John Venn

John Venn (1834–1923) war ein englischer Logiker, Mathematiker und anglikanischer Geistlicher. Er ist der Namensgeber des Venn-Diagramms: Jede Menge wird durch einen Kreis dargestellt, und überlappende Kreise zeigen, was mehrere Mengen gemeinsam haben. In einem Aufsatz von 1880 beschrieb er, wie man mit solchen Zeichnungen logische Aussagen prüfen kann. Das Wort „Venn-Diagramm“ kam allerdings erst später in Gebrauch.

Venn wirkte mehr als ein halbes Jahrhundert in Cambridge. Er baute auf der Algebra der Logik von George Boole auf, schrieb ein bedeutendes Buch über Wahrscheinlichkeit und ein Lehrbuch der symbolischen Logik und konstruierte nebenbei eine Maschine, die Cricketbälle warf. In seinen späten Jahren widmete er sich der Geschichte seines Colleges.

Herkunft und Ausbildung: Pfarrerssohn aus Hull

John Venn wurde am 4. August 1834 in Hull in Nordengland geboren. Sein Vater Henry Venn und sein Großvater John Venn waren evangelische Geistliche. Mit 19 Jahren begann er am Gonville and Caius College in Cambridge zu studieren und schloss 1857 als Sechstbester ab. Er blieb als Fellow am College, wurde zum Priester geweiht und arbeitete einige Jahre als Hilfsgeistlicher in der Nähe von London.

1862 kehrte Venn nach Cambridge zurück und lehrte dort Logik und Wahrscheinlichkeit im Fach Moral Science, einem Vorläufer der heutigen Philosophie. 1867 heiratete er Susanna Edmonstone; ihr Sohn John Archibald wurde später ebenfalls Gelehrter in Cambridge. 1883 legte Venn sein Priesteramt nieder und wurde im selben Jahr in die Royal Society aufgenommen.

Logik und Wahrscheinlichkeit

In The Logic of Chance von 1866 vertrat Venn eine Sichtweise, die man später „frequentistisch“ nannte: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Wert, dem sich die relative Häufigkeit bei vielen Wiederholungen annähert. Wirft man oft genug eine Münze, nähert sich der Anteil von „Kopf“ immer mehr dem Wert ½. Der Ökonom John Maynard Keynes lobte das Buch später als sehr originell. In Symbolic Logic (1881) entwickelte er die Ideen von Boole weiter, der Aussagen in Gleichungen übersetzt hatte, und fügte die Diagramme hinzu, die seinen Namen tragen.

Das Venn-Diagramm erklärt

So funktioniert es

Ein Rechteck steht für die Grundmenge U, also alles, worüber gesprochen wird. Jede Menge ist ein Kreis darin. Wo sich zwei Kreise überlappen, liegen Dinge, die zu beiden Mengen gehören (der Durchschnitt A ∩ B). Alle Dinge, die zu mindestens einer Menge gehören, bilden die Vereinigung A ∪ B. Bei n Mengen zeichnet man alle 2ⁿ Möglichkeiten ein: bei zwei Mengen vier Bereiche, bei drei Mengen acht, bei vier Mengen sechzehn.

Ein Beispiel mit den Zahlen von 1 bis 12. Menge A sind die Teiler von 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12), Menge B die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11) und Menge C die geraden Zahlen (2, 4, 6, 8, 10, 12). Jede Zahl gehört in genau einen der acht Bereiche.

Aus dem Diagramm liest man ab: A ∩ B = {2, 3}, A ∩ C = {2, 4, 6, 12}, B ∩ C = {2} und A ∩ B ∩ C = {2}. Die Zahl 9 liegt in keinem Kreis. Sie ist weder Teiler von 12 noch prim noch gerade.

Für vier Mengen reichen Kreise nicht mehr aus: Vier Kreise zerlegen die Ebene in höchstens 14 Teile, gebraucht werden aber 16. Venn zeichnete deshalb für vier Mengen Ellipsen.

Venn-Diagramm oder Euler-Diagramm?

Beide Zeichnungen nutzen Kreise, sie folgen aber unterschiedlichen Regeln. Ein Venn-Diagramm zeigt immer alle möglichen Kombinationen, auch dann, wenn ein Bereich leer ist. Ein Euler-Diagramm zeichnet nur die Beziehungen, die wirklich vorkommen: Kreise, die sich nicht berühren, haben nichts gemeinsam. Beispiel: Hunde und Katzen sind Säugetiere, kein Tier ist beides.

Zur Geschichte der Mengenbilder

Kreise für logische Aussagen gab es schon vor Venn. Leonhard Euler benutzte sie 1768 in seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin, um Schlüsse aus der Logik des Aristoteles zu erklären. Sogar Leibniz hatte ähnliche Skizzen angefertigt. Venn ging weiter: Er wollte ein Verfahren, das für beliebige Aussagen funktioniert, und ergänzte die Zeichnungen um Schraffur für leere Bereiche. In seinem Aufsatz nannte er sie „Eulersche Kreise“. Den Namen „Venn-Diagramm“ führte erst 1918 der amerikanische Logiker Clarence Irving Lewis ein.

Für die Entwicklung der Mengenlehre war Venns Zeichnung nur ein Hilfsmittel, denn die große Theorie baute zur gleichen Zeit Georg Cantor. Doch die Bilder machten Begriffe wie Durchschnitt und Vereinigung für jedermann sichtbar. Ein Buntglasfenster im Speisesaal seines Colleges erinnert bis heute an Venn.

Wurfmaschine und späte Jahre

Neben der Logik baute Venn eine Maschine, die Cricketbälle warf. Später widmete er sich der Geschichte seiner Universität: 1897 erschien seine Biographical History of Gonville and Caius College. Mit seinem Sohn stellte er die Alumni Cantabrigienses zusammen, ein riesiges Verzeichnis der Studenten und Absolventen von Cambridge bis zum Jahr 1900. Den ersten Band, der 1922 erschien, erlebte er noch. Venn starb am 4. April 1923 mit 88 Jahren in Cambridge.

Zeitleiste: John Venns Leben

1. 1834 Geburt am 4. August in Hull
2. 1853 Beginn des Studiums am Gonville and Caius College
3. 1858 Weihe zum Diakon, später zum Priester
4. 1862 Rückkehr nach Cambridge als Dozent für Logik und Wahrscheinlichkeit
5. 1866 The Logic of Chance
6. 1880 Aufsatz über die diagrammatische Darstellung von Aussagen
7. 1881 Symbolic Logic
8. 1883 Wahl in die Royal Society; Verzicht auf das Priesteramt
9. 1923 Tod am 4. April in Cambridge

Bedeutung heute

Venn-Diagramme gehören in vielen Ländern zum Mathematikunterricht und werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik benutzt, um Ereignisse zu ordnen. Auch in Suchmaschinen und Bibliothekskatalogen steckt das Prinzip: Die Verknüpfungen UND, ODER und NICHT entsprechen Durchschnitt, Vereinigung und Komplement. Mehr zur Epoche im Artikel Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• John Venn: Symbolic Logic, Macmillan, London 1881.
• John Venn: On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings, in: Philosophical Magazine, 5. Reihe, Band 10, 1880.
• MacTutor History of Mathematics: John Venn (englisch)
• Wikipedia: John Venn (deutsch)