gesamten Fruchtbaren Halbmond aufgekommen waren (siehe prähistorische Mathematik).

Die politische Geschichte Mesopotamiens ist wechselvoll. Auf die sumerischen Stadtstaaten folgten das Reich von Akkad (um 2300 v. Chr.) und die Dritte Dynastie von Ur (um 2100–2000 v. Chr.), deren straff organisierte Verwaltung das sexagesimale Stellenwertsystem für ihre Berechnungen nutzte. In der altbabylonischen Zeit (um 2000–1600 v. Chr.), zu der auch die Herrschaft Hammurabis von Babylon (1792–1750 v. Chr.) gehört, erreichte die Mathematik ihren Höhepunkt. Aus dieser Epoche stammt die große Mehrheit der mathematischen Tafeln.

Nach einer Phase mit wenigen mathematischen Quellen erlebte die Rechenkunst im 1. Jahrtausend v. Chr. eine zweite Blüte, diesmal in der Astronomie. Auch nach der Eroberung Babylons durch den Perserkönig Kyros (539 v. Chr.) und durch Alexander den Großen (331 v. Chr.) arbeiteten Tempelgelehrte weiter. Unter den Seleukiden entstand eine rechnende Astronomie von hoher Präzision, deren Keilschrifttexte bis ins 1. Jahrhundert v. Chr. reichen. Gesprochen wurde zuletzt Aramäisch und Griechisch; Sumerisch und Akkadisch lebten nur noch als Gelehrtensprachen weiter.

Quellen: Keilschrifttafeln und Schreiberschulen

Die mathematischen Keilschrifttexte lassen sich grob in zwei Gruppen teilen. Tabellentexte enthalten Multiplikationsreihen, Kehrwerte, Quadrat- und Kubikzahlen sowie Umrechnungen zwischen Maßeinheiten. Aufgabentexte stellen eine konkrete Frage, etwa nach der Seite eines Feldes oder dem Volumen eines Grabens, rechnen sie Schritt für Schritt vor und nennen das Ergebnis. Allgemeine Formeln oder Begründungen fehlen; das Verfahren wird an Zahlenbeispielen gezeigt, die oft so gewählt sind, dass die Rechnung glatt aufgeht.

Gelernt wurde Mathematik im Tafelhaus (sumerisch é-dub-ba-a), der Schreiberschule. Ein gut erforschtes Beispiel ist das sogenannte Haus F in Nippur: In diesem kleinen Wohnhaus, das um 1750 v. Chr. als Schule diente, fanden Archäologen über tausend Tafeln und Fragmente. Etwa die Hälfte sind Übungstexte, an denen sich der Lehrplan ablesen lässt: vom Einüben der Keile über Maß- und Zahlentabellen bis zu sumerischen Literaturtexten. Mathematik war Teil der Ausbildung jedes Schreibers.

Die meisten Tafeln wurden im 19. und 20. Jahrhundert ausgegraben (oft auch unkontrolliert von Raubgräbern) und gelangten in Museen und Sammlungen wie die Yale Babylonian Collection, die Columbia University in New York, das British Museum in London oder den Louvre in Paris. Ihre Entzifferung ist vor allem das Werk des 20. Jahrhunderts; die mathematischen Texte erschlossen ab den 1930er-Jahren insbesondere Otto Neugebauer und François Thureau-Dangin.

Von Zählsteinen zur Zahl: die sumerischen Anfänge

Lange vor der Schrift benutzten Menschen im Vorderen Orient kleine Zählsteine aus Ton, um Waren abzuzählen. Um 3500 v. Chr. schloss man sie in versiegelte Tonhüllen ein und drückte sie zur Kontrolle außen in die Hülle. Aus solchen Abdrücken gingen die ältesten Zahlzeichen hervor: Auf den frühen Tafeln aus Uruk stehen eingedrückte Marken, deren Form ihren Wert angibt. Im Zählsystem für Stückzahlen entsprach ein kleiner Kegelabdruck der 1, ein kleiner runder Abdruck der 10, ein großer Kegelabdruck der 60, ein großer Kegel mit eingedrücktem Kreis der 600 und ein großer Kreis der 3.600. Die Verbindung von 10 und 6 als Bündelungsschritte prägte das System von Anfang an.

