Kegelschnitte: Ellipse, Parabel und Hyperbel erklärt

Kegelschnitte sind Kurven, die entstehen, wenn du einen Doppelkegel mit einer Ebene schneidest. Je nachdem, wie du die Ebene neigst, ergibt sich ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Ein Doppelkegel besteht aus zwei Kegeln, die mit den Spitzen aufeinanderstehen und nach oben und unten unbegrenzt weiterlaufen. Einen ersten Ausblick gibt es auf der Seite Kegel.

Alle vier Kurven lassen sich im Koordinatensystem durch Gleichungen beschreiben. Den Kreis und die Parabel als Graph einer quadratischen Funktion kennst du schon. Hier geht es um das Gesamtbild: Brennpunkte, Normalformen und die Frage, wie du aus einer Gleichung die Kurve erkennst.

Schnitte am Doppelkegel

Eine Mantellinie ist eine Gerade auf dem Kegelmantel, die durch die Spitze geht. Wie die Schnittebene zu den Mantellinien und zur Achse liegt, entscheidet über die Kurve:

Die vier Kegelschnitte am Doppelkegel in der Seitenansicht. Die Schnittebene erscheint als Linie, darunter steht die entstehende Kurve mit ihren Brennpunkten (türkis).

Kreis: Die Ebene steht senkrecht zur Achse.
Ellipse: Die Ebene ist schräg und schneidet alle Mantellinien einer Kegelhälfte. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.
Parabel: Die Ebene ist parallel zu genau einer Mantellinie. Die Kurve ist nach einer Seite offen.
Hyperbel: Die Ebene ist steiler und schneidet beide Kegelhälften. Es entstehen zwei getrennte Äste.

Geht die Ebene durch die Spitze, entarten die Kurven: Es bleiben ein Punkt, eine Gerade oder zwei sich schneidende Geraden übrig. Die Idee, alle Kurven an einem einzigen Kegel zu erzeugen, stammt von Apollonios (mehr im Geschichtsteil unten).

Die Kurven als Ortslinien

Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine bestimmte Bedingung erfüllen. Bei Ellipse und Hyperbel kommen zwei feste Punkte $F_{1}$ und $F_{2}$ vor, die Brennpunkte. Bei der Parabel gibt es einen Brennpunkt F und eine feste Gerade, die Leitgerade l.

Die vier Kegelschnitte als Ortslinien
Kurve	Bedingung für jeden Punkt $P$ der Kurve
Kreis	Der Abstand zum Mittelpunkt M ist konstant: $P M = r$ .
Ellipse	Die Summe der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant: $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ .
Hyperbel	Der Unterschied der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant: $\| P F_{1} - P F_{2} \| = 2 a$ .
Parabel	P hat von F und von der Leitgeraden l denselben Abstand.

Die Ellipse kannst du selbst zeichnen: Stecke zwei Nägel in ein Brett, lege eine Schlinge aus Faden darum und führe einen Stift so, dass der Faden straff bleibt. Der Faden hat eine feste Länge, also bleibt die Summe der Abstände gleich. Man nennt das die Gärtnerkonstruktion.

Die Ellipse

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung und die große Achse auf der x-Achse, hat die Ellipse die Normalform

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 mit a > b > 0

Dabei ist a die große und b die kleine Halbachse. Die Halbachsen sind die Strecken vom Mittelpunkt zu den Scheiteln $(\pm a | 0)$ und $(0 | \pm b)$ . Die Brennpunkte liegen bei $F_{1} (- c | 0)$ und $F_{2} (c | 0)$ mit

c^{2} = a^{2} - b^{2}

Warum? Der Scheitel $(0 | b)$ hat von beiden Brennpunkten denselben Abstand. Die Summe beider Abstände ist $2 a$ , also ist jeder Abstand gleich a. Im rechtwinkligen Dreieck aus $M$ , $F_{2}$ und $(0 | b)$ ist a die Hypotenuse, und der Satz des Pythagoras liefert $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Die Exzentrizität $e = \frac{c}{a}$ misst, wie gestreckt die Ellipse ist. Es gilt $0 \leq e < 1$ . Bei $e = 0$ ist die Ellipse ein Kreis, je näher e an 1 liegt, desto flacher ist sie.

