Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) war ein deutscher Philosoph, Mathematiker, Jurist und Diplomat. Im Herbst 1675 entwickelte er in Paris unabhängig von Isaac Newton die Differential- und Integralrechnung und führte dabei die Zeichen dx und ∫ ein, die bis heute weltweit benutzt werden. Er beschrieb das Rechnen im Dualsystem mit den Ziffern 0 und 1, konstruierte eine Rechenmaschine, die alle vier Grundrechenarten beherrschte, und entwarf die Idee einer Logik, die wie eine Rechnung funktioniert.

Leibniz gilt als einer der letzten Universalgelehrten. Er arbeitete als Hofrat und Bibliothekar für die Herzöge von Braunschweig-Lüneburg in Hannover, schrieb über Recht, Geschichte, Theologie und Bergbau, gründete die Berliner Akademie der Wissenschaften und stand mit rund 1.100 Korrespondenzpartnern in Briefkontakt. Seine letzten Jahre überschattete der Streit mit Newton darüber, wer die Infinitesimalrechnung erfunden habe.

Herkunft und Studium in Leipzig, Jena und Altdorf

Leibniz wurde am 1. Juli 1646 in Leipzig geboren, kurz vor dem Ende des Dreißigjährigen Krieges. In Sachsen galt damals noch der julianische Kalender, nach dem sein Geburtstag der 21. Juni war; die evangelischen Länder des Reiches übernahmen den verbesserten Kalender erst im Jahr 1700. Sein Vater Friedrich Leibnütz war Professor für Moralphilosophie an der Universität Leipzig und starb 1652, als Gottfried sechs Jahre alt war. Die väterliche Bibliothek wurde für den Jungen zur eigentlichen Schule: Bis zum Alter von etwa zwölf Jahren brachte er sich so viel Latein bei, dass er die antiken Autoren und die scholastischen Philosophen lesen konnte.

Mit 14 Jahren begann er 1661 das Studium der Philosophie und der Rechte in Leipzig. Ein Sommersemester 1663 in Jena beim Mathematiker Erhard Weigel weckte sein Interesse an Mathematik, doch blieb seine Ausbildung darin zunächst lückenhaft. 1666 veröffentlichte er die Dissertatio de arte combinatoria, eine Schrift über Kombinatorik, in der bereits der Gedanke steckt, alle Begriffe aus einfachen Grundbegriffen zusammenzusetzen. Weil die Leipziger Fakultät ihn als zu jung für die juristische Promotion ansah, wechselte er an die nürnbergische Universität Altdorf und wurde dort mit 20 Jahren zum Doktor der Rechte promoviert. Eine angebotene Professur schlug er aus; er wollte in die Welt der Höfe und der Politik.

Diplomat in Mainz und Paris: Leibniz wird Mathematiker

Über den Staatsmann Johann Christian von Boineburg kam Leibniz in die Dienste des Mainzer Kurfürsten Johann Philipp von Schönborn, wo er an einer Reform des Rechts mitarbeitete. 1672 reiste er in diplomatischer Mission nach Paris. Er sollte Ludwig XIV. für den Plan gewinnen, statt der Niederlande Ägypten zu erobern. Der Plan war überholt, bevor Leibniz ihn vortragen konnte, denn Frankreich griff die Niederlande noch 1672 an. Leibniz blieb trotzdem bis 1676 in Paris, damals das wissenschaftliche Zentrum Europas.

Dort wurde der niederländische Physiker und Mathematiker Christiaan Huygens sein Mentor. Huygens stellte ihm als Probe eine Aufgabe: die Summe der Kehrwerte der Dreieckszahlen. Leibniz löste sie mit einem Trick, der für sein späteres Denken typisch ist.

Leibniz studierte nun mit großer Energie die neuere Mathematik: René Descartes, Bonaventura Cavalieri, die Arbeiten von James Gregory und vor allem Blaise Pascal. In dessen kleiner Schrift über die Sinus des Viertelkreises fand er ein unendlich kleines Dreieck am Kreis, das er auf beliebige Kurven übertrug: sein „charakteristisches Dreieck“. Um 1673 fand er die Reihe für π, die heute seinen Namen trägt. Nachdem er Anfang 1673 in London das Modell einer Rechenmaschine vorgeführt hatte, wählte ihn die Royal Society im April 1673 zum Mitglied.

