Ibrahim ibn Sinan

Ibrahim ibn Sinan (908–946) war ein arabischer Mathematiker und Astronom, der in Bagdad lebte und mit 38 Jahren starb. Er war Enkel des berühmten Thabit ibn Qurra und Sohn des Gelehrten Sinan ibn Thabit. Sein wichtigstes Ergebnis ist ein neuer, kurzer Beweis für die Quadratur der Parabel: Er berechnete die Fläche zwischen einer Parabel und einer Geraden und kam dabei mit weniger Schritten aus als alle seine Vorgänger.

Ibrahim gehört zur ersten Blüte der Mathematik der islamischen Welt. Die Gelehrten dieser Zeit übersetzten die Werke der Griechen, vor allem von Archimedes und Apollonios, und entwickelten sie selbstständig weiter. Ibrahim ist dafür ein Paradebeispiel, auch weil er ausdrücklich über die Methode der Mathematik nachdachte.

Leben: eine Gelehrtenfamilie in Bagdad

Ibrahim stammt aus einer Familie, die ursprünglich aus Harran in Nordmesopotamien kam. Sie gehörte zu den Sabiern, einer Religionsgemeinschaft, die auch die Gestirne verehrte, und arbeitete am Hof der Abbasiden-Kalifen. Sein Großvater Thabit ibn Qurra (um 830–901) war einer der bedeutendsten Gelehrten seiner Zeit, sein Vater Sinan ibn Thabit (um 880–943) Arzt, Astronom und Mathematiker. Unter dem Kalifen al-Qahir (932–934) wurde die Familie vermutlich bedrängt, der Vater nahm den Islam an. Ob Ibrahim und seine Geschwister Sabier blieben, ist unsicher.

Wir wissen vieles über ihn aus seiner eigenen Autobiografie. Danach begann er mit 15 Jahren zu forschen und hatte mit 18 schon mehrere Abhandlungen geschrieben. Er starb 946, noch nicht 40 Jahre alt. Mathematikhistoriker vermuten, dass er ohne diesen frühen Tod einen noch wichtigeren Beitrag geleistet hätte als sein berühmter Großvater. Für Ibrahim war es ein Ansporn, dass ein anderer Gelehrter seinen Großvater überholt hatte:

„… dass al-Mahanis Untersuchung fortgeschrittener bleibt als die meines Großvaters, es sei denn, jemand aus unserer Familie übertrifft ihn.“

Die Fläche unter einer Parabel

Eine Parabel ist die Kurve, die ein geworfener Ball beschreibt. Schneidet man ein Stück davon mit einer geraden Linie ab, entsteht ein Parabelsegment, die Fläche zwischen Kurvenbogen und Gerade. Die Aufgabe heißt Quadratur: den Flächeninhalt bestimmen. Krummlinige Flächen sind schwer zu messen, weil man sie nicht aus Rechtecken zusammensetzen kann.

Archimedes fand das Ergebnis schon im 3. Jahrhundert v. Chr. Man legt in das Segment ein Dreieck, dessen Spitze die Stelle der Parabel ist, die am weitesten von der Geraden entfernt liegt. Das Segment hat dann genau 4/3 der Fläche dieses Dreiecks. Der Weg dorthin ist eine unendliche Summe: Das erste Dreieck wird durch zwei kleinere Dreiecke an den Seiten ergänzt, die zusammen ein Viertel seiner Fläche haben, dann durch vier noch kleinere, und so weiter.

