Strahlensätze

Die Strahlensätze beantworten eine Frage, die beim Vermessen ständig auftaucht: Wie berechnet man eine Strecke, die man nicht direkt messen kann? Sie handeln von einer besonderen Figur. Zwei Strahlen gehen von einem gemeinsamen Punkt aus, und zwei parallele Geraden schneiden beide Strahlen. Dann stehen die entstehenden Strecken in festen Verhältnissen zueinander. Mit diesen Verhältnissen rechnest du unbekannte Längen aus.

Die Strahlensätze gehören zur Geometrie und beruhen auf der Ähnlichkeit von Figuren, die der Abschnitt Kongruenz und Ähnlichkeit erklärt. Hier lernst du die Figur, die beiden Sätze, die Umkehrung, einen Lösungsweg Schritt für Schritt, zwei Anwendungen aus dem Alltag, Übungen und die Geschichte dazu.

Die Strahlensatzfigur

Die Figur besteht aus zwei Strahlen, die im Punkt Z (dem Zentrum) beginnen, und zwei parallelen Geraden g und h. Die erste Gerade g schneidet die Strahlen in A und B, die zweite Gerade h in A′ und B′ (gesprochen „A Strich“). Beachte, dass A und A′ auf demselben Strahl liegen.

Es gibt noch eine zweite Form, die X-Figur. Hier liegt Z zwischen den Parallelen. Die Strahlen sind dann die Verlängerungen der Geraden über Z hinaus. Beide Formen haben dieselben Verhältnisse.

Der erste Strahlensatz

Der erste Satz vergleicht Strecken auf den Strahlen miteinander. Wenn die Strecke ZA′ dreimal so lang ist wie ZA, dann ist auch ZB′ dreimal so lang wie ZB. Die Parallelen strecken die Figur gleichmäßig.

In der V-Figur ist ZA′ die ganze Strecke von Z bis zur zweiten Parallelen und AA′ ein Teilstück davon (ZA′ = ZA + AA′).

Der zweite Strahlensatz

Der zweite Satz vergleicht die Abschnitte auf den Parallelen mit den Strecken von Z aus. Wird die Entfernung von Z auf das Zweieinhalbfache größer, wird auch die Strecke zwischen den Strahlen auf das Zweieinhalbfache größer.

Schritt für Schritt zur Lösung

Jede Strahlensatzaufgabe löst du nach demselben Muster. Die Gleichung am Ende ist eine Verhältnisgleichung, die du wie auf der Seite Gleichungen lösen nach x umstellst.

1. Skizze zeichnen: Markiere Z, die zwei Strahlen und die Parallelen. Trage die gegebenen Längen ein.
2. Gesuchte Strecke benennen: Nenne sie x.
3. Satz wählen: Kommen nur Strecken auf den Strahlen vor, nimmst du den ersten Satz. Ist ein Abschnitt auf einer Parallelen dabei, den zweiten.
4. Verhältnisse aufschreiben: Beginne links wie rechts mit Z und halte die Reihenfolge ein.
5. Nach x auflösen: Multipliziere kreuzweise und teile.
6. Prüfen: Passt das Ergebnis zur Skizze? Ist die entfernte Strecke länger als die nahe? Schreibe die Einheit dazu.

Das Rechnen mit Verhältnissen ist eng mit der Proportionalität verwandt: Gleiche Verhältnisse bedeuten, dass die Strecken proportional zueinander sind.

Die Umkehrung

Man kann den ersten Satz auch umdrehen: Sind ZA : ZA′ und ZB : ZB′ gleich, dann sind AB und A′B′ parallel. So prüfst du, ob zwei Geraden parallel sind, ohne sie zu verlängern.

Aufgabe: Es ist ZA = 6, ZA′ = 15, ZB = 4 und ZB′ = 10. Es gilt 6 : 15 = 0,4 und 4 : 10 = 0,4. Die Verhältnisse sind gleich, also ist AB parallel zu A′B′. Bei ZB = 5 wäre 5 : 10 = 0,5, und die Geraden wären nicht parallel.

Die Umkehrung gilt nur für den ersten Strahlensatz. Beim zweiten Satz reichen gleiche Verhältnisse nicht für die Parallelität: Wenn ZA : ZA′ = AB : A′B′ gilt, ist über die Lage der Strecke A′B′ noch nichts gesagt. Der Punkt B′ könnte überall auf einem Kreis um A′ mit dem Radius A′B′ liegen, und nur ein Punkt dieses Kreises führt zu parallelen Geraden.

Anwendungen: Messen ohne Maßband

Der Daumensprung: Entfernungen schätzen

Strecke den Arm aus, Daumen nach oben, ein Auge zukneifen: Wechselst du das Auge, springt der Daumen scheinbar zur Seite. Hier ist das Zentrum Z der Daumen. Die Strahlen gehen durch deine beiden Augen und weiter bis zum fernen Hintergrund. Der Abstand der Augen (AB) beträgt etwa 6,5 cm, die Entfernung Auge–Daumen (ZA) etwa 65 cm. Das sind Richtwerte, die bei jedem Menschen etwas anders sind. Im Hintergrund springt der Daumen um die Strecke A′B′, die du schätzt.

Die Höhe eines Baums peilen

Du hältst ein Lineal senkrecht in Armlänge vor dich. Du verschiebst es, bis es von der Wurzel bis zur Spitze des Baums reicht. Dann ist das Auge das Zentrum Z, und Lineal und Baum sind die beiden Parallelen.

Übungen

Geschichte: von der Pyramide zu Euklid

Dass ähnliche Figuren feste Verhältnisse haben, wussten Baumeister und Landvermesser sehr früh. In der griechischen Mathematik wurde daraus eine bewiesene Aussage. Euklid hat in Buch VI seiner Elemente (um 300 v. Chr.) in Satz 2 festgehalten, dass eine Parallele zu einer Dreiecksseite die beiden anderen Seiten im gleichen Verhältnis teilt, und auch die Umkehrung.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Strahlensatz
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book VI, Proposition 2 (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Thales of Miletus (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.