George Boole

George Boole (1815–1864) war ein englischer Mathematiker und Logiker, der als Erster das logische Schließen konsequent in algebraische Gleichungen übersetzte. In seinen Büchern The Mathematical Analysis of Logic (1847) und An Investigation of the Laws of Thought (1854) rechnete er mit Begriffen und Aussagen wie mit Zahlen. Aus diesem Kalkül entwickelte sich die Boolesche Algebra mit den Verknüpfungen UND, ODER und NICHT, die heute in jedem Computerchip, jeder Programmiersprache und jeder Suchmaschine steckt.

Bemerkenswert ist Booles Lebensweg: Der Sohn eines Schuhmachers aus Lincoln besuchte nie eine Universität. Er brachte sich Sprachen und höhere Mathematik selbst bei, verdiente sein Geld als Lehrer und wurde 1849 dennoch erster Mathematikprofessor am neu gegründeten Queen’s College in Cork (Irland). Seine Logik fand zu Lebzeiten nur wenige Leser. Ihre technische Tragweite arbeitete erst der Ingenieur Claude Shannon im Jahr 1937 aus, mehr als siebzig Jahre nach Booles Tod.

Kindheit in Lincoln: Sohn eines Schuhmachers

George Boole wurde am 2. November 1815 in Lincoln im Osten Englands geboren. Er war das erste Kind von John Boole und Mary Ann Joyce, die bereits neun Jahre verheiratet waren. Der Vater betrieb eine Schuhmacherwerkstatt, interessierte sich aber weit mehr für Naturwissenschaft und den Bau optischer Instrumente als für sein Geschäft. Von ihm erhielt George den ersten Mathematikunterricht und die Freude am Basteln von Fernrohren.

Die Familie konnte sich nur einfache Schulen leisten, und so lernte George vieles auf eigene Faust. Latein brachte ihm ein Buchhändler bei, Altgriechisch erarbeitete er sich allein. Mit 14 Jahren übersetzte er ein Gedicht des griechischen Dichters Meleagros so gekonnt, dass der stolze Vater es in einer Zeitung abdrucken ließ. Daraufhin bezweifelte ein Lehrer öffentlich, dass ein 14-Jähriger dazu fähig sei. Später kamen Französisch und Deutsch hinzu, beides ebenfalls im Selbststudium. Wichtige Anlaufstelle war das 1833 gegründete Mechanics’ Institute in Lincoln, eine Bildungseinrichtung für Handwerker, über die Boole Zugang zu Büchern und zu Förderern wie dem Mathematiker Edward Bromhead fand.

Lehrer, Schulgründer und Forscher ohne Studium

Als George 16 Jahre alt war, brach das Geschäft des Vaters zusammen. Er wurde Hilfslehrer an einer Schule in Doncaster und unterstützte von da an Eltern und Geschwister. Nach weiteren Stellen in Liverpool und Waddington eröffnete er 1834, mit 19 Jahren, eine eigene Schule in Lincoln. 1838 übernahm er nach dem Tod des Gründers die Hall’s Academy in Waddington, wo die ganze Familie mitarbeitete; 1840 gründete er erneut ein Internat in Lincoln.

Neben dem Unterricht studierte Boole höhere Mathematik. Sein erstes Lehrbuch der Analysis war das Werk des Franzosen Sylvestre François Lacroix; später arbeitete er sich durch die Himmelsmechanik von Pierre-Simon Laplace und die analytische Mechanik von Joseph-Louis Lagrange. Rückblickend meinte er, er habe Jahre verloren, weil ihm ein Lehrer fehlte. Ermutigung erhielt er von Duncan Gregory, dem Herausgeber des Cambridge Mathematical Journal. Gregory riet ihm zu einem Studium in Cambridge, doch Boole konnte auf das Einkommen aus seiner Schule nicht verzichten.

