Ebenen im Raum: Parameter-, Normalen- und Koordinatenform

Eine Ebene im Raum ist eine ebene, unbegrenzt ausgedehnte Fläche, so wie eine unendlich große, glatte Tischplatte. Sie ist durch drei Punkte festgelegt, die nicht auf einer Geraden liegen. Genauso reicht ein Punkt und zwei Richtungen aus, oder ein Punkt und eine Richtung, die senkrecht auf der Ebene steht. Aus diesen Möglichkeiten entstehen drei Gleichungsformen.

Du solltest Geraden in Parameterform, das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt kennen. Das Beispiel, das sich durch die Seite zieht, hat die Punkte A(1|0|2), B(3|1|0) und C(0|2|1).

Parameterform und Ebene aus drei Punkten

Wie bei der Geraden startest du bei einem festen Punkt, dem Stützvektor $\vec{p}$ . Du darfst aber in zwei Richtungen gehen, die durch die Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gegeben sind. Die Zahlen s und t heißen Parameter und dürfen beliebige reelle Zahlen sein.

E : \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v} mit s, t \in ℝ

Die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ dürfen nicht parallel sein, sonst entsteht nur eine Gerade. Hast du drei Punkte A, B, C, die nicht auf einer Geraden liegen, nimmst du A als Stützpunkt und die Verbindungsvektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ als Richtungen.

Normalenvektor und Normalenform

Ein Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene, also senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Du bekommst ihn mit dem Kreuzprodukt: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ . Sein Betrag ist die Fläche des Parallelogramms aus $\vec{u}$ und $\vec{v}$ .

Ein Punkt mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt genau dann in der Ebene, wenn der Vektor $\vec{x} - \vec{p}$ von einem festen Punkt der Ebene zu ihm senkrecht auf $\vec{n}$ steht. Senkrecht heißt: Das Skalarprodukt ist 0.

Koordinatenform

Multiplizierst du die Normalenform aus, bekommst du eine Gleichung nur in den Koordinaten x, y, z. Mit $\vec{n} = (a | b | c)$ gilt $\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n}$ . Die rechte Seite ist eine feste Zahl d.

Umrechnen zwischen den Formen

So wechselst du zwischen den drei Formen
Von	Nach	Vorgehen
Parameterform	Normalenform	$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ berechnen, $\vec{p}$ übernehmen
Normalenform	Koordinatenform	ausmultiplizieren: $d = \vec{p} \cdot \vec{n}$
Parameterform	Koordinatenform	erst $\vec{n}$ und $d = \vec{p} \cdot \vec{n}$ , dann $a x + b y + c z = d$
Koordinatenform	Normalenform	$\vec{n} = (a \| b \| c)$ ablesen, einen Punkt der Ebene suchen
Koordinatenform	Parameterform	drei Punkte der Ebene suchen, oder zwei Vektoren senkrecht zu $\vec{n}$ bestimmen

Die letzte Zeile ist die einzige, die etwas Suche verlangt. Es gibt zwei Wege.

Drei Punkte: Wähle zwei Koordinaten frei und rechne die dritte aus, oder nimm die Spurpunkte (siehe unten).
Zwei Richtungen: Für $\vec{n} = (a | b | c)$ mit $a \neq 0$ sind $\vec{u} = (b | - a | 0)$ und $\vec{v} = (c | 0 | - a)$ zwei Vektoren, die senkrecht auf $\vec{n}$ stehen, denn $\vec{n} \cdot \vec{u} = a b - a b = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v} = a c - a c = 0$ . Einen Stützpunkt suchst du dazu.

Punktprobe

Ob ein Punkt in der Ebene liegt, prüfst du am einfachsten in der Koordinatenform: Du setzt die Koordinaten ein.

Spurpunkte und Spurgeraden

Die Spurpunkte sind die Punkte, in denen die Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Für den Schnittpunkt mit der x-Achse setzt du $y = 0$ und $z = 0$ , bei den anderen Achsen entsprechend. Die Spurgeraden sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen. Sie verbinden je zwei Spurpunkte.

Die Ebene 3x + 4y + 5z = 13 im Schrägbild: Die Spurpunkte S_x, S_y, S_z liegen auf den Achsen. Verbindest du sie, erhältst du die drei Spurgeraden in den Koordinatenebenen. Das Dreieck zeigt das Stück der Ebene im ersten Oktanten.

Zeichnest du die drei Spurpunkte und verbindest sie, siehst du ein Dreieck, das die Lage der Ebene gut zeigt. Hat die Gleichung keine x-Komponente, wie bei $y + z = 2$ , ist die Ebene parallel zur x-Achse. Dann gibt es keinen Spurpunkt auf dieser Achse.