Bemerkenswert ist, dass es zunächst nicht ein Zahlensystem gab, sondern rund ein Dutzend: Getreide wurde in anderen Einheiten und Bündelungsstufen gezählt als Vieh, Felder oder Zeitspannen. Erst allmählich lösten sich die Zahlen von den gezählten Dingen. Diesen Schritt zur abstrakten Zahl halten Historiker für eine der folgenreichsten Leistungen der Sumerer: Ein Zeichen für „sechzig“ bedeutete nun sechzig, gleich ob Krüge, Schafe oder Arbeitstage gemeint waren. Im Lauf des 3. Jahrtausends ersetzten keilförmige Zeichen die runden Abdrücke, sodass Zahlen und Wörter mit demselben Griffel geschrieben werden konnten.

Die ältesten erhaltenen mathematischen Übungen stammen aus Schuruppak (heute Fara) und sind um 2600 v. Chr. entstanden. Sie enthalten Tabellen zur Flächenberechnung von Feldern (im Grunde Multiplikationstabellen in Maßeinheiten), geometrische Übungen und Divisionsaufgaben, etwa die Verteilung eines großen Getreidevorrats auf Arbeiter mit festen Rationen. Gelegentlich liest man, die Sumerer hätten schon um 2700 bis 2300 v. Chr. einen Abakus benutzt. Archäologisch belegt ist ein solches Rechenbrett nicht; vermutet wird lediglich, dass Schreiber Zwischenrechnungen mit Hilfsmitteln ausführten, die keine Spuren hinterlassen haben.

Das Sexagesimalsystem: Rechnen zur Basis 60

Gegen Ende des 3. Jahrtausends v. Chr. entwickelten die Schreiber aus den älteren Zählweisen das sexagesimale Stellenwertsystem. Es wurde zur Grundlage aller babylonischen Mathematik und unterscheidet sich grundlegend von den Zahlschriften Ägyptens, Griechenlands oder Roms: Der Wert eines Zeichens hängt von seiner Position ab.

Zwei Zeichen für alle Zahlen

Für die Ziffern 1 bis 59 kamen die Schreiber mit nur zwei Zeichen aus: einem senkrechten Keil für die Eins und einem Winkelhaken für die Zehn. Die 23 etwa schrieb man als zwei Winkelhaken und drei senkrechte Keile. Innerhalb einer Stelle wurden die Zeichen also wie bei römischen Zahlen addiert; die Stellen selbst aber zählten wie in unserem Dezimalsystem, nur mit Faktor 60 statt 10.

In der Fachliteratur gibt man babylonische Zahlen mit Kommas zwischen den Sexagesimalstellen wieder. So bedeutet

• 1,23 = 1 · 60 + 23 = 83,
• 1,1,1 = 1 · 3.600 + 1 · 60 + 1 = 3.661,
• 2,0,5 = 2 · 3.600 + 0 · 60 + 5 = 7.205.

Will man den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennen, setzt man ein Semikolon: 1;30 steht für 1 + 30/60 = 1½. Auf den Tafeln selbst gibt es dieses Zeichen nicht.

Stellenwert ohne Komma

Genau hier liegt eine Eigenheit des Systems: Die Babylonier kennzeichneten nicht, wo die Einer stehen. Dieselbe Zeichenfolge „1 30“ kann 90 (1,30), 1½ (1;30) oder 5.400 (1,30,0) bedeuten. Ein einzelner senkrechter Keil steht für 1, für 60 oder für 1/60. Welcher Wert gemeint war, ergab sich aus dem Zusammenhang: Bei einer Feldfläche oder einem Preis wusste ein geübter Schreiber, welche Größenordnung infrage kam.

Was wie ein Mangel aussieht, war beim Rechnen ein Vorteil. Weil die Größenordnung offenblieb, ähnelt das System der Gleitkommadarstellung moderner Computer: Man rechnete mit den Ziffernfolgen und bestimmte die Größenordnung erst am Ende. Eine Multiplikationstabelle für 7,30 ließ sich so ebenso für 7½ wie für 450 verwenden.

Warum gerade 60?

