Wissenschaftliche Notation

Die wissenschaftliche Notation ist eine Schreibweise für sehr große und sehr kleine Zahlen. Du schreibst die Zahl als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz. Die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt rund 150.000.000 km. In wissenschaftlicher Notation sind das 1,5 · 10⁸ km. Ein Wasserstoffatom hat einen Durchmesser von etwa 0,0000000001 m, geschrieben 1 · 10⁻¹⁰ m.

Astronomie, Biologie, Chemie und Physik arbeiten ständig mit solchen Zahlen. Mit der Notation sparst du dir das Nullenzählen, siehst auf einen Blick die Größenordnung und rechnest mit den Potenzgesetzen viel bequemer. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Zahlen in wissenschaftlicher Notation

Der erste Faktor heißt Koeffizient (manchmal Mantisse). Er liegt immer ab 1 und unter 10. Die Zehnerpotenz mit dem Exponenten n verschiebt das Komma. Brauchst du eine Auffrischung zu Zehnerpotenzen, hilft dir der Abschnitt über negative Exponenten. Den Exponenten einer Zehnerpotenz liefert auch der dekadische Logarithmus.

Die folgende Tabelle zeigt typische Werte aus Astronomie und Biologie. Rechts siehst du, wie viel Platz die Notation spart.

Für die Zehnerpotenzen gibt es auch Namen und Vorsilben. Im Deutschen ist eine Billion 10¹². Im amerikanischen Englisch bedeutet billion dagegen 10⁹, also eine Milliarde. Das Wort „Billion“ ist deshalb eine Quelle für Missverständnisse.

In wissenschaftliche Notation umwandeln

Beim Umwandeln verschiebst du das Komma, bis genau eine Ziffer ungleich null vor dem Komma steht (zum Verschieben siehe auch Dezimalzahlen multiplizieren). Dann zählst du die Schritte.

1. Verschiebe das Komma so, dass der Koeffizient zwischen 1 und 10 liegt.
2. Zähle, um wie viele Stellen du das Komma verschoben hast. Das ist der Betrag des Exponenten.
3. Hast du das Komma nach links verschoben (große Zahl), ist der Exponent positiv. Nach rechts (kleine Zahl) ist er negativ.

Multiplikation in wissenschaftlicher Notation

Du multiplizierst die Koeffizienten und addierst die Exponenten. Das ist das Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis. Liegt das Ergebnis nicht zwischen 1 und 10, normierst du danach.

Division in wissenschaftlicher Notation

Du dividierst die Koeffizienten und subtrahierst die Exponenten. Auch hier normierst du am Ende, falls nötig.

Addition und Subtraktion in wissenschaftlicher Notation

Hier gibt es einen wichtigen Unterschied. Du kannst nur Zahlen mit gleicher Zehnerpotenz addieren oder subtrahieren. Zuerst bringst du beide Zahlen auf denselben Exponenten, am besten auf den größeren. Dann rechnest du mit den Koeffizienten und lässt die Zehnerpotenz stehen. Am Ende normierst du wieder.

Taschenrechner und Computer: die E-Schreibweise

Dein Taschenrechner kann sehr große Zahlen nicht ausschreiben. Er zeigt stattdessen zum Beispiel 1,5E8. Das E steht für „Exponent“ und bedeutet „mal zehn hoch“. Gemeint ist also 1,5 · 10⁸ = 150.000.000. Eingeben kannst du solche Zahlen mit der Taste EXP oder EE (je nach Gerät auch ×10^x). Tabellenkalkulationen und Programmiersprachen verwenden dieselbe Schreibweise, manchmal mit kleinem e oder mit Plus- und Minuszeichen, etwa 1,5E+08.

Geschichte: Archimedes und die Sandrechnung

Eine berühmte frühe Schrift über sehr große Zahlen stammt von Archimedes. Der Mathematiker aus Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) verfasste die Sandrechnung für Gelon, den Sohn des Königs Hieron II. Archimedes wollte beweisen, dass sich selbst die Zahl aller Sandkörner angeben lässt, die in das Weltall passen würden. Viele seiner Zeitgenossen hielten diese Zahl für unendlich oder zumindest für unbenennbar.

Das Problem war die griechische Zahlschrift. Sie reichte nur bis zur Myriade (10.000) und zur „Myriade von Myriaden“ (10⁸). Archimedes baute deshalb ein System aus „Ordnungen“ und „Perioden“ auf, das nach heutiger Schreibweise bis 10 hoch 8 · 10¹⁶ reicht, einer Zahl mit 80 Billiarden Nullen. Dabei beschrieb er eine Regel, die unserem Potenzgesetz 10^m · 10ⁿ = 10^m+n entspricht: Multipliziert man zwei Glieder einer geometrischen Folge, addieren sich ihre Platznummern.

Dann schätzte Archimedes großzügig ab. Er nahm an, dass ein Mohnkorn höchstens 10.000 Sandkörner fasst, und wählte das riesige Weltall des Astronomen Aristarchos von Samos, in dem die Erde um die Sonne kreist. Sein Ergebnis: Das Weltall wäre mit weniger als 10⁶³ Sandkörnern gefüllt, also mit einer sehr großen, aber endlichen Zahl. In wissenschaftlicher Notation ist das eine einzige Zeile. Die hellenistische Mathematik zeigt hier, wie viel Ordnung eine gute Schreibweise in große Zahlen bringt.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath (Hrsg.): The Works of Archimedes, Cambridge University Press, Cambridge 1897 (Nachdruck Dover, New York 2002).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Archimedes of Syracuse (englisch)
• Wikipedia: Wissenschaftliche Notation