Das Ziegenproblem: warum Wechseln besser ist

Drei Türen, hinter einer steht ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Ein Kandidat wählt eine Tür, der Moderator öffnet eine andere und zeigt eine Ziege. Dann bietet er an, die Wahl zu ändern. Die Antwort der Mathematik lautet: Wechseln. Wer wechselt, gewinnt das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3, wer bleibt, nur mit 1/3. Das widerspricht dem Gefühl so stark, dass das Ziegenproblem zu den berühmtesten Denkfallen der Mathematik gehört.

Warum das Wechseln besser ist, rechnet die Lernseite Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einer Fall-Tabelle und dem Beispiel mit 100 Türen vor. Dieser Beitrag erzählt dagegen die Geschichte des Rätsels, von den Briefen an eine Fachzeitschrift bis zum Streit um die richtige Antwort.

Das Rätsel und seine Regeln

Das Rätsel geht auf die amerikanische Spielshow Let’s Make a Deal zurück, die der Moderator Monty Hall leitete. In den USA heißt es deshalb Monty-Hall-Problem. In Deutschland lief eine ähnliche Show unter dem Titel Geh aufs Ganze!, daher der Name „Ziegenproblem“.

Wichtig sind drei Regeln, die in vielen Erzählungen untergehen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür das Auto steht. Er öffnet immer eine Tür, die der Kandidat nicht gewählt hat, und zwar immer eine mit einer Ziege. Und er bietet immer den Wechsel an. Nur unter diesen Annahmen gilt die Antwort 2/3.

Selvin 1975: der erste Auftritt

Das Problem tauchte in der Fachwelt früher auf, als viele denken. Im Februar 1975 schrieb der Statistiker Steve Selvin einen Leserbrief an die Zeitschrift The American Statistician mit dem Titel „A Problem in Probability“. Er stellte die Aufgabe auf Grundlage der Show und löste sie mit Mathematik. In einem späteren Brief erscheint nach Angaben der englischen Wikipedia erstmals der Name „Monty Hall problem“. Monty Hall antwortete Selvin sinngemäß, in seiner Show gelte keine Wechselregel nach der Wahl. Das deutet darauf hin, dass die Show selbst nicht nach den Regeln des Rätsels ablief.

Marilyn vos Savant und die Flut der Briefe

Berühmt wurde das Rätsel im September 1990. Die Kolumnistin Marilyn vos Savant beantwortete in der Zeitschrift Parade in ihrer Rubrik „Ask Marilyn“ die Leserfrage nach den drei Türen: Man solle wechseln. Die Reaktion war heftig. Nach ihrer eigenen Schätzung, die auch die englische Wikipedia nennt, gingen rund 10.000 Briefe ein, darunter fast 1.000 von Menschen mit Doktortitel. Viele bezweifelten ihre Antwort, einige schrieben sinngemäß, sie solle sich bei ihren Lesern entschuldigen.

Der Einwand lautete fast immer gleich: „Nach dem Öffnen bleiben zwei Türen, also steht es 50 : 50.“ Das klingt vernünftig, ist aber falsch. Die beiden Türen sind nicht gleich wahrscheinlich, denn die gewählte Tür hatte schon vorher nur die Chance 1/3. Der Moderator hat daran nichts geändert, er hat bei der Auswahl der anderen Tür aber verraten, was dort steht.

Paul Erdős und die Computersimulation

Die bekannteste Anekdote handelt vom Mathematiker Paul Erdős, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Nach dem Bericht seines Kollegen Andrew Vázsonyi, den Paul Hoffman in der Erdős-Biografie The Man Who Loved Only Numbers wiedergibt, wollte Erdős die Lösung nicht akzeptieren. Er soll erst nachgegeben haben, als Vázsonyi ihm eine Computersimulation zeigte, die viele Durchgänge des Spiels durchspielte. Nach manchen Schilderungen blieb er trotzdem unzufrieden, weil er zwar das Ergebnis sah, aber nicht den Grund.

Die Anekdote ist ein Bericht aus zweiter Hand, die Einzelheiten sind nicht unabhängig überprüft. Sie zeigt trotzdem, wie hartnäckig das Gefühl für 50 : 50 ist. Wer sich nicht von Argumenten überzeugen lässt, lässt sich meist von Zahlen überzeugen: Eine Simulation führt Tausende Spiele aus, und das Ergebnis liegt immer nahe bei 2/3.

Warum der Bauch irrt

Das Ziegenproblem ist ein Lehrbuchbeispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit: Wie ändert sich eine Wahrscheinlichkeit, wenn man neue Information bekommt? Die Grundlagen stehen auf der Seite Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Information ist hier der Zug des Moderators. Er wählt nicht zufällig, er darf nie das Auto aufdecken. Wer das übersieht, behandelt die Situation wie einen frischen Münzwurf zwischen zwei Türen.

Ein Vorläufer ist das Schachtelparadoxon, das der französische Mathematiker Joseph Bertrand 1889 in seinem Buch Calcul des probabilités beschrieb. Es gibt drei Schachteln: mit zwei Goldmünzen, mit zwei Silbermünzen und mit einer Gold- und einer Silbermünze. Zieht man blind eine Münze und sie ist Gold, scheint die Wahrscheinlichkeit für Gold in der anderen Münze 1/2 zu sein. Tatsächlich beträgt sie 2/3. Dieselbe Struktur, derselbe Denkfehler, nur ohne Ziegen.

Entscheidend sind die Annahmen

Die Lösung 2/3 hängt von den Regeln ab. Ändern sich die Regeln, ändert sich das Ergebnis:

• Ahnungsloser Moderator: Er weiß nicht, wo das Auto steht, öffnet eine der beiden anderen Türen zufällig und hat dabei Glück: Es steht eine Ziege dahinter. Dann ist Wechseln nicht besser als Bleiben, die Chance liegt bei 1/2. Weil er auch das Auto hätte aufdecken können, verrät sein Zug weniger.
• Moderator bietet nur manchmal an: Bietet er den Wechsel nur an, wenn der Kandidat das Auto gewählt hat, lohnt sich das Wechseln nie. Der Angebotszeitpunkt verrät dann etwas.
• Mehr Türen: Bei 10 Türen, von denen der Moderator 8 Ziegentüren öffnet, gewinnt der Wechsler mit 9/10.

Die Lehre für den Alltag: Eine Wahrscheinlichkeit lässt sich nur beurteilen, wenn man weiß, wie die Information entstanden ist. Das gilt für Nachrichten, Statistiken und medizinische Tests, wie auch die Seite Statistik zeigt.

Ein Rätsel in der Tradition des Zufalls

Dass Zufall sich berechnen lässt, wurde im 17. Jahrhundert klar. Im Briefwechsel von 1654 zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat über ein abgebrochenes Würfelspiel entstanden die Grundregeln. Pierre-Simon Laplace fasste die Theorie später zusammen und definierte die Wahrscheinlichkeit als Verhältnis der günstigen zu den möglichen Fällen. Die Epoche beschreibt die Mathematik des 17. Jahrhunderts. Das Ziegenproblem zeigt, dass diese Regeln auch heute noch Überraschungen bereithalten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Ziegenproblem
• Wikipedia: Monty Hall problem (englisch)
• Steve Selvin: A Problem in Probability (Leserbrief), The American Statistician, Februar 1975 (englisch).
• Paul Hoffman: The Man Who Loved Only Numbers. The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth, Hyperion, New York 1998 (englisch).