Warum die Sumerer die 60 wählten, ist nicht überliefert. Ein starkes Argument ist ihre Teilbarkeit: 60 ist die kleinste Zahl, die durch alle Zahlen von 1 bis 6 teilbar ist, und sie hat zwölf Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel und Sechstel einer Einheit sind daher ganze Zahlen von Untereinheiten. Für Maßsysteme, in denen ständig geteilt wird, ist das äußerst praktisch.

Verbreitet ist auch die Erklärung, man habe mit dem Daumen die zwölf Fingerglieder einer Hand abgezählt und die fünf Finger der anderen Hand für die Zwölferbündel genutzt, denn 12 · 5 = 60. Diese Fingerzählweise ist anschaulich, für das alte Mesopotamien aber nicht belegt. Wahrscheinlicher ist, dass sich das System aus der Verschmelzung älterer Maß- und Zählsysteme mit Bündelungen zu 10 und 6 entwickelte, wie sie die Uruk-Tafeln zeigen.

Die Null als Platzhalter

In altbabylonischer Zeit gab es kein Zeichen für eine leere Stelle. Fehlte etwa die Sechzigerstelle, ließ der Schreiber bestenfalls eine kleine Lücke, die leicht zu übersehen war. Erst im 1. Jahrtausend v. Chr. tauchen Platzhalter auf: Eine Tafel aus Kisch, die um 700 v. Chr. datiert wird, verwendet dafür drei Haken, andere Texte einen einzelnen. Um 400 v. Chr. setzte sich ein Zeichen aus zwei schrägen Keilen durch, das in den astronomischen Texten der Seleukidenzeit regelmäßig erscheint.

Dieser Platzhalter war jedoch noch keine Zahl Null. Er stand fast nur zwischen zwei Ziffern, kaum am Ende einer Zahl, und niemand rechnete mit ihm. Die Null als eigenständige Zahl mit Rechenregeln entwickelte erst die indische Mathematik im 1. Jahrtausend n. Chr.

Rechnen mit Tabellen: Multiplikation, Kehrwerte und Brüche

Ein Einmaleins bis 59 · 59 auswendig zu lernen, wäre mühsam. Die Schreiber griffen deshalb auf Tabellen zurück. Multiplikationstabellen listen für eine feste Zahl die Vielfachen von 1 bis 20 sowie für 30, 40 und 50 auf; alle anderen Produkte ließen sich daraus zusammensetzen. Wer heute das Einmaleins übt, lernt im Grunde dieselbe Art von Tabelle, nur zur Basis 10.

Eine Division im heutigen Sinn kannten die Babylonier nicht. Stattdessen multiplizierten sie mit dem Kehrwert: a geteilt durch b ist a mal 1/b. Die Kehrwerte entnahm man einer Standardtabelle, die zu den ersten Texten gehörte, die Schüler abschrieben:

Ein Beispiel: 50 geteilt durch 8 rechnete ein Schreiber als 50 mal 7,30, also 50 · 7½/60 = 6¼, sexagesimal 6;15. Auffällig ist, was in der Tabelle fehlt: die 7, die 11 oder die 13. Ihre Kehrwerte haben im Sexagesimalsystem keine endliche Darstellung, so wie 1/3 im Dezimalsystem als 0,333… nie endet. Endliche Kehrwerte haben nur Zahlen, deren Primfaktoren 2, 3 und 5 sind; die heutige Forschung nennt sie reguläre Zahlen. Für die anderen gaben die Schreiber Näherungen an oder vermieden sie in ihren Aufgaben.

Mit diesen Sexagesimalbrüchen rechneten die Babylonier so selbstverständlich wie wir mit Dezimalzahlen. Das ist ein großer Unterschied zu den Ägyptern, die mit Summen von Stammbrüchen arbeiteten; wie man heute mit Brüchen rechnet, zeigt die zugehörige Lernseite. Daneben gab es Tabellen mit Quadrat- und Kubikzahlen und deren Wurzeln sowie Aufgaben zur Zinsrechnung. Eine Tafel im Louvre fragt zum Beispiel, wie lange sich ein Kapital bei 20 % Zins pro Jahr mit Zinseszins verdoppelt. Ihre Antwort, 3;47,13,20 Jahre (knapp 3,8 Jahre), ist offenbar durch lineare Interpolation zwischen drei und vier Jahren gewonnen und liegt sehr nah am exakten Wert von etwa 3,80 Jahren.