Ab 1841 veröffentlichte Boole Arbeiten im Cambridge Mathematical Journal. Eine davon behandelte Größen, die sich bei linearen Koordinatenwechseln nicht ändern, und gilt als Vorläufer der Invariantentheorie, die Arthur Cayley und James Joseph Sylvester später ausbauten. 1842 begann sein Briefwechsel mit dem Londoner Mathematiker Augustus De Morgan. Für die Abhandlung On a General Method in Analysis, in der er Differentialoperatoren wie algebraische Symbole behandelte, verlieh ihm die Royal Society 1844 ihre Royal Medal. Ein Schullehrer ohne akademischen Abschluss gehörte damit zu den anerkannten Mathematikern Großbritanniens.

Erster Mathematikprofessor in Cork

1845 gründete die britische Regierung in Irland drei neue Hochschulen, die Queen’s Colleges in Belfast, Cork und Galway. Boole bewarb sich 1846 um eine Professur und legte Empfehlungsschreiben von De Morgan, Cayley und William Thomson (dem späteren Lord Kelvin) vor. Im August 1849 wurde er zum ersten Professor für Mathematik am Queen’s College in Cork ernannt, dem heutigen University College Cork; im November nahm er die Lehre auf. 1851 wählte ihn die Hochschule zum Dekan der naturwissenschaftlichen Fakultät.

In Cork entstanden seine Hauptwerke. 1854 erschien An Investigation of the Laws of Thought, 1859 ein Lehrbuch über Differentialgleichungen und 1860 eines über Differenzenrechnung; beide wurden über Jahrzehnte im Unterricht verwendet. 1857 wurde Boole in die Royal Society aufgenommen, die Universitäten Dublin und Oxford verliehen ihm Ehrendoktorwürden. Er galt als gewissenhafter, bei den Studenten beliebter Lehrer.

Familie und früher Tod

1850 lernte Boole in Cork Mary Everest kennen, die Nichte des Geografen George Everest, nach dem der höchste Berg der Erde benannt ist. Er gab ihr Unterricht in Differentialrechnung; 1855 heirateten die beiden. Mary Everest Boole (1832–1916) veröffentlichte später selbst Schriften zur Mathematikdidaktik. Das Paar hatte fünf Töchter, die bemerkenswerte Wege gingen: Alicia Boole Stott untersuchte ohne formale Ausbildung regelmäßige Körper in vier Dimensionen, Lucy Everest Boole wurde Chemikerin, Ethel Lilian Voynich eine bekannte Schriftstellerin. Zu Booles Nachfahren zählt auch Geoffrey Hinton, Pionier der künstlichen neuronalen Netze und Physik-Nobelpreisträger 2024.

Im November 1864 ging Boole bei strömendem Regen rund zwei Meilen von seinem Haus zum College und hielt seine Vorlesung in durchnässter Kleidung. Er bekam eine fiebrige Erkältung, die auf die Lunge übergriff. Am 8. Dezember 1864 starb er mit 49 Jahren in Ballintemple bei Cork; als Todesursache wurde ein Pleuraerguss angegeben.

Logik vor Boole: von Aristoteles bis Leibniz

Seit Aristoteles bestand die Logik im Kern aus der Lehre vom Syllogismus: Schlussfiguren wie „Alle Menschen sind sterblich; alle Griechen sind Menschen; also sind alle Griechen sterblich.“ Immanuel Kant meinte noch 1787, die Logik habe seit Aristoteles keinen Schritt vorwärts getan. Gottfried Wilhelm Leibniz hatte zwar um 1700 von einem „Kalkül des Denkens“ geträumt, mit dem sich Streitfragen durch Rechnen entscheiden ließen, und dazu auch eigene Ansätze entworfen. Diese Schriften blieben jedoch größtenteils unveröffentlicht, bis Louis Couturat sie 1903 herausgab. Boole kannte sie nicht.

Booles Ausgangspunkt war ein anderer: die in Cambridge entwickelte „symbolische Algebra“ von George Peacock und Duncan Gregory. Sie lehrte, dass algebraische Zeichen nicht unbedingt für Zahlen stehen müssen; entscheidend sind die Rechenregeln, denen sie gehorchen. Den unmittelbaren Anlass lieferte 1847 ein öffentlicher Streit zwischen De Morgan und dem schottischen Philosophen William Hamilton über die Form logischer Aussagen. Boole schrieb daraufhin rasch seine Schrift The Mathematical Analysis of Logic, die im selben Jahr erschien wie De Morgans Buch Formal Logic.

