Diophant von Alexandria

Diophant von Alexandria (griechisch Diophantos, lateinisch Diophantus) war ein griechischer Mathematiker, der vermutlich um 250 n. Chr. in Alexandria lebte. Sein Hauptwerk, die Arithmetica, ist eine Sammlung von Zahlenaufgaben, die er mit algebraischen Mitteln löst. Sie ist der älteste erhaltene griechische Text, in dem Unbekannte, ihre Potenzen und das Minuszeichen durch eigene Abkürzungen dargestellt werden. Deshalb nennt man Diophant oft den „Vater der Algebra“.

Seine Wirkung reicht bis in die Gegenwart. Gleichungen, deren ganzzahlige oder rationale Lösungen gesucht werden, heißen nach ihm diophantische Gleichungen. In seinem Exemplar der Arithmetica notierte Pierre de Fermat die berühmte Randbemerkung, aus der der Große Fermatsche Satz wurde, und David Hilbert machte 1900 die Frage nach einem allgemeinen Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen zu seinem zehnten Problem. Über Diophants Leben selbst wissen wir dagegen fast nichts.

Was über Diophants Leben bekannt ist

Diophants Lebenszeit lässt sich nur indirekt eingrenzen. In seiner Schrift über Polygonalzahlen zitiert er Hypsikles, der um 150 v. Chr. lebte; umgekehrt wird Diophant von Theon von Alexandria im 4. Jahrhundert n. Chr. erwähnt. Damit bleibt ein Spielraum von rund 500 Jahren. Die heute übliche Datierung um 250 n. Chr. stützt sich auf einen Brief des byzantinischen Gelehrten Michael Psellos aus dem 11. Jahrhundert. Psellos berichtet, Anatolios, ein gelehrter Bischof von Laodikeia im späten 3. Jahrhundert, habe eine Schrift über ägyptische Rechenverfahren „für Diophant“ verfasst. Ob das so zu verstehen ist, ist umstritten; der Mathematikhistoriker Wilbur Knorr hielt auch eine frühere Datierung für möglich.

Die Lebensdaten ca. 200–284, die in vielen Übersichten stehen, sind daher keine überlieferten Daten, sondern eine Konvention: Sie verbinden die Datierung um 250 mit dem Alter von 84 Jahren aus dem berühmten Grabrätsel. Auch über Diophants Herkunft gibt es nur Vermutungen. Er schrieb Griechisch und arbeitete in der Tradition der hellenistischen Mathematik; Thesen, er sei babylonischer, ägyptischer oder jüdischer Abstammung gewesen, lassen sich nicht belegen.

Alexandria war zu dieser Zeit seit über fünf Jahrhunderten ein Zentrum der Wissenschaft. Hier hatte Euklid seine „Elemente“ verfasst, hier hatte Heron praktische Rechenverfahren gesammelt. Die griechische Mathematik war jedoch vor allem Geometrie: Zahlen wurden als Strecken gedacht, Gleichungen durch Konstruktionen gelöst. Diophant ging einen anderen Weg und rechnete mit Zahlen als solchen.

Die Arithmetica: Aufbau und Überlieferung

Die Arithmetica bestand nach Diophants eigener Angabe aus 13 Büchern. Sie ist kein systematisches Lehrbuch mit Lehrsätzen und Beweisen wie die „Elemente“, sondern eine Folge von Aufgaben mit Lösungen. Jede Aufgabe ist allgemein formuliert („Eine gegebene Zahl in zwei Quadrate zu zerlegen“), wird aber mit konkreten Zahlen durchgerechnet. Die Aufgaben reichen von linearen Gleichungen über quadratische Gleichungen bis zu unbestimmten Gleichungen höheren Grades, die unendlich viele Lösungen haben können.

