Determinanten

Für die $2\times 2$-Matrix $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ ist die Determinante $ad-bc$, für $3\times 3$ gibt es die Regel von Sarrus. Beide kennst du von der Seite Matrizen. Was aber ist die Determinante einer $4\times 4$- oder $n\times n$-Matrix? Hier lernst du die allgemeine Theorie: die Determinante als Zahl mit drei einfachen Eigenschaften, die dann alles Weitere festlegen, drei Berechnungsarten (Gauß, Laplace, Leibniz), die wichtigsten Rechenregeln und Anwendungen auf Gleichungssysteme und Volumen.

Wichtig ist die Determinante, weil sie das Kernproblem der linearen Algebra beantwortet: Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht 0 ist. Außerdem misst $\left|\det A\right|$, wie die lineare Abbildung $x\mapsto Ax$ Flächen und Volumina streckt. Du brauchst Vorwissen zu Vektorräumen und dem Gauß-Verfahren. Zum Üben gibt es einen Aufgabengenerator.

Die Determinante und ihre drei Eigenschaften

Dass es genau eine solche Abbildung gibt, wird mit der Leibniz-Formel (unten) gezeigt. Für $n=2$ ist es $ad-bc$. Aus den drei Eigenschaften folgen die Rechenregeln für Zeilenumformungen, ohne dass man eine Formel braucht.

Der letzte Punkt folgt, weil man bei einer oberen Dreiecksmatrix mit Zeilenumformungen vom zweiten Typ alle Einträge oberhalb der Diagonale löschen kann. Dann bleibt eine Diagonalmatrix, aus der man die Faktoren herauszieht und $\det E=1$ erhält.

Berechnen mit dem Gauß-Verfahren

Das ist die effizienteste Methode: Bringe die Matrix mit Zeilenumformungen auf Dreiecksgestalt und buche dabei mit, wie sich die Determinante ändert (nur Zeilentausch und Skalierung ändern sie). Das Produkt der Diagonalelemente liefert dann das Ergebnis. Es braucht etwa $\frac{n^3}{3}$ Rechenschritte, für $n=100$ sind das rund 330 000, die Leibniz-Formel dagegen bräuchte $100!$ Summanden.

Die Laplace-Entwicklung

Die Entwicklung führt eine $n\times n$-Determinante auf kleinere zurück. Für den Eintrag $a_{ij}$ sei $A_{ij}$ die Matrix, die entsteht, wenn man Zeile $i$ und Spalte $j$ streicht (eine $(n-1)\times (n-1)$-Matrix).

Die Vorzeichen ${(-1)}^{i+j}$ bilden ein Schachbrettmuster, das links oben mit $+$ beginnt. Man entwickelt am besten nach einer Zeile oder Spalte mit vielen Nullen, weil dann viele Summanden wegfallen.

Die Leibniz-Formel

Die explizite Formel für alle $n$ benutzt Permutationen. Eine Permutation $\sigma$ von $\{1,\dots ,n\}$ hat ein Vorzeichen $\mathrm{sgn}(\sigma )=\pm 1$, je nachdem, ob sie eine gerade oder ungerade Zahl von Vertauschungen braucht.

Die Summe hat $n!$ Summanden: je ein Produkt, das aus jeder Zeile und jeder Spalte genau einen Eintrag nimmt. Für $n=2$ sind das $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$. Für $n=3$ sind es sechs Terme, und das ist die Regel von Sarrus. Beispiel für $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 10\end{array}\right)$:

Ab $n=4$ gibt es keine Merkregel nach dem Muster von Sarrus. Die Leibniz-Formel ist für Beweise ideal, zum Rechnen aber zu teuer: Für $n=10$ hat sie $3628800$ Summanden.