Der Beweis des Archimedes nutzte die Ausschöpfungsmethode des Eudoxos und war aufwendig und indirekt: Man schloss beide Möglichkeiten „größer“ und „kleiner“ durch Widerspruch aus. Auch Thabit ibn Qurra brauchte für denselben Satz 20 Hilfssätze, und ein Gelehrter namens al-Mahani hatte ihn verkürzt. Ibrahim wollte das übertreffen. Er zeigte zuerst, dass sich Flächenverhältnisse nicht ändern, wenn man eine Figur in einer Richtung streckt oder staucht (heute: affine Abbildung). So lässt sich jede Parabel auf eine einfache Parabel zurückführen. Mit nur drei Sätzen und einem direkten Beweis, ohne Widerspruch, gelang ihm danach die Quadratur, und seine Integrationsmethode war allgemeiner als die des Archimedes. Die Methode, Flächen durch immer feinere Näherungen zu bestimmen, führt heute auf das Integral, das man in der Analysis lernt.

Sonnenuhren, Kegelschnitte und die Methode der Geometrie

Ibrahim schrieb auch über praktische Geometrie. Seine Abhandlung Über Schattengeräte entstand in seiner Jugend und enthält eine allgemeine Methode für Sonnenuhren, die in beliebiger Richtung stehen: Eine schräge Uhr behandelt er wie eine waagerechte Uhr für einen passend gewählten Ort der Erde. Sein Großvater hatte behauptet, einige Stundenlinien seien keine Geraden. Ibrahim bewies das, doch nur ein Teil dieses Beweises ist erhalten. Eine andere Schrift zeigt, wie man Ellipse, Parabel und Hyperbel Punkt für Punkt zeichnet. Dabei nennt er das Produkt zweier Strecken mit einem Wort aus der Zahlenlehre, was den veränderten Blick der arabischen Mathematik zeigt.

Besonders wichtig ist seine Abhandlung Über die Methode der Analyse und Synthese. Beim Beweis geometrischer Aufgaben geht man oft rückwärts: Man nimmt an, die Figur sei gefunden (Analyse), und folgert, welche Bedingungen gelten müssen. Danach kehrt man den Weg um und beweist die Konstruktion (Synthese). Ibrahim kritisiert, dass seine Zeitgenossen sich oft auf die Analyse beschränkten und den zweiten Teil überspringen. Er schrieb außerdem über die Bewegung der Sonne und kritisierte dabei die Beobachtungen, auf denen die Sonnentheorie des Ptolemäus beruht.

Zeitleiste

1. um 830 Geburt von Thabit ibn Qurra, dem Großvater.
2. 908 Geburt Ibrahims in Bagdad.
3. um 923 Beginn seiner Forschungen mit 15 Jahren, nach eigener Angabe.
4. 932–934 Unter Kalif al-Qahir wird die Gelehrtenfamilie vermutlich bedrängt.
5. 943 Tod seines Vaters Sinan ibn Thabit.
6. 946 Tod Ibrahims im Alter von 38 Jahren.
7. um 1000 Ibn al-Haitham führt die Untersuchung von Flächen und Rauminhalten fort.
8. 2000 Roshdi Rashed und Hélène Bellosta veröffentlichen eine Gesamtdarstellung seines Werks.

Was von Ibrahim ibn Sinan bleibt

Ibrahim zeigt, dass die Mathematiker des Islams die griechischen Ideen nicht nur bewahrten, sondern selbstständig verbesserten. Seine Quadratur der Parabel gilt als wichtiger Schritt auf dem Weg zur Integralrechnung, auch wenn die Begriffe noch andere waren. Die Forschung zu ihm ist jung: Erst seit den 1980er-Jahren wurden seine Schriften in modernen Ausgaben zugänglich gemacht.

Quellen und weiterführende Literatur

• Roshdi Rashed, Hélène Bellosta: Ibrāhīm Ibn Sinān. Logique et géométrie au Xe siècle, Brill, Leiden 2000.
• Roshdi Rashed: Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, Band 1: Fondateurs et commentateurs, Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, London 1996.
• Alexandre M. Roberts: Being a Sabian at Court in Tenth-Century Baghdad, in: Journal of the American Oriental Society 137 (2017), S. 253–277.
• MacTutor History of Mathematics: Ibrahim ibn Sinan (englisch)
• Wikipedia: Ibrāhīm Ibn Sinān