Sechs Bücher sind in griechischen Handschriften überliefert, die über Byzanz nach Westeuropa gelangten. Lange galten die übrigen sieben als verloren. 1968 entdeckte der Wissenschaftshistoriker Fuat Sezgin in der Bibliothek des Imam-Reza-Schreins im iranischen Maschhad eine arabische Abschrift von 1198, die vier weitere Bücher enthält. Die Übersetzung wird Qusṭā ibn Lūqā zugeschrieben, einem Gelehrten des 9. Jahrhunderts. Diese Bücher gehören vermutlich hinter die ersten drei griechischen Bücher und werden heute als Bücher IV bis VII gezählt. Damit kennen wir zehn der dreizehn Bücher; nur die letzten drei sind verloren.

Von zwei weiteren Schriften Diophants wissen wir: Ein Bruchstück Über Polygonalzahlen ist erhalten, das Werk Porismen, auf das er in der Arithmetica mehrfach verweist, ist verloren. Für seine Lösungen ließ Diophant nur positive rationale Zahlen gelten, also positive ganze Zahlen und Brüche. Eine Gleichung wie 4 = 4x + 20, deren Lösung negativ wäre, nannte er „widersinnig“ (átopon), und auch irrationale Lösungen vermied er, indem er die Aufgabe so einrichtete, dass ein Quadrat herauskam. Bemerkenswert ist, dass er Brüche ohne Zögern als Zahlen behandelte, mit denen man rechnen kann. Viele griechische Mathematiker vor ihm hatten nur Verhältnisse ganzer Zahlen betrachtet.

Diophants Zeichensprache: der Schritt zur synkopierten Algebra

Der Mathematikhistoriker Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann unterschied 1842 drei Stufen der Algebra: die rhetorische, bei der alles in Worten ausgeschrieben wird, die synkopierte, die häufige Begriffe durch Abkürzungen ersetzt, und die symbolische, wie wir sie heute verwenden. Diophant ist das klassische Beispiel für die mittlere Stufe. Er führte Kürzel ein, die aus griechischen Buchstaben entstanden:

Zahlen schrieb Diophant mit griechischen Zahlbuchstaben (α = 1, β = 2, ε = 5, ι = 10). Ein Pluszeichen kannte er nicht: Was nebeneinander steht, wird addiert. Alle abzuziehenden Glieder sammelte er hinter einem einzigen Minuszeichen. Die Gleichung x³ − 2x² + 10x − 1 = 5 sah bei ihm etwa so aus: Κ^Υα ςι ⋔ Δ^Υβ Μ̊α ἴσ Μ̊ε, wörtlich „ein Kubus, zehn Zahlen, weniger zwei Quadrate und eine Einheit, gleich fünf Einheiten“.

Diese Schreibweise hatte eine wichtige Grenze: Diophant besaß nur ein Zeichen für die Unbekannte. Aufgaben mit mehreren Unbekannten musste er deshalb geschickt so umformen, dass alle Größen durch eine einzige ausgedrückt werden. Gerade diese Kunst der passenden Ansätze macht den Reiz seiner Lösungen aus. Allgemeine Koeffizienten wie a, b, c in ax² + bx = c gab es noch nicht; sie führte erst François Viète im späten 16. Jahrhundert ein.

Wie Diophant rechnete: ein Quadrat in zwei Quadrate zerlegen

Die bekannteste Aufgabe der Arithmetica ist Aufgabe 8 des zweiten Buches: Eine gegebene Quadratzahl soll in zwei Quadrate zerlegt werden. Diophant wählt als Beispiel die Zahl 16. Sein Lösungsweg zeigt typisch, wie er arbeitet.

Der Trick besteht darin, den Ansatz so zu wählen, dass sich die Konstante weghebt und aus der quadratischen eine lineare Gleichung wird. Wählt man statt 2 einen anderen Faktor, entstehen andere Lösungen; es gibt unendlich viele. Geometrisch gedeutet legt Diophant eine Gerade durch einen bekannten Punkt des Kreises x² + y² = 16 und berechnet den zweiten Schnittpunkt. Dieses Sekantenverfahren ist bis heute ein Grundwerkzeug, um rationale Punkte auf Kurven zu finden.