Die Infinitesimalrechnung nach Leibniz

Vom charakteristischen Dreieck zu dx und dy

Leibniz dachte sich eine Kurve als Vieleck mit unendlich vielen, unendlich kurzen Seiten. Zwischen zwei benachbarten Punkten ändert sich x um eine unendlich kleine Differenz dx und y um dy. Das winzige Dreieck mit den Seiten dx, dy und dem Kurvenstück ist das charakteristische Dreieck. Seine Seiten stehen im Verhältnis dy : dx, und dieses Verhältnis ist die Steigung der Tangente. Flächen unter Kurven dachte er sich als Summen unendlich vieler schmaler Rechtecke der Breite dx und der Höhe y.

Das Integralzeichen (1675)

In Manuskripten vom Oktober und November 1675 entwickelte Leibniz daraus innerhalb weniger Wochen einen Kalkül. Am 29. Oktober 1675 notierte er, es sei nützlich, statt Cavalieris umständlichem „omnes lineae“ („alle Linien“) das Zeichen ∫ zu schreiben, ein langgezogenes S für summa. Wenige Tage später folgte das d für differentia. Er erkannte, dass ∫ und d einander aufheben, so wie Summen und Differenzen bei Huygens’ Aufgabe. Das Wort „Integral“ verwendete zuerst Jakob Bernoulli 1690 im Druck; Leibniz, der von calculus summatorius gesprochen hatte, übernahm es später.

Die Nova Methodus von 1684

Veröffentlicht hat Leibniz seinen Kalkül erst neun Jahre später. Im Oktober 1684 erschien in der Leipziger Gelehrtenzeitschrift Acta Eruditorum ein nur wenige Seiten langer Aufsatz mit dem Titel Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus … („Neue Methode für Maxima und Minima sowie Tangenten …“). Er enthält ohne Beweise die Grundregeln der Differentialrechnung:

• Summenregel: d(x + y) = dx + dy
• Produktregel: d(xy) = x dy + y dx
• Quotientenregel: d(x/y) = (y dx − x dy) / y²
• Potenzregel: d(xⁿ) = n xⁿ⁻¹ dx

Außerdem zeigte Leibniz, dass an einem Hoch- oder Tiefpunkt dy = 0 gilt, und erklärte Wendepunkte über die zweite Differenz ddy. Die Herleitung der Produktregel ist typisch für seine Denkweise: (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy, und das Produkt dx dy ist gegenüber den anderen Gliedern „unendlich klein“ und fällt weg. 1686 folgte ein Aufsatz über die Integralrechnung, in dem das Zeichen ∫ erstmals gedruckt erschien. Die knappen Texte waren schwer verständlich. Die Basler Brüder Jakob und Johann Bernoulli erarbeiteten sich daraus die Methode selbst, bauten sie aus und machten sie in Europa bekannt.

Warum sich Leibniz’ Schreibweise durchsetzte

Leibniz war überzeugt, dass gute Zeichen das Denken entlasten. Seine Notation zeigt, wie man rechnet. Die Kettenregel etwa sieht aus, als würde man einen Bruch erweitern:

Ähnlich wird die Substitution beim Integrieren zur fast mechanischen Umformung. Newtons Punktschreibweise eignet sich gut für Ableitungen nach der Zeit, wird aber bei mehreren Variablen und beim Integrieren unübersichtlich.

Auch beim Rechnen mit Zahlen achtete Leibniz auf Zeichen: Er empfahl den Malpunkt anstelle des leicht mit x zu verwechselnden Kreuzes und verwendete den Doppelpunkt als Divisionszeichen. Den Grundbegriff Funktion für Größen, die von einer Kurve abhängen, führte er in den 1690er-Jahren ein; Johann Bernoulli und später Leonhard Euler machten ihn zum zentralen Begriff der Analysis.