Die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1 mit a = 5, b = 3 und c = 4. Für jeden Punkt der Kurve ist die Summe der Abstände zu den Brennpunkten F₁ und F₂ gleich 2a = 10.

Steht die größere Zahl im Nenner von $y^{2}$ , liegt die große Achse senkrecht. Dann liegen die Brennpunkte auf der y-Achse, und es gilt $c^{2} = b^{2} - a^{2}$ . Der Kreis ist der Sonderfall $a = b = r$ : Dann ist $c = 0$ , beide Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen, und es ergibt sich $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Liegt der Mittelpunkt bei $(m | n)$ , lautet die Kreisgleichung $(x - m)^{2} + (y - n)^{2} = r^{2}$ . Mehr zum Kreis steht auf der Seite Kreis.

Die Hyperbel

Die Hyperbel hat zwei Äste. Mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der x-Achse lautet die Normalform

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Die Scheitel liegen bei $(\pm a | 0)$ . Die Brennpunkte liegen bei $(\pm c | 0)$ , und anders als bei der Ellipse gilt hier ein Plus:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Die Exzentrizität ist $e = \frac{c}{a} > 1$ . Für große $| x |$ nähern sich die Äste den Asymptoten. Das sind Geraden, denen sich eine Kurve beliebig nähert, ohne sie zu berühren. Sie sind

y = \pm \frac{b}{a} x

Zeichne dazu das Rechteck mit den Seiten $2 a$ und $2 b$ um den Mittelpunkt. Seine Diagonalen sind die Asymptoten, die Äste laufen durch die Scheitel in der Mitte der Seiten. Der Grund: Für große $| x |$ ist die 1 auf der rechten Seite der Normalform unwichtig, es bleibt $\frac{x^{2}}{a^{2}} \approx \frac{y^{2}}{b^{2}}$ .

Die Hyperbel x²/4 − y² = 1 mit a = 2 und b = 1. Die Asymptoten sind die Diagonalen des Rechtecks mit den Seiten 2a und 2b. Für jeden Punkt der Kurve ist der Unterschied der Abstände zu den Brennpunkten gleich 2a = 4.

Auch der Graph von $y = \frac{1}{x}$ ist eine Hyperbel. Sie ist um 45° gedreht, ihre Asymptoten sind die Koordinatenachsen, und es ist $a = b = \sqrt{2}$ . Mehr dazu steht bei den gebrochenrationalen Funktionen.

Die Parabel

Die Parabel hat einen Brennpunkt und eine Leitgerade. Liegt der Scheitel im Ursprung und ist die Parabel nach rechts geöffnet, lautet ihre Gleichung

y^{2} = 4 p x mit p > 0

Der Brennpunkt ist $F (p | 0)$ , die Leitgerade ist die Gerade $x = - p$ . Die Gleichung folgt aus der Bedingung: Ein Punkt $P (x | y)$ hat den Abstand $\sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}}$ zum Brennpunkt und den Abstand $x + p$ zur Leitgeraden. Gleichsetzen und Quadrieren ergibt $(x - p)^{2} + y^{2} = (x + p)^{2}$ , also $y^{2} = 4 p x$ .

Die Parabel y² = 4px (hier p = 1) mit dem Brennpunkt F(p | 0) und der Leitgeraden x = −p. Jeder Punkt P der Kurve hat von F und von der Leitgeraden (Fußpunkt Q) denselben Abstand, hier 5.

