Nichtlineare Optimierung: Aufgaben mit Lösungen

Hier suchst du Minima von Funktionen mit mehreren Variablen. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Gradientenverfahren: x_k+1 = x_k − t·∇f(x_k). Bei f = p x² + q y² multipliziert jeder Schritt die x-Koordinate mit 1 − 2pt und die y-Koordinate mit 1 − 2qt.
• Optimale Schrittweite: t = 2/(λ_min + λ_max) mit den Eigenwerten der Hesse-Matrix. Der Fehler schrumpft dann um den Faktor (κ − 1)/(κ + 1) mit κ = λ_max/λ_min.
• Newton-Schritt: x₁ = x₀ − H⁻¹∇f(x₀). Bei quadratischen Funktionen ist x₁ das Minimum.
• KKT: ∇f + μ∇g = 0, μ ≥ 0, g ≤ 0, μ·g = 0. Ist die Bedingung aktiv, gilt g = 0.
• Konvexität: f ist konvex, wenn die Hesse-Matrix überall positiv semidefinit ist, bei 2 × 2 also Determinante ≥ 0 und Spur ≥ 0.

Alles steht auf der Seite Nichtlineare Optimierung bei der Konvexität, dem Gradientenverfahren, dem Newton-Verfahren und den KKT-Bedingungen.