Der Prioritätsstreit mit Newton

Der Streit zwischen Leibniz und Isaac Newton ist einer der bekanntesten Konflikte der Wissenschaftsgeschichte. Die Fakten lassen sich heute gut rekonstruieren:

• 1665–1666: Newton entwickelt seine Fluxionsrechnung, veröffentlicht sie aber nicht. Ab 1669 zirkuliert seine Schrift De analysi in Abschriften unter wenigen englischen Mathematikern.
• Herbst 1675: Leibniz entwickelt in Paris seinen Kalkül. Seine datierten Manuskripte zeigen einen eigenen Weg über Differenzenfolgen und das charakteristische Dreieck.
• 1676: Über den Sekretär der Royal Society, Henry Oldenburg, tauschen beide Briefe aus. Newton erläutert seine Reihen, verbirgt die Grundidee der Fluxionsrechnung aber in einem Buchstabenrätsel, „6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux“. Im Oktober 1676 sieht Leibniz in London bei John Collins eine Abschrift von De analysi und macht sich Notizen; sie betreffen vor allem Reihen, nicht den Kalkül.
• 1684/1686: Leibniz veröffentlicht als Erster. Newton erwähnt 1687 in der Principia anerkennend, dass Leibniz eine ähnliche Methode besitze.
• 1699–1711: Nicolas Fatio de Duillier und später John Keill werfen Leibniz Plagiat vor. Eine anonyme Besprechung von Newtons Quadraturschrift in den Acta Eruditorum (1705), die von Leibniz stammte, empfinden die Engländer als Gegenvorwurf. Leibniz ruft 1711 die Royal Society an.
• 1712–1715: Die Royal Society unter ihrem Präsidenten Newton setzt einen Ausschuss ein. Dessen Bericht, das Commercium epistolicum (Anfang 1713), spricht Newton die Erfindung zu und unterstellt Leibniz, er habe bei Newton abgeschrieben. Newton hat den Bericht weitgehend selbst geschrieben und 1715 eine anonyme Besprechung nachgeschoben. Leibniz antwortet 1713 mit einem anonymen Flugblatt, der Charta volans, die sich auf das Urteil eines „führenden Mathematikers“ beruft, gemeint ist Johann Bernoulli.

Leibniz starb 1716, ohne dass der Streit beigelegt war; Newton führte ihn noch Jahre weiter. Das heutige Urteil ist eindeutig: Newton hatte die Grundideen zuerst, Leibniz veröffentlichte zuerst, und beide kamen unabhängig voneinander zu ihren Ergebnissen. Der Streit hatte eine lange Nachwirkung. Die britischen Mathematiker hielten an Newtons Notation fest und koppelten sich vom Fortschritt auf dem Kontinent ab. Erst 1812 gründeten Studenten in Cambridge, darunter Charles Babbage, die „Analytical Society“, um Leibniz’ Schreibweise in England einzuführen.

Leibniz-Reihe und weitere mathematische Ideen

Die Leibniz-Reihe drückt die Kreiszahl durch eine unendliche Summe aus Brüchen mit ungeraden Nennern aus:

Leibniz fand sie um 1673 und veröffentlichte sie 1682. Er war allerdings nicht der Erste: In Indien kannte die Kerala-Schule um Madhava von Sangamagrama die Reihe schon um 1400, und in Schottland hatte James Gregory 1671 die allgemeinere Arkustangens-Reihe gefunden. Man spricht deshalb auch von der Madhava-Leibniz-Reihe. Zum Rechnen taugt sie kaum: Nach 1.000 Gliedern erhält man erst 3,1406, also nur zwei richtige Nachkommastellen. Leibniz bewies, dass eine solche Reihe mit abwechselnden Vorzeichen konvergiert, wenn ihre Glieder dem Betrag nach monoton gegen null gehen. Dieses Leibniz-Kriterium kommt bis heute in jeder Analysisvorlesung vor.