Die Parabel als Graph kennst du in der Form $y = a x^{2}$ . Das ist eine nach oben geöffnete Parabel mit der Gleichung $x^{2} = 4 p y$ , also $a = \frac{1}{4 p}$ . Bei der Normalparabel $y = x^{2}$ ist $p = \frac{1}{4}$ : Der Brennpunkt liegt bei $(0 | 0,25)$ . Mehr über diese Graphen steht bei den quadratischen Funktionen.

Überblick und Exzentrizität

Die Kegelschnitte im Vergleich (Mittelpunkt im Ursprung)
Kurve	Gleichung	Brennpunkte	Exzentrizität $e$
Kreis	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	fallen im Mittelpunkt zusammen	$0$
Ellipse	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(\pm c \| 0)$ mit $c^{2} = a^{2} - b^{2}$	$0 < e < 1$
Parabel	$y^{2} = 4 p x$	$(p \| 0)$	$1$
Hyperbel	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(\pm c \| 0)$ mit $c^{2} = a^{2} + b^{2}$	$e > 1$

Die Exzentrizität ordnet die Kurven wie auf einer Skala: von 0 beim Kreis über die immer gestreckteren Ellipsen zur Parabel bei 1 und weiter zu den immer weiter geöffneten Hyperbeln. Es gilt außerdem: Bei jeder Kurve außer dem Kreis ist das Verhältnis der Abstände eines Punktes zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitgeraden gleich e.

Allgemeine Gleichung und Typ erkennen

Die Normalformen gelten nur, wenn der Mittelpunkt im Ursprung liegt. Allgemein sind Kegelschnitte die Lösungsmengen von Gleichungen zweiten Grades:

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

Dabei sind $A$ bis $F$ Zahlen, und $A$ , $B$ , $C$ sind nicht alle null. Den Typ erkennst du am Ausdruck $B^{2} - 4 A C$ , wenn die Gleichung eine echte Kurve und keine Entartung beschreibt:

Der Typ nach $B^{2} - 4 A C$
$B^{2} - 4 A C$	Kurve
kleiner als 0	Ellipse (Kreis, wenn $B = 0$ und $A = C$ )
gleich 0	Parabel
größer als 0	Hyperbel

Fehlt der gemischte Term $B x y$ (also $B = 0$ ), sind die Achsen der Kurve parallel zu den Koordinatenachsen. Dann ist $B^{2} - 4 A C = - 4 A C$ : Haben $A$ und $C$ gleiches Vorzeichen, ist es eine Ellipse, ist eines von beiden null, eine Parabel, und haben sie verschiedene Vorzeichen, eine Hyperbel. Ein Term $B x y$ bedeutet, dass die Kurve gedreht ist. So ist $x y = 1$ wegen $B^{2} - 4 A C = 1 > 0$ eine Hyperbel.

Verschobene Kegelschnitte mit quadratischer Ergänzung

Um Mittelpunkt, Halbachsen und Brennpunkte abzulesen, bringst du die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung auf die verschobene Normalform. Dabei ersetzt du $x$ durch $x - m$ und $y$ durch $y - n$ , der Mittelpunkt liegt dann bei $(m | n)$ .

Sortiere die Terme mit x und die mit y und klammere die Faktoren vor $x^{2}$ und $y^{2}$ aus.
Ergänze in jeder Gruppe zum vollständigen Quadrat und gleiche rechts aus.
Teile durch die Zahl rechts, sodass dort eine 1 steht (außer bei der Parabel).

Den Typ und die Daten einer eigenen Gleichung findest du auch mit dem Kegelschnitt-Rechner.

