Mathematik lernen · Klasse 9–10
Zylinder
Dose, Rohr, Litfaßsäule: Du lernst, wie ein Zylinder aufgebaut ist, wie du Netz, Mantel, Volumen und Oberfläche berechnest, was ein Hohlzylinder ist und wie du aus dem Volumen den Radius findest.
Ein Zylinder ist ein Körper mit zwei gleich großen, parallelen Kreisen als Boden und Deckel, die durch eine gekrümmte Fläche verbunden sind. Eine Getränkedose, ein Rohr, eine Konservendose und eine Litfaßsäule sind Zylinder. Meist meint man den geraden Zylinder, bei dem die Höhe senkrecht auf dem Boden steht. Steht der Körper schief, heißt er schiefer Zylinder.
Diese Seite gehört zur Körperserie nach Würfel und Quader und Prisma. Ein Zylinder verhält sich wie ein Prisma, dessen Grundfläche ein Kreis ist. Deshalb gelten dieselben Ideen: Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, die Oberfläche setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantel zusammen. Neu ist nur die Kreiszahl π. Wie du Umfang und Fläche eines Kreises berechnest, steht auf der Seite Kreis.
Aufbau eines Zylinders
Der Grundkreis G ist ein Kreis mit dem Radius r. Gegenüber liegt der Deckkreis, der genauso groß ist und parallel zum Grundkreis liegt. Die gekrümmte Fläche dazwischen heißt Mantel M. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand von Grund- und Deckkreis. Die Gerade durch beide Kreismittelpunkte heißt Achse.
Anders als beim Prisma hat der Zylinder keine Ecken. Die beiden Kreislinien zwischen Mantel und Kreisen sind seine einzigen Kanten. Bestimmt wird er durch Radius und Höhe. Oft ist der Durchmesser d gegeben. Dann rechnest du mit .
Netz und Mantel
Schneidest du den Mantel einer Dose entlang einer senkrechten Linie auf und klappst ihn flach, entsteht ein Rechteck. Seine Höhe ist die Höhe h des Zylinders. Seine Breite ist so lang wie der Rand des Grundkreises, also der Umfang . Das Netz besteht aus diesem Rechteck und zwei Kreisen.
Das Volumen
Wie beim Prisma gilt: Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe (Volumen eines Prismas). Die Grundfläche ist hier ein Kreis mit der Fläche . Stell dir einen Stapel dünner Kreisscheiben vor: Jede Scheibe hat die Fläche , und die Höhe bestimmt, wie viele Scheiben du brauchst. Das gilt auch für einen schiefen Zylinder, solange du die senkrechte Höhe nimmst (Prinzip von Cavalieri).
Rechne möglichst lange mit π als Zeichen oder mit der π-Taste deines Taschenrechners und runde erst am Ende. Wer früh mit 3,14 rechnet, bekommt kleine Abweichungen.
Die Oberfläche
Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen: Grundkreis, Deckkreis und Mantel. Die beiden Kreise sind gleich groß, deshalb zählt die Kreisfläche doppelt.
Der Hohlzylinder (Rohr)
Ein Hohlzylinder ist ein Zylinder mit einem zylinderförmigen Loch in der Mitte, zum Beispiel ein Rohr oder ein Betonring. Er hat einen Außenradius R und einen Innenradius r. Die Grundfläche ist ein Kreisring, also eine große Kreisfläche minus eine kleine (mehr zum Kreisring).
Rückwärts rechnen
Oft ist das Volumen bekannt und eine Länge gesucht. Dann stellst du die Formel um, wie du es bei einer Gleichung machst. Die Höhe bekommst du aus . Den Radius bekommst du mit der Wurzel.
Anwendungen
Zylinder begegnen dir ständig. Bei einer Litfaßsäule brauchst du nur den Mantel, denn dort werden die Plakate geklebt. Bei einer Dose willst du bei gegebenem Inhalt möglichst wenig Blech verbrauchen. Es zeigt sich, dass die Dose mit der kleinsten Oberfläche genauso hoch wie breit ist, also (Dose mit minimaler Oberfläche).
Zum Nachrechnen eignet sich der Volumenrechner, der auch den Zylinder kennt.
Typische Fehler
Übungen
Mehr Aufgaben mit Lösungen findest du im Arbeitsblatt Volumen und Oberfläche üben.
Geschichte: von Euklid bis Cavalieri
Euklid definiert den Zylinder im 11. Buch seiner Elemente (Definition 21) als Körper, der entsteht, wenn sich ein Rechteck um eine feste Seite dreht. Im 12. Buch zeigt er in Satz 10, dass ein Kegel ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ausmacht. Der strenge Beweis solcher Volumensätze geht auf Eudoxos zurück.
Besonders stolz war Archimedes auf sein Werk Über Kugel und Zylinder. Darin zeigt er: Eine Kugel, die in einen Zylinder mit Radius r und Höhe 2r genau hineinpasst, hat zwei Drittel des Volumens und zwei Drittel der Oberfläche dieses Zylinders. Der Mantel des Zylinders ist und damit genauso groß wie die Kugeloberfläche. Er wünschte sich diese Figur auf seinem Grabstein (Das Grab des Archimedes).
Im 17. Jahrhundert fasste Bonaventura Cavalieri Körper als Stapel dünner Schichten auf. Mit diesem Gedanken lässt sich das Zylindervolumen auch für schiefe Zylinder begründen.
Häufige Fragen
Ist eine Getränkedose wirklich ein Zylinder?
Fast. Echte Dosen haben einen gewölbten Boden und einen schmaleren Hals. Für Rechnungen nähert man sie als Zylinder an. Das Ergebnis weicht dann ein wenig vom tatsächlichen Inhalt ab.
Wie hängen Zylinder und Kegel zusammen?
Ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe wie ein Zylinder hat genau ein Drittel von dessen Volumen. Das wusste schon Euklid. Die Kegelformel folgt daraus.
Wie rechne ich Kubikzentimeter in Liter um?
1 Liter ist 1 dm³ und damit 1.000 cm³. Teile ein Volumen in cm³ also durch 1.000, um Liter zu erhalten. 452.389 cm³ sind zum Beispiel etwa 452,4 Liter.
Quellen und weiterführende Literatur
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