Algebra auf Ton: quadratische Gleichungen

Die vielleicht erstaunlichste Leistung der altbabylonischen Schreiber ist ihre Algebra. Zahlreiche Aufgaben laufen auf das hinaus, was wir heute quadratische Gleichungen nennen. Formuliert sind sie geometrisch, mit Seiten und Flächen von Quadraten und Rechtecken: Die Unbekannte heißt etwa „Seite“, ihr Quadrat „Fläche“.

Die erste Aufgabe der Tafel BM 13901 im British Museum lautet sinngemäß: „Ich habe die Fläche und die Seite meines Quadrats addiert: 0;45.“ In heutiger Schreibweise ist das x² + x = ¾. Der Schreiber rechnet so:

1. Nimm die Hälfte von 1 (dem Faktor vor der Seite): ½.
2. Quadriere sie: ¼.
3. Addiere das zu 0;45: ¾ + ¼ = 1.
4. Ziehe die Quadratwurzel: 1.
5. Ziehe die Hälfte wieder ab: 1 − ½ = ½. Das ist die Seite des Quadrats.

Das ist genau das Verfahren der quadratischen Ergänzung. Der Wissenschaftshistoriker Jens Høyrup hat gezeigt, dass die Schreiber dabei sehr wahrscheinlich anschaulich mit Flächen dachten: Das Rechteck „Seite mal 1“ wird halbiert, die beiden Hälften werden an zwei Seiten des Quadrats angelegt, und das fehlende Eckquadrat ergänzt die Figur zu einem großen Quadrat.

Für Gleichungen der Form x² + bx = c entspricht das Verfahren der Formel

Negative Lösungen spielten keine Rolle, denn eine Seite kann nicht negativ sein. Ähnlich elegant sind Aufgaben mit zwei Unbekannten. Auf der Tafel YBC 6967 sind zwei Zahlen gesucht, deren Produkt 60 ist und deren Differenz 7 beträgt; der Schreiber halbiert die Differenz, quadriert, addiert das Produkt und findet über die Wurzel die Lösungen 12 und 5. Andere Texte behandeln lineare Gleichungssysteme, und mithilfe von Tabellen der Werte n³ + n² konnten die Schreiber sogar bestimmte kubische Gleichungen lösen.

Viele dieser Aufgaben haben keinen praktischen Zweck: Niemand addiert im Alltag eine Fläche und eine Seitenlänge. Sie dienten der Ausbildung und zeigen, dass das Lösen von Problemen um seiner selbst willen schon in altbabylonischer Zeit geschätzt wurde. Fast dreitausend Jahre später begründete al-Chwarizmi (ca. 780–850) in Bagdad seine Algebra mit sehr ähnlichen geometrischen Ergänzungsfiguren, nur wenige Dutzend Kilometer von den Ruinen Babylons entfernt.

Geometrie: Felder, Kreise und rechtwinklige Dreiecke

Die babylonische Geometrie war eng mit dem Vermessen und Bauen verbunden. Die Schreiber berechneten Flächen von Rechtecken, Dreiecken und Trapezen, Volumen von Ziegelstapeln, Gräben, Dämmen und zylindrischen Gefäßen und wussten, wie viele Ziegel oder Arbeitstage ein Bauvorhaben erforderte. Für unregelmäßige Vierecke verwendeten sie oft eine Näherung: Mittelwert zweier gegenüberliegender Seiten mal Mittelwert der beiden anderen. Bei annähernd rechteckigen Feldern ist das brauchbar, exakt ist es nicht.