Ähnlich behandelte Diophant viele andere Fragen, etwa nach zwei Zahlen, deren Quadrate zusammen wieder ein Quadrat ergeben. Ganzzahlige Beispiele dafür sind die pythagoreischen Tripel 3, 4, 5 und 5, 12, 13. Andere Aufgabentypen lassen sich ebenfalls mit kleinen Zahlen veranschaulichen: Bei 1³ + 2³ = 9 = 3² ergibt die Summe zweier Kuben ein Quadrat, und die Quadrate 1, 25 und 49 bilden eine arithmetische Folge mit der Differenz 24. Solche ganzzahligen Beispiele dienen hier nur der Anschauung; Diophant selbst gab sich mit rationalen Lösungen zufrieden. Auch die Beziehung (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)², nach der das Produkt zweier Summen von zwei Quadraten wieder eine solche Summe ist, verwendete er bereits.

Diophantische Gleichungen: was der Begriff heute bedeutet

Heute nennt man eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten diophantisch, wenn ganzzahlige (manchmal auch rationale) Lösungen gesucht sind. Das einfachste Beispiel ist eine lineare Gleichung wie 3x + 5y = 22, die in positiven ganzen Zahlen nur die Lösung x = 4, y = 2 hat. Genau genommen passt der Name nicht ganz: Diophant suchte, wie gezeigt, meist rationale Lösungen. Systematische Verfahren für ganzzahlige Lösungen linearer Gleichungen entwickelten indische Mathematiker wie Aryabhata und Brahmagupta, der auch die schwierige Gleichung x² − Ny² = 1 untersuchte.

Diophantische Gleichungen sind trügerisch einfach aufzuschreiben und oft extrem schwer zu lösen. Die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ hat für n ≥ 3 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen; bewiesen hat das erst Andrew Wiles 1994/95, über 350 Jahre nach Fermats Behauptung. 1900 fragte David Hilbert in seinem zehnten Problem nach einem Verfahren, das für jede diophantische Gleichung entscheidet, ob sie ganzzahlige Lösungen besitzt. Die Antwort fiel 1970: Juri Matijassewitsch bewies, aufbauend auf Arbeiten von Martin Davis, Hilary Putnam und Julia Robinson, dass es ein solches allgemeines Verfahren nicht geben kann.

Die Wiederentdeckung: von Hypatia bis Fermat

In der Spätantike wurde die Arithmetica in Alexandria weiter studiert. Nach einem byzantinischen Lexikon schrieb Hypatia um 400 einen Kommentar dazu, der verloren ist. Im 9. Jahrhundert entstand die arabische Übersetzung, und Mathematiker der islamischen Welt wie al-Karadschi übernahmen Aufgaben und Methoden Diophants in ihre Algebra. In Byzanz kommentierte Maximos Planudes im 13. Jahrhundert die ersten beiden Bücher.

Im Westen stieß Regiomontanus 1463 in Venedig auf eine griechische Handschrift und erkannte ihren Wert, kam aber nicht zu einer Übersetzung. Rafael Bombelli lernte das Werk um 1570 in der Vatikanischen Bibliothek kennen und übernahm zahlreiche Aufgaben in seine „Algebra“ von 1572. Wilhelm Xylander veröffentlichte 1575 in Basel eine lateinische Übersetzung. Maßgeblich wurde die griechisch-lateinische Ausgabe von Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, die 1621 in Paris erschien.

Ein Exemplar dieser Ausgabe las Pierre de Fermat und versah es mit Anmerkungen. Neben Aufgabe II.8 schrieb er, vermutlich um 1637, sinngemäß:

„Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein eine Potenz über der zweiten in zwei Potenzen desselben Grades zu zerlegen. Ich habe dafür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch dieser Rand ist zu schmal, um ihn zu fassen.“

Fermats Sohn Samuel veröffentlichte die Anmerkungen 1670 in einer Neuausgabe der Arithmetica. Damit begann die Geschichte des Großen Fermatschen Satzes. Diophants Aufgaben regten zudem Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu zahlentheoretischen Untersuchungen an.

