Ereignisse verknüpfen: Additionssatz und Gegenereignis

Wie wahrscheinlich ist es, mit einem Würfel eine gerade Zahl oder eine Zahl größer als 3 zu werfen? Wer die beiden Wahrscheinlichkeiten einfach addiert, zählt manche Ergebnisse doppelt. Der Additionssatz sagt, wie man es richtig macht. Er gehört zum Kern der Stochastik und steht in den Lehrplänen von der Mittelstufe bis zur Oberstufe.

Du brauchst dafür drei Dinge: Ereignisse als Mengen, die Verknüpfungen „und“, „oder“ und „nicht“ und eine Zeichnung, das Venn-Diagramm. Danach folgen der Additionssatz, der Sonderfall unvereinbarer Ereignisse und das Rechnen mit dem Gegenereignis. Wie man das Gegenereignis bei „mindestens einmal“ nutzt, steht schon bei Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier geht es darum, wie Ereignisse zusammenspielen.

Ereignisse als Mengen

Ein Zufallsexperiment hat eine Ergebnismenge $\Omega$. Ein Ereignis ist eine Teilmenge davon. Es tritt ein, wenn das Ergebnis des Versuchs in dieser Menge liegt. Das Grundlegende dazu steht bei Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis. Die Rechenregeln für Mengen findest du bei der Mengenlehre.

„Und“, „oder“, „nicht“

Aus zwei Ereignissen lassen sich neue bauen. Jede Verknüpfung hat ein Wort, ein Zeichen und eine Bedeutung als Menge.

Mit dem Satz „weder A noch B“ meint man das Gegenteil von „A oder B“. Im Beispiel ist das $\{1,3\}$, also die Ergebnisse außerhalb beider Mengen. Dieselben Wörter gelten in der Logik, mehr dazu in der Aussagenlogik.

Das Venn-Diagramm

Ein Venn-Diagramm macht die Verknüpfungen sichtbar. Ein Rechteck stellt die Ergebnismenge dar, jedes Ereignis ist ein Kreis. Wo sich die Kreise überlappen, liegt der Schnitt. Es ist nach John Venn benannt, der solche Diagramme 1880 beschrieb.

Das Diagramm teilt die Ergebnismenge in vier Bereiche. Jeder Bereich hat eine eigene Wahrscheinlichkeit, und alle zusammen ergeben 1:

Der Additionssatz

Wie groß ist $P(A\cup B)$? Der erste Gedanke ist, $P(A)$ und $P(B)$ zu addieren. Im Beispiel ergibt das $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Das kann nicht stimmen, denn die Ergebnisse 1 und 3 sind weder in A noch in B. Der Fehler: Die Ergebnisse 4 und 6 liegen in beiden Kreisen und werden dabei doppelt gezählt. Also muss man den Schnitt einmal wieder abziehen.

Bei einem Laplace-Experiment lässt sich der Satz leicht begründen. In der Vereinigung liegen $|A|+|B|-|A\cap B|$ Ergebnisse. Wenn du alles durch $|\Omega |$ teilst, entsteht der Additionssatz. Er gilt aber auch, wenn die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind.

Unvereinbare Ereignisse

Zwei Ereignisse heißen unvereinbar (oder disjunkt), wenn sie nie gleichzeitig eintreten können. Ihr Schnitt ist leer: $A\cap B=\varnothing$. Dann ist $P(A\cap B)=0$, und der Additionssatz wird einfach.

Gegenereignis und Additionssatz

A und das Gegenereignis $\overline{A}$ sind unvereinbar, und zusammen ergeben sie ganz $\Omega$. Nach dem Additionssatz folgt $P(A)+P(\overline{A})=P(\Omega )=1$. Das ist die bekannte Regel vom Gegenereignis. Neu ist, dass du sie auf zusammengesetzte Ereignisse anwenden kannst: Das Gegenereignis von „A oder B“ ist „weder A noch B“. In Mengenschreibweise ist das $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$. Diese Regel heißt nach De Morgan, die Logik dazu steht bei den Regeln von De Morgan.

Rückwärts rechnen

Der Additionssatz ist eine Gleichung mit vier Größen. Kennst du drei davon, kannst du die vierte ausrechnen. Besonders nützlich ist die Form für den Schnitt:

Sind die Daten Anzahlen, lohnt sich eine Tabelle mit vier Feldern. In einer Klasse mit 25 Kindern spielen 14 ein Instrument (A) und 9 treiben Vereinssport (B). Fünf Kinder tun beides. Dann sind es $14+9-5=18$ Kinder, die mindestens eines von beiden tun, und 7 Kinder tun keines. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Kind mindestens eines tut, ist $P(A\cup B)=\frac{18}{25}=\mathrm{0,72}$. Wie du solche Angaben in einer Vierfeldertafel ordnest, steht auf der Seite zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Zum Nachrechnen eignet sich der Vierfeldertafel-Rechner.

Übungen

Weitere Aufgaben mit immer neuen Zahlen gibt es im Arbeitsblatt Additionssatz üben, dazu Wahrscheinlichkeit üben für die Grundlagen.

Geschichte: Mengen, Logik und Wahrscheinlichkeit

Die Sprache der Ereignisse als Mengen ist jünger als die Würfelrechnungen. George Boole verband 1854 in seinem Buch über die „Gesetze des Denkens“ Logik und Wahrscheinlichkeit; sein vollständiger Titel nennt beides. John Venn beschrieb 1880 die Diagramme, die seinen Namen tragen. Heute schreibt man Wahrscheinlichkeiten als Maße auf Mengen. Dieses Fundament legte 1933 Andrei Kolmogorow. In seinen Axiomen steht, dass sich die Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse addieren. Der Additionssatz für beliebige Ereignisse folgt daraus (mehr bei Laplace und Kolmogorow).

Häufige Fragen

Weiter geht es mit dem Baumdiagramm und der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Quellen und weiterführende Literatur

• Andrei N. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, Berlin 1933.
• George Boole: An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, London 1854.
• Wikipedia: Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)
• Wikipedia: Inclusion–exclusion principle (englisch)
• Ian Hacking: The Emergence of Probability, Cambridge University Press, Cambridge 1975.