Anwendungen

Planetenbahnen: Johannes Kepler fand 1609, dass Planeten auf Ellipsen laufen, mit der Sonne in einem Brennpunkt. Die Erdbahn hat $e \approx 0,017$ und ist fast ein Kreis. Der Halleysche Komet kommt der Sonne bis auf 0,586 AE nahe und entfernt sich bis auf 35,082 AE. Sein $e = \frac{35,082 - 0,586}{35,082 + 0,586} \approx 0,967$ zeigt eine stark gestreckte Ellipse. Körper mit $e \geq 1$ laufen auf Parabeln oder Hyperbeln und kehren nicht zurück.
Parabolspiegel: Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, werden an einer Parabel in den Brennpunkt gelenkt. Das nutzen Teleskope und Satellitenschüsseln. Sitzt umgekehrt eine Lampe im Brennpunkt, strahlt der Spiegel ein paralleles Bündel ab, wie bei einem Scheinwerfer.
Flüstergewölbe: In einem Raum mit elliptischem Grundriss werden Schallwellen so reflektiert, dass sie aus einem Brennpunkt im anderen wieder zusammenlaufen. Wer dort flüstert, wird im anderen Brennpunkt gehört.
Nierensteinzertrümmerung: Bei manchen Geräten entsteht die Stoßwelle in einem Brennpunkt eines elliptischen Reflektors und wird im zweiten gebündelt. Dort liegt der Stein.
Hyperbelnavigation: Aus dem Laufzeitunterschied zweier Funksignale folgt ein konstanter Abstandsunterschied zu zwei Sendern. Das ist eine Hyperbel mit den Sendern als Brennpunkten.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Kegelschnitte: Aufgaben.

Geschichte: von Apollonios bis Newton

Schon im 4. Jahrhundert v. Chr. kannte Menaichmos Kurven, die wir heute Kegelschnitte nennen, und benutzte sie beim Problem der Würfelverdopplung. Apollonios von Perge zeigte um 200 v. Chr. in seinen Konika, dass alle Kurven aus demselben Doppelkegel entstehen, wenn man nur die Ebene kippt. Von ihm stammen auch die Namen Ellipse, Parabel und Hyperbel. Er untersuchte außerdem Asymptoten und Brennpunkteigenschaften.

Nach fast 2000 Jahren fand Johannes Kepler 1609 die Ellipsenbahnen der Planeten. René Descartes und Pierre de Fermat beschrieben Kegelschnitte um 1637 durch Gleichungen zweiten Grades. Und Isaac Newton zeigte, dass ein Körper unter einer Anziehung, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, auf einem Kegelschnitt läuft.

Häufige Fragen

Ist ein Kreis eine Ellipse?

Ja, als Sonderfall. Bei $a = b$ fallen die beiden Brennpunkte im Mittelpunkt zusammen, und die Exzentrizität ist 0.

Woran erkenne ich eine Parabel im Unterschied zur Hyperbel?

Die Parabel hat nur einen Ast und keine Asymptoten. Die Hyperbel hat zwei Äste, die sich Asymptoten nähern. In der Gleichung hat bei der Parabel nur eine Variable ein Quadrat, bei der Hyperbel haben beide eines, aber mit verschiedenem Vorzeichen.

Gilt

c^{2} = a^{2} - b^{2}

immer?

Nur bei der Ellipse, und zwar wenn $a$ die größere Halbachse ist. Steht die große Achse senkrecht, tauschen $a$ und $b$ die Rollen. Bei der Hyperbel gilt $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Was bedeutet der Term Bxy in der allgemeinen Gleichung?

Er zeigt, dass die Achsen der Kurve gegenüber den Koordinatenachsen gedreht sind. Den Typ liefert trotzdem $B^{2} - 4 A C$ . Um die Daten abzulesen, musst du das Koordinatensystem erst drehen.

Schnitte am Doppelkegel

Die Kurven als Ortslinien

Die Ellipse

Die Hyperbel

Die Parabel

Überblick und Exzentrizität

Allgemeine Gleichung und Typ erkennen

Verschobene Kegelschnitte mit quadratischer Ergänzung

Anwendungen

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Apollonios bis Newton

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

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Kreis

Quadratische Funktionen

Apollonios von Perge

Koordinatensystem

Gebrochenrationale Funktionen