Booles Algebra der Logik

„Ziel der folgenden Abhandlung ist es, die grundlegenden Gesetze jener Operationen des Geistes zu untersuchen, durch die das Schließen vollzogen wird, und ihnen in der symbolischen Sprache eines Kalküls Ausdruck zu geben …“

Klassen als Rechengrößen

Boole ließ Buchstaben wie x und y für Klassen von Dingen stehen, zum Beispiel x für „Schafe“ und y für „weiße Dinge“. Das Produkt xy bezeichnet die Dinge, die beides sind, also weiße Schafe. Die Zahl 1 steht für das „Universum“ aller betrachteten Dinge, die 0 für die leere Klasse. Dann bedeutet 1 − x „alles, was kein Schaf ist“. Eine Summe x + y ließ Boole nur zu, wenn die beiden Klassen kein gemeinsames Element haben; sie steht dann für „das eine oder das andere“.

Das Grundgesetz x² = x

Wählt man aus allen Dingen zweimal hintereinander die Schafe aus, erhält man wieder die Schafe. Boole schrieb dafür xx = x, also x² = x. Unter den gewöhnlichen Zahlen erfüllen nur 0 und 1 diese Gleichung. Daraus zog Boole seinen zentralen Schluss: Die Logik verhält sich wie eine Algebra, in der nur die Werte 0 und 1 vorkommen. Aus dem Grundgesetz folgt durch einfache Umformung der klassische Satz vom Widerspruch:

In Worten: Nichts kann zugleich x und nicht x sein. Was Philosophen als Denkgesetz formuliert hatten, erschien bei Boole als Folge einer Rechenregel.

Aussagen, Entwicklungssatz und Wahrscheinlichkeit

In den Laws of Thought deutete Boole dieselben Symbole auch als Aussagen: x = 1 heißt „die Aussage ist wahr“, x = 0 „sie ist falsch“. Jeden logischen Ausdruck konnte er mit seinem Entwicklungssatz f(x) = f(1) · x + f(0) · (1 − x) in eine Normalform zerlegen, indem er für die Variablen nacheinander 1 und 0 einsetzte. Damit besaß er ein mechanisches Verfahren, um zu entscheiden, ob ein Ausdruck immer wahr ist. Die zweite Hälfte des Buches wendet den Kalkül auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung an; dieser Teil blieb umstritten und hatte weniger Wirkung.

Die moderne Boolesche Algebra: UND, ODER, NICHT

Die heute gelehrte Boolesche Algebra ist nicht mehr genau Booles eigenes System. 1864 schlug der Ökonom und Logiker William Stanley Jevons vor, die Summe als einschließendes ODER zu lesen, das auch für überlappende Klassen gilt; dann gilt x + x = x. Boole lehnte das ab, weil es den Regeln der gewöhnlichen Algebra widersprach, doch Jevons’ Lesart setzte sich durch. Charles Sanders Peirce und Ernst Schröder bauten die Theorie in den folgenden Jahrzehnten aus, Edward Huntington gab ihr 1904 ein vollständiges Axiomensystem. In der Mathematik schreibt man heute meist ∧ für UND, ∨ für ODER und ¬ für NICHT; in der Elektrotechnik sind auch A · B, A + B und ein Querstrich über der Variablen üblich.

Wahrheitstafeln

Wie eine Verknüpfung wirkt, zeigt eine Wahrheitstafel: Sie listet für alle Kombinationen der Eingangswerte den Ausgangswert auf. Dabei steht 1 für „wahr“ und 0 für „falsch“. Diese Tabellenform wurde erst um 1920 durch Emil Post und Ludwig Wittgenstein zum Standard, Vorformen finden sich bei Peirce. Sie setzt aber genau Booles Idee um, alle Fälle durch Einsetzen von 0 und 1 durchzuprüfen.