Produktsatz und Invertierbarkeit

Beweisidee für die Invertierbarkeit. Man bringt $A$ mit Zeilenumformungen auf Stufenform. Jede Umformung multipliziert die Determinante mit einer Zahl ungleich 0 (Tausch: $-1$, Skalieren: $\lambda \ne 0$, Addieren: $1$). Also ist $\det A$ genau dann 0, wenn die Stufenform eine Nullzeile hat, das heißt wenn der Rang kleiner als $n$ ist. Das ist die Bedingung dafür, dass $A$ nicht invertierbar ist (Rangsatz). Der Produktsatz folgt ähnlich: Ist $A$ nicht invertierbar, dann auch $AB$, beide Seiten sind 0. Ist $A$ invertierbar, ist $A$ ein Produkt von Elementarmatrizen, und für diese lässt sich die Formel nachrechnen.

Die Cramersche Regel

Für ein quadratisches System $Ax=b$ mit $\det A\ne 0$ gibt es eine Formel für die Lösung. Sei $A_i$ die Matrix, die entsteht, wenn man die $i$-te Spalte von $A$ durch $b$ ersetzt. Dann ist

Die Regel ist elegant, aber nur für kleine Systeme praktisch. Für große Systeme ist das Gauß-Verfahren viel schneller. Eng verwandt ist die Formel für die Inverse mit der Adjunkten: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)$. Für $2\times 2$ lautet sie ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Geometrische Bedeutung

Die Spalten einer reellen $n\times n$-Matrix spannen ein Parallelepiped (Spat) auf. Sein Volumen ist $\left|\det A\right|$. Das Vorzeichen gibt die Orientierung an: Bei $\det >0$ bleibt die Reihenfolge der Basisvektoren (rechtshändig), bei $\det <0$ wird gespiegelt. Für $n=2$ ist es das Parallelogramm (Fläche), für $n=3$ das Spatprodukt.

Allgemeiner multipliziert eine lineare Abbildung $x\mapsto Ax$ das Volumen jeder Figur mit $\left|\det A\right|$. Deshalb ist $\det A=0$ genau dann, wenn das Bild zusammenfällt, also eine Dimension verloren geht. Bei der Substitution in Mehrfachintegralen erscheint $\left|\det \right|$ der Jacobi-Matrix als Korrekturfaktor, und bei Eigenwerten bestimmt $\det (A-\lambda E)=0$ die Eigenwerte.

Eine besondere Determinante: Vandermonde

Die Vandermonde-Determinante zu den Zahlen $x_1,\dots ,x_n$ ist

Für $x=(1,2,3)$ ist $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right)=(2-1)(3-1)(3-2)=2$. Probe mit Sarrus: $1·2·9+1·4·1+1·1·3-1·2·1-1·4·3-1·1·9=18+4+3-2-12-9=2$. Sie ist genau dann ungleich 0, wenn alle $x_i$ verschieden sind. Daraus folgt, dass es zu $n$ Punkten mit verschiedenen $x$-Werten genau ein Polynom vom Grad $\le n-1$ durch alle Punkte gibt (Interpolation).

Typische Fehler

Übungen

Geschichte

Seki Takakazu (1683) und Leibniz (1693) lösten lineare Gleichungssysteme mit determinantenartigen Ausdrücken. Colin Maclaurin und Gabriel Cramer veröffentlichten die Regel für kleine Systeme in den 1740er-Jahren, Cramer 1750 in einem Anhang zur Theorie algebraischer Kurven. Alexandre-Théophile Vandermonde stellte um 1771 die erste zusammenhängende Theorie der Determinanten auf. Gauß benutzte das Wort „Determinante“ 1801 für eine Größe bei quadratischen Formen, Cauchy gab ihm 1812 seine heutige Bedeutung und bewies, gleichzeitig mit Jacques Binet, den Produktsatz. Mit Carl Gustav Jacobi (1841) wurde die Determinante zum Werkzeug der Analysis. Die nach ihm benannten Funktionaldeterminanten messen bis heute die Flächenverzerrung bei Koordinatenwechseln.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Determinante
• Wikipedia: Laplacescher Entwicklungssatz
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, Berlin.
• Gabriel Cramer: Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, Genf 1750.