Lage von Gerade und Ebene

Eine Gerade $g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ und eine Ebene $E : \vec{n} \cdot \vec{x} = d$ können sich auf drei Arten zueinander verhalten. Setze die Gerade in die Ebenengleichung ein. Das ergibt $\vec{n} \cdot \vec{p} + t \cdot (\vec{n} \cdot \vec{u}) = d$ .

Lage von Gerade und Ebene: Ist n · u ≠ 0, gibt es genau einen Schnittpunkt. Ist n · u = 0, ist die Gerade parallel zur Ebene (n · p ≠ d) oder liegt in ihr (n · p = d).

Lage von Gerade und Ebene
Bedingung	Lage
$\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0$	genau ein Schnittpunkt, t ist eindeutig
$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{p} \neq d$	parallel, kein Schnittpunkt
$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{p} = d$	die Gerade liegt in der Ebene

Den Spurpunkt $S_{x}$ kannst du ebenso bekommen: Die x-Achse ist die Gerade mit $\vec{p} = \vec{0}$ und $\vec{u} = (1 | 0 | 0)$ . Dann ist $\vec{n} \cdot \vec{u} = 3$ , also $t = \frac{13}{3}$ .

Lage zweier Ebenen

Zwei Ebenen vergleichst du über ihre Normalenvektoren.

Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel oder identisch. Identisch sind sie, wenn auch die Zahlen d im selben Verhältnis stehen.
Sind sie keine Vielfachen, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden. Ihre Richtung ist ${\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2}$ .

Schnittwinkel

Winkel zwischen Geraden und Ebenen bestimmst du mit dem Skalarprodukt der Normalen- und Richtungsvektoren. Der Betrag sorgt dafür, dass du den spitzen Winkel bekommst.

Abstände (Ausblick)

Den Abstand eines Punktes P von der Ebene erhältst du aus der Koordinatenform: $Abstand (P, E) = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{P} - d |}{| \vec{n} |}$ . Für $Q (1 | 1 | 1)$ und $E : 3 x + 4 y + 5 z = 13$ ist das $\frac{| 12 - 13 |}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0,14$ . Wie das genau funktioniert und wie du Abstände von Geraden bestimmst, steht auf der Seite Abstände im Raum.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Ebenen im Raum: Aufgaben. Zum Nachrechnen eignet sich der Vektorrechner, und für Umrechnungen und Spurpunkte der Ebenenrechner.

Geschichte: von Euklid zur Vektorgeometrie

Die Ebene und ihre Senkrechte sind alt. Schon Euklid definiert im 11. Buch der Elemente (Definition 3), wann eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht: wenn sie mit allen Geraden der Ebene, die sie trifft, einen rechten Winkel bildet. Das ist die Idee des Normalenvektors.

Rechnen konnte man mit Ebenen erst, als Koordinaten erfunden waren. René Descartes veröffentlichte 1637 in La Géométrie die Idee, Kurven durch Gleichungen zu beschreiben, und Pierre de Fermat kam um 1636 unabhängig zu denselben Grundsätzen. Systematisch auf Flächen im Raum übertrug Leonhard Euler diese Methode, vor allem bei den Flächen zweiter Ordnung. Die Vektorschreibweise, mit der du heute eine Ebene kurz aufschreibst, entstand im 19. Jahrhundert: William Rowan Hamilton prägte die Wörter „Skalar“ und „Vektor“, und Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside trennten in den 1880er-Jahren Skalarprodukt und Kreuzprodukt voneinander ab.

Häufige Fragen

Warum hat die Parameterform einer Ebene zwei Parameter?

Eine Gerade hat eine Richtung, also einen Parameter. Eine Ebene ist flach und hat zwei unabhängige Richtungen. Für jeden Punkt in der Ebene brauchst du deshalb zwei Zahlen.

Welche Form soll ich verwenden?

Für die Punktprobe, Spurpunkte und die Lage zu einer Geraden eignet sich die Koordinatenform am besten. Die Parameterform brauchst du, wenn Punkte der Ebene erzeugt werden sollen oder die Ebene aus drei Punkten entsteht.

Was bedeutet es, wenn in der Koordinatenform eine Variable fehlt?

Dann steht die Ebene parallel zur entsprechenden Achse. Bei $y + z = 2$ fehlt das x, die Ebene ist parallel zur x-Achse. Fehlen zwei Variablen, wie bei $z = 3$ , ist sie parallel zu einer Koordinatenebene.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Ebenengleichung
David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book XI (englisch)
Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Eine Einführung für Studienanfänger, Vieweg, Braunschweig und Wiesbaden 2001.
Carl B. Boyer: History of Analytic Geometry, Scripta Mathematica, New York 1956.