In einem Brief an den Marquis de l’Hospital von 1693 löste Leibniz lineare Gleichungssysteme, indem er die Koeffizienten mit zweistelligen Indizes nummerierte. Dabei benutzte er Ausdrücke, die man heute Determinanten nennt; unabhängig davon war der Japaner Seki Takakazu um 1683 auf ähnliche Ideen gekommen. Das Lösen von Gleichungssystemen mit Koeffiziententabellen hatten chinesische Mathematiker schon in den „Neun Kapiteln der Rechenkunst“ praktiziert; die eigentliche Theorie der Matrizen entstand jedoch erst im 19. Jahrhundert. Außerdem träumte Leibniz von einer analysis situs, einer „Geometrie der Lage“, die Figuren ohne Rücksicht auf Längen und Winkel beschreibt: eine Vorahnung der späteren Topologie.

Die Rechenmaschine mit Staffelwalze

Pascals Rechenmaschine konnte addieren, aber nicht multiplizieren. Leibniz wollte eine Maschine, die beides kann, und erfand dafür um 1672 die Staffelwalze: eine Walze mit neun Zähnen unterschiedlicher Länge. Je nachdem, wie weit ein verschiebbares Zahnrad an der Walze entlang steht, greifen bei einer Umdrehung zwischen null und neun Zähne. So lässt sich eine Ziffer einstellen und mit jeder Kurbeldrehung erneut addieren. Ein verschiebbarer Schlitten ermöglicht das Multiplizieren mit mehrstelligen Zahlen durch wiederholtes Addieren und Stellenverschieben, wie bei der schriftlichen Multiplikation. Die Division funktioniert entsprechend über wiederholtes Subtrahieren.

Ein unfertiges Holzmodell zeigte Leibniz Anfang 1673 der Royal Society. Den Bau der Metallmaschinen zog er über Jahrzehnte hin und investierte viel Geld; die Feinmechanik seiner Zeit stieß an ihre Grenzen, und der Zehnerübertrag funktionierte nicht in allen Fällen zuverlässig. Eine Maschine blieb erhalten; sie wurde 1879 auf einem Dachboden der Universität Göttingen wiederentdeckt. Das Prinzip der Staffelwalze aber setzte sich durch: Es steckte in den ersten serienmäßig gebauten Rechenmaschinen des 19. Jahrhunderts und noch in der Curta, einer kleinen Handrechenmaschine aus der Mitte des 20. Jahrhunderts.

„Denn es ist ausgezeichneter Männer unwürdig, gleich Sklaven Stunden mit Rechenarbeit zu verlieren, die man getrost jedem anderen überlassen könnte, wenn Maschinen eingesetzt würden.“

Das Dualsystem: Rechnen mit 0 und 1

Im Dezimalsystem steht jede Stelle für eine Zehnerpotenz. Im Dualsystem (Binärsystem) steht sie für eine Zweierpotenz, und man kommt mit den Ziffern 0 und 1 aus. Leibniz arbeitete die Regeln in einem Manuskript vom März 1679, De progressione dyadica, vollständig aus und skizzierte dort sogar eine Rechenmaschine, in der Kugeln durch geöffnete oder geschlossene Löcher rollen. Die Idee nimmt das Prinzip digitaler Rechner verblüffend früh vorweg. Gebaut hat er sie nie, und seine Staffelwalzenmaschine rechnete dezimal.

Das Rechnen ist denkbar einfach, weil das Einmaleins nur aus 0 · 0, 0 · 1 und 1 · 1 besteht. Bei der Addition gilt 1 + 1 = 10 mit Übertrag, so dass etwa 101 + 11 = 1000 ergibt, also 5 + 3 = 8.

