Lineare Abbildungen, Kern und Bild

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit Addition und Vielfachen verträgt: Erst addieren und dann abbilden ist dasselbe wie erst abbilden und dann addieren. Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Projektionen im Raum sind lineare Abbildungen, ebenso das Ableiten von Polynomen. Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen lässt sich durch eine Matrix beschreiben, und umgekehrt definiert jede Matrix eine lineare Abbildung. Dadurch werden Fragen über Gleichungssysteme zu Fragen über Abbildungen.

Hier erfährst du die Definition, die beiden wichtigen Unterräume Kern und Bild, die Dimensionsformel (Rangsatz), die Matrixdarstellung bezüglich beliebiger Basen, den Basiswechsel und die Struktur der Lösungsmenge von $Ax=b$. Die Grundlagen zu Vektorräumen stehen auf der Seite Vektorräume, Basis und Dimension, das Lösen mit dem Gauß-Verfahren dort. Zum Üben gibt es einen Aufgabengenerator.

Definition und erste Eigenschaften

Aus der Definition folgt $f(0)=0$ und $f({\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_k{v}_k)$ $={\lambda }_{1}f(v_1)+\dots +{\lambda }_{k}f(v_k)$. Bilder von Linearkombinationen sind Linearkombinationen der Bilder. Eine lineare Abbildung ist daher schon durch die Bilder einer Basis festgelegt, und diese Bilder dürfen frei gewählt werden: Zu jeder Basis $(b_1,\dots ,b_n)$ von $V$ und beliebigen $w_1,\dots ,w_n\in W$ gibt es genau eine lineare Abbildung mit $f(b_i)=w_i$.

Die Verkettung zweier linearer Abbildungen ist linear. Bijektive lineare Abbildungen heißen Isomorphismen. Sie zeigen, dass zwei Vektorräume „gleich“ sind: Jeder $n$-dimensionale Vektorraum über $K$ ist isomorph zu $K^n$, die Basiswahl liefert den Isomorphismus (die Koordinatenabbildung).

Kern und Bild

Der Kern $\ker f=\{v\in V\mid f(v)=0\}$ sammelt alle Vektoren, die verschwinden. Das Bild $\mathrm{im}f=\{f(v)\mid v\in V\}$ sammelt alle Werte, die angenommen werden. Beides sind Unterräume, der Kern von $V$, das Bild von $W$. (Sind $f(u)=f(v)=0$, so ist $f(u+v)=0$ und $f(\lambda u)=0$; ähnlich beim Bild.)

Beweis der ersten Aussage. Ist $f$ injektiv und $f(v)=0=f(0)$, dann folgt $v=0$. Umgekehrt sei $\ker f=\left\{0\right\}$ und $f(u)=f(v)$. Dann ist $f(u-v)=f(u)-f(v)=0$, also $u-v\in \ker f$, daher $u=v$. Der Test auf Injektivität reduziert sich also auf die Gleichung $f(v)=0$, ein großer Vorteil gegenüber beliebigen Abbildungen (siehe injektiv, surjektiv, bijektiv).

Das Bild einer Matrix ist immer der Spaltenraum, also das Erzeugnis der Spalten. Seine Dimension heißt Rang von $A$.

Die Dimensionsformel

Beweis. Sei $(a_1,\dots ,a_k)$ eine Basis von $\ker f$. Ergänze sie zu einer Basis $(a_1,\dots ,a_k,b_1,\dots ,b_r)$ von $V$ (Basisergänzungssatz). Behauptung: $(f(b_1),\dots ,f(b_r))$ ist eine Basis von $\mathrm{im}f$. Sie erzeugt das Bild, denn jedes $v=\sum {\alpha }_i{a}_i+\sum {\beta }_j{b}_j$ hat das Bild $f(v)=\sum {\beta }_{j}f(b_j)$, weil $f(a_i)=0$ ist. Sie ist linear unabhängig: Aus $\sum {\beta }_{j}f(b_j)=0$ folgt $f(\sum {\beta }_j{b}_j)=0$, also $\sum {\beta }_j{b}_j\in \ker f$, also $\sum {\beta }_j{b}_j=\sum {\gamma }_i{a}_i$. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis von $V$ sind alle ${\beta }_j$ und ${\gamma }_i$ gleich 0. Es folgt $\dim V=k+r$.

