Stetige Verteilungen: Dichte, Exponential- und Poisson-Verteilung

Bei der Binomialverteilung zählst du Treffer: 0, 1, 2 und so weiter. Viele Zufallsgrößen sind aber keine Zählungen. Die Wartezeit an einer Kasse, die Lebensdauer einer Glühbirne und die Körpergröße eines Menschen können jeden Wert in einem Intervall annehmen, auch 4,2637 Minuten. Für solche stetigen Zufallsgrößen reicht die Tabelle „Wert, Wahrscheinlichkeit“ nicht mehr aus, denn jeder einzelne Wert hat die Wahrscheinlichkeit 0. Stattdessen beschreibt man die Verteilung mit einer Dichte, und Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter ihr.

Hier lernst du Dichte und Verteilungsfunktion, den Erwartungswert als Integral und drei wichtige Verteilungen: die Gleichverteilung, die Exponentialverteilung und die diskrete Poisson-Verteilung, die mit ihr eng verwandt ist. Die wichtigste stetige Verteilung, die Gauß-Glocke, hat eine eigene Seite: Normalverteilung. Die diskreten Grundbegriffe stehen auf der Seite Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz, die Integrale brauchst du aus der Integralrechnung.

Die Dichte

Die Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit. Deshalb kann sie größer als 1 sein. Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Kurve. Für ein einzelnes $a$ ist die Fläche gleich 0: $P(X=a)={\int }_a^{a}f=0$. Bei stetigen Verteilungen ist es deshalb gleichgültig, ob man $\le$ oder $<$ schreibt.

Die Verteilungsfunktion

Im Beispiel 1 ist $F(x)=\frac{x^3}{27}$ für $0\le x\le 3$. Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten ohne neues Integral ausrechnen, etwa $P(1\le X\le 2)=F(2)-F(1)=\frac{8}{27}-\frac{1}{27}=\frac{7}{27}$. Das Quantil $x_p$ löst $F(x_p)=p$. Der Median ist $x_{\mathrm{0,5}}$. Im Beispiel gilt $\frac{x^3}{27}=\frac{1}{2}$, also $x=3·2^{-1/3}\approx \mathrm{2,38}$.

Erwartungswert und Varianz

Bei diskreten Größen ist $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$. Bei stetigen wird aus der Summe ein Integral, aus der Wahrscheinlichkeit die Dichte mal $dx$:

Die Rechenregeln aus der Seite Zufallsgrößen gelten unverändert: $E(aX+b)=aE(X)+b$ und $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$. Für die Summe unabhängiger Größen addieren sich Erwartungswerte und Varianzen. Die Formel $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-E{(X)}^2$ folgt durch Ausmultiplizieren von ${(x-\mu )}^2$ unter dem Integral und ist fast immer bequemer.

Die Gleichverteilung

Nachrechnen der Varianz. Es ist $E(X^2)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{x}^{2}dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$. Damit ist $\mathrm{Var}(X)=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{{(a+b)}^2}{4}=\frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}=\frac{{(b-a)}^2}{12}$.

Die Exponentialverteilung

Sie beschreibt Wartezeiten und Lebensdauern, wenn das Ereignis „ohne Vorankündigung“ eintritt: den Zerfall eines Atoms, den Ausfall eines Bauteils ohne Verschleiß, die Zeit zwischen zwei Anrufen in einem Callcenter.

Herleitung. $F(x)={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt=[-e^{-\lambda t}{]}_0^x=1-e^{-\lambda x}$. Für den Erwartungswert nutzt man partielle Integration: ${\int }_0^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx=[-x{e}^{-\lambda x}{]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda x}dx=0+\frac{1}{\lambda }$. Der Median folgt aus $1-e^{-\lambda x}=\frac{1}{2}$, also $x=\frac{\ln 2}{\lambda }$. Er liegt deutlich unter dem Mittelwert: Die Verteilung ist rechtsschief, weil wenige sehr lange Wartezeiten den Mittelwert hochziehen.

Beweis. $P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$. Wer schon $s$ Minuten gewartet hat, wartet also im Mittel nicht kürzer als zu Beginn. Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Das erklärt, warum sie für Bauteile ohne Alterung passt, aber nicht für Menschen oder Reifen.

Die Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist diskret, gehört aber hierher, weil sie dieselbe Geschichte erzählt: Sie zählt, wie oft in einem Zeitraum ein seltenes Ereignis eintritt, dessen Wartezeiten exponentialverteilt sind.

Beweis des Grenzwerts. Mit $p=\frac{\lambda }{n}$ ist

Der erste Bruch hat $k$ Faktoren, jeder geht gegen 1. Es gilt ${(1-\frac{\lambda }{n})}^n\to e^{-\lambda }$ und ${(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}\to 1$. Daraus folgt die Behauptung.

Erwartungswert. $E(X)=\sum _{k\ge 1}k\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k\ge 1}\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=\lambda$. Ähnlich zeigt man $E(X(X-1))={\lambda }^2$ und damit $\mathrm{Var}(X)={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$.

Allgemein gilt: Zählt man Ereignisse, die unabhängig und mit konstanter Rate $\lambda$ eintreten (Poisson-Prozess), so ist die Anzahl in einem Zeitraum der Länge $t$ Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda t$, und die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis ist exponentialverteilt mit Rate $\lambda$.

Die Verteilungen im Vergleich

Bei der Wahl hilft eine Faustregel: Zählst du Treffer bei einer festen Zahl von Versuchen, passt die Binomialverteilung. Zählst du seltene Ereignisse in einem Zeitraum ohne feste Versuchszahl, passt die Poisson-Verteilung. Misst du die Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses ohne Gedächtnis, passt die Exponentialverteilung. Ist jeder Wert in einem Intervall gleich wahrscheinlich, passt die Gleichverteilung. Entsteht die Größe als Summe vieler kleiner unabhängiger Einflüsse, passt die Normalverteilung, aus Gründen, die der zentrale Grenzwertsatz liefert.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: vom Zählen zum Messen

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung begann mit Würfeln und damit mit diskreten Verteilungen. Die stetigen Verteilungen kamen mit der Analysis. Abraham de Moivre gab 1711 in De Mensura Sortis ähnliche Ergebnisse wie später Poisson. Siméon Denis Poisson veröffentlichte 1837 in den Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile die nach ihm benannte Verteilung. Simon Newcomb passte sie 1860 an die Zahl der Sterne in einem Raumstück an. Ladislaus Bortkiewicz zeigte 1898 an den Todesfällen durch Hufschlag in der preußischen Armee, dass seltene Ereignisse dieser Verteilung folgen. Die allgemeine Sprache von Dichte und Verteilungsfunktion entstand im 20. Jahrhundert mit der Maßtheorie (siehe Maß und Lebesgue-Integral), nach Laplace und der Axiomatik Kolmogorows.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
• Wikipedia: Exponentialverteilung
• Wikipedia: Poisson-Verteilung
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, De Gruyter, Berlin.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg+Teubner, Wiesbaden.
• Siméon Denis Poisson: Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, Paris 1837.