Für Leibniz hatte die Zweiersystematik auch eine religiöse Bedeutung: Dass sich alle Zahlen aus 1 und 0 bilden lassen, deutete er als Bild der Schöpfung aus dem Nichts. 1697 schlug er dem Herzog Rudolf August von Braunschweig-Wolfenbüttel eine Gedenkmünze mit dem Motto vor, um alles aus dem Nichts hervorzubringen, genüge die Eins. Der Jesuitenmissionar Joachim Bouvet, dem Leibniz sein System 1701 nach China geschildert hatte, machte ihn in einem Antwortbrief, der erst 1703 eintraf, auf die 64 Hexagramme des chinesischen I Ging aufmerksam, deren Anordnung sich als Folge von Dualzahlen lesen lässt. Noch 1703 veröffentlichte Leibniz seine Explication de l’Arithmétique Binaire in den Abhandlungen der Pariser Akademie und verwies darin auf die alten chinesischen Figuren. Die Hexagramme waren allerdings als Orakelzeichen gedacht, nicht als Zahlen; mit der chinesischen Mathematik im engeren Sinn haben sie wenig zu tun.

Logik und die Idee einer universellen Zeichensprache

Leibniz träumte von einer characteristica universalis, einer Universalsprache, in der jeder Begriff ein Zeichen hat, und von einem calculus ratiocinator, einem Kalkül, mit dem man aus diesen Zeichen Schlüsse rechnen kann. Streitfragen ließen sich dann wie Rechenaufgaben entscheiden: Die Kontrahenten müssten sich nur hinsetzen und sagen „Calculemus!“ („Lasst uns rechnen!“). In unveröffentlichten Entwürfen aus den Jahren um 1680 bis 1690 beschrieb er Gesetze für das, was man heute Konjunktion, Negation, Identität und Teilmengenbeziehung nennt.

Gedruckt hat er diese Logikschriften nie; sie wurden erst um 1900 aus seinem Nachlass herausgegeben. Darum hatten sie zunächst wenig Einfluss. Rückblickend gilt Leibniz trotzdem als bedeutendster Logiker zwischen Aristoteles und den Logikern des 19. Jahrhunderts wie George Boole und Augustus De Morgan. Der Gedanke, Denken als Rechnen mit Zeichen aufzufassen, führt über Boole und Gottlob Frege bis zur modernen Informatik.

Hofrat und Bibliothekar in Hannover

Ende 1676 trat Leibniz in den Dienst von Herzog Johann Friedrich von Braunschweig-Lüneburg und zog nach Hannover, wo er bis zu seinem Tod lebte. Auf dem Weg dorthin besuchte er in Den Haag den Philosophen Baruch de Spinoza. Als Hofrat und Bibliothekar diente er drei Herrschern nacheinander. Seine Aufgaben waren vielfältig: In den 1680er-Jahren versuchte er, die Silberbergwerke im Harz mit Windkraft zu entwässern, was technisch scheiterte. Für eine Geschichte des Welfenhauses reiste er 1687 bis 1690 durch Süddeutschland, Österreich und Italien und durchsuchte Archive; das Werk blieb unvollendet. Ab 1691 leitete er zusätzlich die berühmte Bibliothek in Wolfenbüttel.

Daneben verfolgte Leibniz große Projekte. Er bemühte sich um eine Wiedervereinigung der christlichen Konfessionen, warb für Akademien nach dem Vorbild von London und Paris und erreichte 1700 die Gründung der Sozietät der Wissenschaften in Berlin, der späteren Preußischen Akademie, deren erster Präsident er wurde. Mehrfach traf er den russischen Zaren Peter den Großen und regte die Akademie in Sankt Petersburg an, die 1724 gegründet wurde und an der später Euler und Daniel Bernoulli wirkten. Während eines längeren Aufenthalts in Wien (1712–1714) erhielt er den Titel eines Reichshofrats.

Seine letzten Jahre waren einsam. Als Kurfürst Georg Ludwig 1714 als Georg I. König von Großbritannien wurde, durfte Leibniz nicht mit nach London, sondern sollte die Welfengeschichte fertigstellen. Er starb am 14. November 1716 in Hannover. Zur Beerdigung kam vom Hof niemand; Zeitgenossen berichten, nur sein Sekretär sei dem Sarg gefolgt. Sein Grab in der Neustädter Hof- und Stadtkirche trägt die schlichte Inschrift Ossa Leibnitii, „Die Gebeine des Leibniz“.