Für den Kreis rechneten sie meist mit dem Umfang. Der Umfang war das Dreifache des Durchmessers, die Fläche ein Zwölftel des Umfangsquadrats (A = U²/12). Beides entspricht dem Wert π = 3. Eine Tafel aus Susa im Südwesten Irans vergleicht dagegen den Umfang eines regelmäßigen Sechsecks mit dem seines Umkreises und ergibt umgerechnet π ≈ 3⅛ = 3,125, nur etwa 0,5 % unter dem wahren Wert 3,14159…

Besonders bedeutsam ist, dass die Schreiber den Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kannten, den wir heute Satz des Pythagoras nennen: Das Quadrat der Diagonale eines Rechtecks ist gleich der Summe der Quadrate seiner Seiten. Eine Tafel aus Tell Dhibayi bei Bagdad (um 1750 v. Chr.) fragt etwa nach den Seiten eines Rechtecks mit der Fläche 0;45 und der Diagonale 1;15; die Lösung lautet 1 und 0;45. Diagonale und Seiten bilden also ein vergrößertes Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3, 4 und 5. Zwei weitere Tafeln zeigen, wie weit dieses Wissen reichte.

YBC 7289: die Wurzel aus 2 auf einer Schülertafel

Die kleine runde Tafel YBC 7289 aus der Yale Babylonian Collection stammt aus altbabylonischer Zeit (um 1800–1600 v. Chr.) und dürfte eine Schülerübung sein. Sie zeigt ein Quadrat mit seinen beiden Diagonalen. An einer Seite steht die Zahl 30, an der Diagonale die Zahlen 1;24,51,10 und 42;25,35.

Die erste Zahl ist eine Näherung für √2, das Verhältnis von Diagonale und Seite im Quadrat:

Der wahre Wert ist √2 = 1,41421356… Die babylonische Zahl weicht also um weniger als ein Millionstel ab. Eine vergleichbare Genauigkeit findet sich in anderen Kulturen erst viele Jahrhunderte später. Die zweite Zahl, 42;25,35, ist 30 mal dieser Wert, also die Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seite 30.

Wie die Schreiber den Wert fanden, verrät die Tafel nicht. Er ergibt sich zum Beispiel, wenn man das Näherungsverfahren, das später nach Heron von Alexandria (ca. 10–70 n. Chr.) benannt wurde, vom Startwert 1;30 (also 1½) aus zweimal ausführt und das Ergebnis nach drei Sexagesimalstellen abschneidet. In Deutschland heißt dieses Verfahren deshalb auch „babylonisches Wurzelziehen“. Ob die Babylonier es tatsächlich so anwendeten, ist allerdings nicht belegt. Dass √2 gar nicht exakt als Bruch darstellbar ist, wussten sie vermutlich nicht. Diese Entdeckung wird erst den Pythagoreern zugeschrieben, insbesondere Hippasos von Metapont (um 500 v. Chr.).

Plimpton 322: die berühmteste Tafel der Mathematikgeschichte

Keine Keilschrifttafel ist so oft untersucht und so verschieden gedeutet worden wie Plimpton 322. Sie stammt vermutlich aus Larsa im Süden des Irak und wird auf etwa 1800 v. Chr. datiert; die Assyriologin Eleanor Robson grenzte sie anhand der Schrift auf die Zeit zwischen 1822 und 1762 v. Chr. ein. Anfang der 1920er-Jahre verkaufte der Antikenhändler Edgar J. Banks sie an den New Yorker Verleger George Arthur Plimpton, dessen Sammlung 1936 an die Columbia University ging. Das Stück ist am linken Rand abgebrochen; ursprünglich hatte die Tafel vermutlich weitere Spalten.

Erhalten sind vier Spalten mit 15 Zeilen. Otto Neugebauer und Abraham Sachs erkannten 1945, was die Zahlen bedeuten: Jede Zeile enthält die kürzere Seite und die Diagonale eines Rechtecks mit ganzzahligen Seiten, also zwei Glieder eines pythagoreischen Zahlentripels a² + b² = c². Die längere Seite steht nicht auf der Tafel, ergibt sich aber aus den beiden anderen. Eine weitere Spalte enthält das Quadrat des Verhältnisses von Diagonale zu längerer Seite, die letzte die Zeilennummer.