Die letzte Zeile der ersten Tafel zeigt den Unterschied zur Arithmetik: Beim einschließenden ODER ist 1 ∨ 1 = 1, denn die Aussage „A oder B“ ist auch dann wahr, wenn beide Teilaussagen stimmen. Das ausschließende ODER (⊕) entspricht dagegen der Addition ohne Übertrag.

Rechenregeln der Booleschen Algebra

Auffällig ist die Symmetrie: Vertauscht man überall ∧ mit ∨ und 0 mit 1, geht jedes Gesetz wieder in ein gültiges über. Das zweite Distributivgesetz hat in der gewöhnlichen Arithmetik kein Gegenstück. Die De Morganschen Gesetze tragen den Namen von Booles Briefpartner De Morgan, der sie 1847 formulierte. Dieselben Regeln gelten für Mengen, wenn man ∧ als Schnittmenge, ∨ als Vereinigung und ¬ als Komplement liest. Hier liegt die Verbindung zur Mengenlehre, die John Venn 1880 mit seinen Diagrammen anschaulich machte.

Von Boole zu Shannon: Logik wird zur Schaltung

Wegbereiter im 19. Jahrhundert

Schon bald nach Booles Tod tauchte der Gedanke auf, logische Schlüsse von Maschinen ausführen zu lassen. Jevons baute 1869 ein mechanisches „Logikpiano“, das Schlussfolgerungen nach den Regeln der Booleschen Algebra ermittelte. Peirce wies 1886 in einem Brief an seinen früheren Studenten Allan Marquand darauf hin, dass sich logische Verknüpfungen mit elektrischen Schaltkreisen nachbilden ließen. Zugleich ging die Logik über Boole hinaus: Gottlob Frege schuf 1879 mit seiner Begriffsschrift die Prädikatenlogik, die auch Aussagen mit „für alle“ und „es gibt“ erfasst.

Claude Shannons Masterarbeit (1937)

Den entscheidenden Schritt tat Claude Shannon (1916–2001). Er hatte Booles Logik an der University of Michigan in einem Philosophiekurs kennengelernt. Am Massachusetts Institute of Technology arbeitete er an einem großen Analogrechner, dessen Steuerung elektromechanische Relais enthielt. In seiner Masterarbeit A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits von 1937, ein Jahr später als Aufsatz veröffentlicht, zeigte er: Jede Schaltung aus Schaltern und Relais lässt sich als Boolescher Ausdruck schreiben, und umgekehrt lässt sich jeder Ausdruck als Schaltung bauen.

Mit dieser Übersetzung konnte man umständliche Schaltungen am Schreibtisch vereinfachen, indem man den zugehörigen Ausdruck mit den Regeln der Booleschen Algebra umformte. Shannon entwarf in der Arbeit unter anderem eine Schaltung, die Binärzahlen addiert. Er selbst verwendete übrigens die umgekehrte Zuordnung: Bei ihm stand 0 für einen geschlossenen und 1 für einen offenen Kontakt, sodass die Reihenschaltung einer Summe entsprach. Die heute übliche Konvention „1 = leitend“ ist die duale Lesart derselben Algebra. Unabhängig von Shannon gelangten der Japaner Akira Nakashima (1935/36) und der Sowjetrusse Wiktor Schestakow (1938) zu ähnlichen Ergebnissen.

Logikgatter und Halbaddierer

An die Stelle der Relais traten später Elektronenröhren und schließlich Transistoren. Die Bausteine heißen heute Logikgatter: UND-, ODER- und NICHT-Gatter sowie das NAND-Gatter (NICHT-UND), aus dem sich allein alle anderen Verknüpfungen zusammensetzen lassen. Dass eine einzige Verknüpfung genügt, hatte Peirce um 1880 in unveröffentlichten Notizen bemerkt; Henry Sheffer veröffentlichte es 1913. Wie Gatter rechnen, zeigt der Halbaddierer, der zwei Binärziffern addiert:

Die letzte Zeile ist die binäre Rechnung 1 + 1 = 10: Summenstelle 0, Übertrag 1. Verkettet man solche Bausteine, entsteht ein Rechenwerk für beliebig lange Binärzahlen. Das zugrunde liegende Dualsystem hatte Leibniz schon 1703 beschrieben. Auf dieser Grundlage arbeiteten die frühen elektronischen Rechner, deren Aufbau John von Neumann 1945 beschrieb, und die Theorie der Berechenbarkeit, die Alan Turing 1936 entwickelt hatte, fand in ihnen ihre technische Umsetzung.