Zeitleiste

1. um 250 Diophant wirkt in Alexandria und verfasst die Arithmetica.
2. um 400 Hypatia schreibt einen (verlorenen) Kommentar zur Arithmetica.
3. 9. Jh. Arabische Übersetzung, Qusṭā ibn Lūqā zugeschrieben.
4. 1463 Regiomontanus entdeckt in Venedig eine griechische Handschrift.
5. 1621 Bachet veröffentlicht die griechisch-lateinische Ausgabe in Paris.
6. um 1637 Fermat notiert seine Randbemerkung zu Aufgabe II.8; gedruckt 1670.
7. 1900 Hilbert stellt die Frage nach einem Lösungsverfahren als zehntes Problem.
8. 1968 Fuat Sezgin findet in Maschhad die arabischen Bücher IV bis VII.
9. 1970 Matijassewitsch zeigt: Ein allgemeines Verfahren gibt es nicht.
10. 1994/95 Andrew Wiles beweist den Großen Fermatschen Satz.

„Vater der Algebra“? Diophant und al-Chwarizmi

Der Ehrentitel „Vater der Algebra“ wird zwei Männern verliehen: Diophant und dem persischen Gelehrten Muhammad al-Chwarizmi, der um 830 in Bagdad wirkte. Beide stehen für verschiedene Seiten des Fachs. Diophant führte Abkürzungen ein und löste raffinierte Einzelaufgaben, vor allem unbestimmte Gleichungen; ein allgemeines Schema, nach dem man jede Gleichung eines Typs löst, gab er nicht. Al-Chwarizmi dagegen schrieb ganz in Worten, ordnete aber lineare und quadratische Gleichungen in feste Typen und gab für jeden ein Lösungsverfahren mit Begründung. Das Wort „Algebra“ stammt aus dem Titel seines Buches. Welcher der beiden den Titel eher verdient, ist eine Geschmacksfrage. Beide bauten auf älterem Wissen auf, denn quadratische Gleichungen lösten schon die Babylonier um 1800 v. Chr.

Das Grabrätsel: Wie alt wurde Diophant?

Am bekanntesten ist Diophant heute vielleicht durch ein Rätsel. Es steht in der Anthologia Graeca, einer Sammlung griechischer Kurzgedichte, unter Zahlenrätseln, die ein gewisser Metrodoros um 500 n. Chr. zusammengestellt haben soll. Das Gedicht gibt sich als Grabinschrift aus und beschreibt Diophants Leben in Bruchteilen. Es eignet sich gut als Übung:

Wer solche Gleichungen sicher lösen will, findet die nötigen Schritte auf unseren Lernseiten zum Lösen von Gleichungen und zum Rechnen mit Brüchen.

Diophants Bedeutung heute

Diophants Aufgaben stehen am Anfang der Zahlentheorie, wie sie Fermat, Euler und Gauß betrieben. Die Frage, welche rationalen Punkte auf einer Kurve liegen, ist heute ein eigenes Forschungsgebiet, die diophantische Geometrie. Besonders wichtig sind elliptische Kurven, auf die schon einige Aufgaben der Arithmetica führen. Mit ihnen wurde der Große Fermatsche Satz bewiesen, und über endlichen Körpern bilden sie die Grundlage der Elliptische-Kurven-Kryptografie, die heute viele Internetverbindungen absichert.

Hilberts zehntes Problem und seine negative Lösung verbanden Diophants Erbe schließlich mit der Theorie der Berechenbarkeit: Es gibt Fragen über ganze Zahlen, die kein Algorithmus allgemein entscheiden kann. Im Schulunterricht schließlich lebt Diophant in jeder Textaufgabe fort, bei der man eine Unbekannte einführt und eine Gleichung aufstellt.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath: Diophantus of Alexandria. A Study in the History of Greek Algebra, 2. Auflage, Cambridge University Press, Cambridge 1910.
• Jacques Sesiano: Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qusṭā ibn Lūqā, Springer, New York 1982.
• Norbert Schappacher: Wer war Diophant? In: Mathematische Semesterberichte 45 (1998).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Diophantus of Alexandria (englisch)
• Wikipedia: Diophantos von Alexandria