Die Zeilen sind so geordnet, dass das Verhältnis der Seiten gleichmäßig abnimmt; die Form der Dreiecke ändert sich von nahezu gleichschenklig zu deutlich gestreckt. Einige Werte enthalten Rechen- oder Abschreibfehler (etwa 541 statt 481 in Zeile 9), die Forschern wiederum Hinweise auf das Rechenverfahren gaben. Wie die Tripel gefunden wurden und wozu die Tafel diente, ist bis heute umstritten. Robson deutete sie 2001 als Hilfsmittel eines Lehrers, der mit Paaren von Kehrwerten Übungsaufgaben zu Rechtecken erzeugte. Die Mathematiker Daniel Mansfield und Norman Wildberger sahen in ihr 2017 eine frühe trigonometrische Tabelle; diese Deutung fand viel Medienecho, wird von Fachleuten aber überwiegend skeptisch beurteilt, weil die Babylonier keinen Winkelbegriff im heutigen Sinn kannten.

Mathematische Astronomie: Babylons späte Glanzzeit

Im 1. Jahrtausend v. Chr. verlagerte sich die mathematische Arbeit in die Astronomie. Seit etwa 650 v. Chr. führten Beobachter in Babylon sogenannte astronomische Tagebücher, in denen sie über Jahrhunderte Mondphasen, Planetenstellungen, Finsternisse, Wetter und sogar Marktpreise notierten. Aus diesen langen Beobachtungsreihen erkannten sie Perioden, etwa den Saros-Zyklus: Nach 223 synodischen Monaten (gut 18 Jahren) wiederholen sich Sonnen- und Mondfinsternisse in ähnlicher Folge.

In der Seleukidenzeit entwickelten die Tempelgelehrten daraus rein rechnerische Theorien, mit denen sie die Positionen von Mond und Planeten Tag für Tag vorausberechnen konnten. Dazu teilten sie die Bahn der Sonne am Himmel, die Ekliptik, in zwölf Tierkreiszeichen zu je 30 Teilen. Hier liegt der Ursprung unserer 360-Grad-Einteilung des Kreises. Griechische und römische Autoren nennen einige dieser Astronomen beim Namen, etwa Kidinnu (griechisch Kidenas) und Naburimannu (Naburianos).

2016 entdeckte der Wissenschaftshistoriker Mathieu Ossendrijver, dass babylonische Astronomen auch geometrisch dachten. Auf Tafeln aus der Zeit zwischen 350 und 50 v. Chr. berechnen sie die Strecke, die der Planet Jupiter in 60 Tagen zurücklegt, als Fläche eines Trapezes unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve. Ein solches Verfahren tauchte in Europa erst im 14. Jahrhundert wieder auf, bei den Gelehrten in Oxford und bei Nikolaus von Oresme (ca. 1320–1382).

Wichtige Persönlichkeiten: Schreiber, Astronomen und Entzifferer

Anders als die griechische ist die babylonische Mathematik fast ganz anonym. Die Schreiber nannten in ihren Lehrtexten keine Erfinder; Ergebnisse galten als gemeinsames Wissen des Berufsstands. Namentlich greifbar sind nur wenige Personen:

• Die Schreiber der Tafelhäuser: Lehrer und Schüler, deren Übungen wie in Haus F in Nippur erhalten sind. Gelegentlich unterschrieben Schreiber ihre Tafeln, ohne dass wir mehr über sie wissen.
• Kidinnu und Naburimannu: Astronomen des 1. Jahrtausends v. Chr., deren Namen griechische und römische Autoren überliefern; welche Rechenverfahren genau auf sie zurückgehen, ist unsicher.
• Otto Neugebauer und Abraham Sachs erschlossen im 20. Jahrhundert die mathematischen und astronomischen Keilschrifttexte; ihr Werk Mathematical Cuneiform Texts (1945) machte Plimpton 322 berühmt.
• François Thureau-Dangin, ein französischer Assyriologe, übersetzte in den 1930er-Jahren zahlreiche mathematische Texte.
• Jens Høyrup, Eleanor Robson und Mathieu Ossendrijver prägen die heutige Forschung: Høyrup mit der geometrischen Deutung der Algebra, Robson mit der Einordnung der Tafeln in Schule und Gesellschaft, Ossendrijver mit Arbeiten zur Astronomie.

Die ersten Mathematiker, deren Namen mit eigenen Leistungen verbunden sind, lebten erst später in Griechenland, etwa Thales und Pythagoras. Babylonisches Wissen erreichte sie vermutlich über Handelskontakte und Reisen.