Im Beispiel oben: $\dim V=3=1+2$. Für Abbildungen zwischen Räumen gleicher Dimension $n$ folgt ein sehr nützliches Kriterium: injektiv, surjektiv und bijektiv sind gleichwertig. Ist nämlich $\ker f=\left\{0\right\}$, dann ist $\dim \mathrm{im}f=n$, also $\mathrm{im}f=W$. Bei quadratischen Matrizen heißt das: $Ax=0$ hat nur die Lösung 0 genau dann, wenn $Ax=b$ für jedes $b$ lösbar ist, genau dann, wenn $A$ invertierbar ist. Außerdem gilt $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{A}^T$ (Zeilenrang gleich Spaltenrang).

Die Matrix einer linearen Abbildung

Seien $B=(b_1,\dots ,b_n)$ eine Basis von $V$ und $C=(c_1,\dots ,c_m)$ eine Basis von $W$. Jedes Bild $f(b_j)$ lässt sich in der Basis $C$ entwickeln: $f(b_j)=a_{1j}{c}_1+\dots +a_{mj}{c}_m$. Die Zahlen $a_{ij}$ ergeben die Darstellungsmatrix $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$. In der $j$-ten Spalte stehen also die Koordinaten des Bildes des $j$-ten Basisvektors. Für Koordinatenvektoren gilt dann $[f(v){]}_C=A[v{]}_B$.

Die Verkettung linearer Abbildungen entspricht dem Matrixprodukt: Sind $A$ und $B$ die Matrizen von $f$ und $g$, so ist $BA$ die Matrix von $g\circ f$. Die Umkehrabbildung entspricht der inversen Matrix. Aus diesem Grund ist die Matrizenmultiplikation so definiert, wie sie ist.

Basiswechsel

Dieselbe lineare Abbildung hat in verschiedenen Basen verschiedene Matrizen. Ist $T$ die Matrix, deren Spalten die neuen Basisvektoren (in alten Koordinaten) sind, und $A$ die Matrix von $f:V\to V$ in der alten Basis, dann ist die Matrix in der neuen Basis

Zwei Matrizen $A$ und $A\prime$ mit dieser Beziehung heißen ähnlich. Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante, denselben Rang, dieselbe Spur und dieselben Eigenwerte, denn sie beschreiben dieselbe Abbildung.

Die Struktur der Lösungen von $Ax=b$

Ein lineares Gleichungssystem $Ax=b$ fragt nach allen Urbildern von $b$ unter der Abbildung $x\mapsto Ax$. Aus den Sätzen folgt ein vollständiges Bild:

Der zweite Punkt ist der Satz „allgemeine Lösung = spezielle Lösung + Lösung des homogenen Systems“. Er gilt, weil $A(x_0+k)=b+0=b$ und weil aus $Ax=b=A{x}_0$ folgt $A(x-x_0)=0$. Am Beispiel der Matrix $A$ von oben: Für $b=(1,2,3)$ ist $x_0=(1,0,0)$ eine Lösung (die erste Spalte), und die allgemeine Lösung lautet $(1,0,0)+t(-2,1,0)$ mit $t\in ℝ$, eine Gerade. Für $b=(1,0,0)$ gibt es keine Lösung: Die dritte Zeile ist die Summe der ersten beiden, aber $0\ne 1+0$. Das Gauß-Verfahren zeigt dasselbe in der Stufenform.

Rang und Kern berechnen

Mit dem Gauß-Verfahren bringst du $A$ durch Zeilenumformungen auf Stufenform. Zeilenumformungen ändern den Zeilenraum, den Rang und den Kern nicht. Der Rang ist die Zahl der Pivotzeilen, der Kern ergibt sich aus den freien Variablen, und eine Basis des Bildes bilden die Spalten von $A$ an den Pivotpositionen.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte

Die ersten linearen Abbildungen waren Koordinatentransformationen in der Geometrie des 18. Jahrhunderts, etwa bei Leonhard Euler (Drehungen) und Lagrange. Arthur Cayley führte 1858 in der Memoir on the theory of matrices das Matrixprodukt als Verkettung linearer Substitutionen ein und zeigte, dass die Rechenregeln der Matrizen aus der Verkettung folgen. Den Rangbegriff prägte Georg Frobenius (1879). Die abstrakte Auffassung von Abbildungen zwischen Vektorräumen, die nach Peanos Axiomatisierung des Vektorraums von 1888 möglich wurde, setzte sich im 20. Jahrhundert durch, nicht zuletzt durch van der Waerdens Lehrbuch Moderne Algebra.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Lineare Abbildung
• Wikipedia: Dimensionsformel
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, Berlin.
• Arthur Cayley: A memoir on the theory of matrices, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148 (1858).