Philosoph der Monaden und der besten aller Welten

Als Philosoph gehört Leibniz neben Descartes und Spinoza zu den großen Rationalisten. In der Monadologie (1714) beschreibt er die Welt als Gefüge einfacher, unteilbarer Substanzen, der Monaden, deren Zusammenspiel Gott im Voraus aufeinander abgestimmt hat: die „prästabilierte Harmonie“. In der Théodicée (1710), dem einzigen großen Buch, das er zu Lebzeiten veröffentlichte, verteidigt er die Güte Gottes angesichts des Übels in der Welt: Gott habe unter allen möglichen Welten die beste geschaffen. Voltaire verspottete diese Haltung 1759 in seinem Roman Candide. Im Briefwechsel mit Newtons Anhänger Samuel Clarke vertrat Leibniz 1715/16 die Auffassung, Raum und Zeit seien keine eigenständigen Dinge, sondern Ordnungsbeziehungen zwischen Körpern und Ereignissen.

Zeitleiste: Gottfried Wilhelm Leibniz

1. 1646 Geburt am 1. Juli (julianisch: 21. Juni) in Leipzig.
2. 1661 Studienbeginn in Leipzig; 1666 De arte combinatoria und Promotion in Altdorf.
3. 1672–1676 Aufenthalt in Paris; Mathematikstudium bei Huygens; 1673 Mitglied der Royal Society.
4. 1675 Entwicklung der Infinitesimalrechnung, Einführung von ∫ und d.
5. 1676 Umzug nach Hannover in den Dienst der Welfenherzöge.
6. 1679 Manuskript De progressione dyadica über das Dualsystem.
7. 1684 Nova Methodus: erste Veröffentlichung der Differentialrechnung; 1686 folgt die Integralrechnung.
8. 1700 Gründung der Berliner Sozietät der Wissenschaften mit Leibniz als Präsident.
9. 1710–1714 Théodicée und Monadologie; Höhepunkt des Prioritätsstreits mit Newton.
10. 1716 Tod am 14. November in Hannover.

Was Leibniz uns heute hinterlassen hat

Wer heute in der Schule oder an der Universität Ableitungen und Integrale berechnet, schreibt in der Sprache von Leibniz: dy/dx, ∫ f(x) dx, die Begriffe Funktion und Differential. Über die Bernoullis und Euler prägte seine Fassung der Analysis die gesamte Mathematik des 18. Jahrhunderts. Das Dualsystem, das er als Erster vollständig darstellte und veröffentlichte, ist die Grundlage aller digitalen Rechner, auch wenn die Computertechnik des 20. Jahrhunderts nicht unmittelbar an ihn anknüpfte. Seine Idee eines logischen Kalküls lebt in der formalen Logik und der Informatik fort.

Im Alltag begegnet man seinem Namen vielfach: Die Leibniz Universität Hannover, die Leibniz-Gemeinschaft mit ihren Forschungsinstituten und der Leibniz-Preis der Deutschen Forschungsgemeinschaft, der wichtigste deutsche Forschungsförderpreis, tragen ihn. Sein riesiger Briefwechsel gehört zum UNESCO-Weltdokumentenerbe. Die Akademien in Berlin (die Nachfolgerin seiner Gründung) und Göttingen geben seine Schriften und Briefe bis heute in einer historisch-kritischen Gesamtausgabe heraus.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Eike Christian Hirsch: Der berühmte Herr Leibniz. Eine Biographie, C. H. Beck, München 2000.
• Maria Rosa Antognazza: Leibniz. An Intellectual Biography, Cambridge University Press, Cambridge 2009.
• A. Rupert Hall: Philosophers at War. The Quarrel between Newton and Leibniz, Cambridge University Press, Cambridge 1980.
• Thomas de Padova: Leibniz, Newton und die Erfindung der Zeit, Piper, München 2013.
• MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm von Leibniz (englisch)
• Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek Hannover: Leibniz-Nachlass und -Forschung