Weitere Arbeiten: Differentialgleichungen und Differenzenrechnung

Zu Lebzeiten war Boole vor allem als Analytiker bekannt. Seine Methode, den Ableitungsoperator D = d/dx wie eine algebraische Größe zu behandeln, erlaubte es, viele lineare Differentialgleichungen durch „Rechnen mit Operatoren“ zu lösen. Seine Lehrbücher A Treatise on Differential Equations (1859) und A Treatise on the Calculus of Finite Differences (1860) fassten diese Techniken zusammen. Die Differenzenrechnung beschäftigt sich mit Folgen statt mit stetigen Funktionen und war für die Berechnung von Tabellen wichtig. Dasselbe Prinzip nutzte Charles Babbage für seine Differenzmaschine.

Zeitleiste: George Booles Leben

1. 1815 Geburt am 2. November in Lincoln als Sohn eines Schuhmachers
2. 1831 Hilfslehrer in Doncaster, um die Familie zu unterstützen
3. 1834 Gründung einer eigenen Schule in Lincoln
4. 1844 Royal Medal der Royal Society für On a General Method in Analysis
5. 1847 The Mathematical Analysis of Logic, der erste algebraische Logikkalkül
6. 1849 Erster Professor für Mathematik am Queen’s College in Cork
7. 1854 An Investigation of the Laws of Thought
8. 1855 Heirat mit Mary Everest
9. 1857 Aufnahme in die Royal Society
10. 1864 Tod am 8. Dezember in Ballintemple bei Cork

Bedeutung heute: Boolesche Logik im Alltag

• Computerchips: Moderne Prozessoren enthalten Milliarden von Transistoren, die zu Logikgattern verschaltet sind. Jede Addition, jeder Vergleich und jede Speicheradresse wird letztlich durch Boolesche Verknüpfungen berechnet.
• Programmieren: Fast jede Programmiersprache kennt einen Datentyp für Wahrheitswerte, der nach Boole benannt ist (boolean oder bool). Bedingungen in Programmen werden mit UND, ODER und NICHT verknüpft.
• Suchen: Bibliothekskataloge, Datenbanken und Suchmaschinen erlauben Abfragen mit den Operatoren AND, OR und NOT, oft ausdrücklich „Boolesche Suche“ genannt.
• Informatik und Mathematik: Das Erfüllbarkeitsproblem (gibt es eine Belegung mit 0 und 1, die einen Booleschen Ausdruck wahr macht?) steht im Zentrum der Komplexitätstheorie. Spezialisierte Programme lösen es heute für Ausdrücke mit Millionen Variablen, etwa beim Überprüfen von Chipentwürfen.
• Erinnerung: Ein Mondkrater trägt Booles Namen, die Bibliothek des University College Cork heißt Boole Library, und 2015 wurde sein 200. Geburtstag international gefeiert.

Boole selbst dachte nicht an Maschinen; er wollte die Gesetze des Denkens verstehen. Dass seine Algebra ein Jahrhundert später zur Sprache der Elektronik wurde, ist eines der deutlichsten Beispiele in der Geschichte der Mathematik des 19. Jahrhunderts dafür, wie abstrakte Theorie unerwartet praktisch werden kann.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Desmond MacHale: The Life and Work of George Boole. A Prelude to the Digital Age, Cork University Press, Cork 2014.
• Paul J. Nahin: The Logician and the Engineer. How George Boole and Claude Shannon Created the Information Age, Princeton University Press, Princeton 2012.
• George Boole: An Investigation of the Laws of Thought, Walton and Maberly, London 1854; digitale Ausgabe bei Project Gutenberg (englisch)
• Claude E. Shannon: A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits, Masterarbeit, MIT 1937; Volltext bei DSpace@MIT (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: George Boole (englisch)