Zeitleiste der sumerischen und babylonischen Mathematik

1. ca. 3500 v. Chr. Zählsteine werden in versiegelte Tonhüllen (Bullae) eingeschlossen.
2. ca. 3300–3200 v. Chr. In Uruk entstehen die ersten Tontafeln mit eingedrückten Zahlzeichen; die Schrift beginnt.
3. ca. 2600 v. Chr. Tafeln aus Schuruppak (Fara) mit Flächentabellen und den ältesten bekannten Rechenaufgaben.
4. ca. 2100–2000 v. Chr. Unter der Dritten Dynastie von Ur setzt sich das sexagesimale Stellenwertsystem in der Verwaltung durch.
5. 1792–1750 v. Chr. Herrschaft Hammurabis; altbabylonische Blütezeit der Mathematik.
6. ca. 1800–1600 v. Chr. Entstehung von YBC 7289 (√2), Plimpton 322 (pythagoreische Tripel) und BM 13901 (quadratische Gleichungen).
7. ca. 1750 v. Chr. Haus F in Nippur dient als Schreiberschule.
8. ca. 700 v. Chr. Erste Platzhalterzeichen für leere Stellen (Tafel aus Kisch).
9. ab ca. 650 v. Chr. Astronomische Tagebücher in Babylon über rund sechs Jahrhunderte.
10. 539 v. Chr. Der Perserkönig Kyros erobert Babylon; die Gelehrtentradition besteht fort.
11. ca. 350–50 v. Chr. Seleukidische Rechenastronomie, darunter die Trapezverfahren für Jupiter.
12. 1. Jh. n. Chr. Die letzten astronomischen Keilschrifttexte entstehen.

Erbe: Was von Babylon bis heute bleibt

Das sichtbarste Erbe der babylonischen Mathematik tragen wir am Handgelenk. Griechische Astronomen übernahmen die Sexagesimalbrüche, weil sie sich für astronomische Rechnungen bestens eigneten. Hipparchos von Nicäa (ca. 190–120 v. Chr.) nutzte babylonische Finsternisbeobachtungen und Rechenverfahren; Claudius Ptolemäus (ca. 100–170 n. Chr.) rechnete in seinem Almagest durchgängig mit Sexagesimalbrüchen. Über das Lateinische des Mittelalters wurden daraus die „ersten kleinen Teile“ (partes minutae primae) und die „zweiten kleinen Teile“ (partes minutae secundae), also unsere Minuten und Sekunden. Auch die 360 Grad des Vollkreises gehen auf die babylonische Astronomie zurück.

Ebenso wichtig, wenn auch weniger sichtbar, ist die Idee des Stellenwerts. Die Babylonier waren die Ersten, die den Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängig machten, und sie führten im 1. Jahrtausend v. Chr. einen Platzhalter für leere Stellen ein. Das heutige dezimale Stellenwertsystem mit einer echten Null entstand zwar unabhängig davon in der indischen Mathematik, doch das Prinzip hatte Mesopotamien schon zweitausend Jahre früher erprobt.

Inhaltlich wirkten die babylonischen Verfahren über viele Kanäle weiter. Die geometrische Algebra in Euklids Elementen erinnert an die babylonischen Ergänzungsfiguren, und die Gleichungslehre der islamischen Gelehrten steht in einer Tradition, die bis in die altbabylonischen Schreiberschulen zurückreicht. Ihr großes Gegenstück im Westen ist die Mathematik des Nils, von der der nächste Artikel über die ägyptische Mathematik erzählt. Den Schritt vom Rechnen zum Beweisen vollzog anschließend die griechische Mathematik, die in der hellenistischen Mathematik ihren Höhepunkt fand.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Eleanor Robson: Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008 (englisch).
• Jens Høyrup: Lengths, Widths, Surfaces. A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin, Springer, New York 2002 (englisch).
• Otto Neugebauer, Abraham Sachs: Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Society, New Haven 1945 (englisch).
• Mathieu Ossendrijver: „Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph“, in: Science 351 (2016), S. 482–484 (englisch).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics (englisch)