Bhaskara I

Bhaskara I (um 600–um 680) war ein indischer Astronom und Mathematiker und gilt als bedeutendster Vertreter der von Aryabhata begründeten Schule der indischen Mathematik. Im Jahr 629 schrieb er einen Kommentar zu dessen Aryabhatiya, den ältesten erhaltenen. Darin und in seinem Hauptwerk, dem Mahabhaskariya, steht eine Formel, die den Sinus eines Winkels allein mit Brüchen und ohne Tabelle beinahe exakt berechnet. Außerdem schrieb er Zahlen so auf, wie wir es noch heute tun, mit Ziffern, Stellenwerten und einem Kreis als Null.

Der Zusatz „I“ unterscheidet ihn von Bhaskara II, der rund 500 Jahre später lebte und viel bekannter ist. Beide hatten nichts miteinander zu tun außer dem Namen und der Liebe zur Astronomie. Über Bhaskara I selbst wissen wir fast nur, was er in seinen Büchern erwähnt.

Leben: ein Astronom aus der Aryabhata-Schule

Bhaskara I lernte nach der Überlieferung die Astronomie zuerst von seinem Vater. Er nennt oft den Asmakatantra, eine Bezeichnung für das Lehrbuch Aryabhatas, und deshalb vermutet man, dass er in Ashmaka arbeitete, einer Gelehrtenschule von Aryabhatas Anhängern. In seinen Büchern erscheinen auch Orte in Gujarat wie Valabhi und Bharuch sowie Thanesar im Punjab. Daraus schließt man, dass er in Saurashtra geboren wurde und später nach Ashmaka zog. Ein sicherer Beleg fehlt.

Sein Kommentar von 629 behandelt nur die 33 mathematischen Verse des Aryabhatiya. Er erklärt dort Gleichungen ersten Grades mit ganzzahligen Lösungen und trigonometrische Formeln und zeigt an Beispielen, wie Aryabhatas knappe Regeln gemeint sind. Die verbreitete Näherung √10 für π kritisiert er: Ein genauer Wert sei noch nicht gefunden, und offenbar hielt er π für keine Bruchzahl.

Zahlen mit Stellenwert und Null

Indische Astronomen schrieben ihre Werke in Versen. Zahlen passten schlecht ins Versmaß, deshalb benutzten sie Wortzahlen: Dinge, die es nur einmal gibt, standen für die 1 (der Mond), Paare für die 2 (Augen, Flügel), die fünf Sinne für die 5, der leere Himmel für die 0. Man reihte die Wörter wie unsere Ziffern aneinander, begann aber mit den Einern.

Bhaskara I ging im Kommentar von 629 einen Schritt weiter. Er benutzt Wortzahlen mit festem Stellenwert und schreibt mit dem Hinweis „in Ziffern lautet dies“ dieselbe Zahl noch einmal mit den neun Brahmi-Ziffern und einem kleinen Kreis für die Null auf, von links nach rechts mit sinkender Wertigkeit wie wir. Das gilt als früheste erhaltene Zahlenschreibung dieser Art in einem Sanskrit-Werk. Erfunden hat er das System vermutlich nicht, benutzte es aber als einer der Ersten in einem wissenschaftlichen Werk. Wie man mit der Null rechnet, hielt Brahmagupta um dieselbe Zeit fest.

Die Sinusformel: eine Bruchformel für den Sinus

Im 7. Kapitel des Mahabhaskariya stehen drei Verse mit einer Rechenvorschrift für den Sinus. Bhaskara I schreibt sie Aryabhata zu, im Aryabhatiya selbst findet man sie nicht. In heutiger Schreibweise lautet sie für einen Winkel x im Bogenmaß zwischen 0 und π:

Für einen Winkel x in Grad wird daraus die Fassung, mit der Bhaskara I tatsächlich rechnete:

Man rechnet also nur mit den Zahlen x und 180 − x: multiplizieren, vervierfachen, den Nenner bilden, teilen. Das ist ein Bruchterm, und er liefert den Sinuswert ohne Tafel und ohne Taschenrechner.

Die Formel ist bei 0°, 30°, 90°, 150° und 180° exakt. Dazwischen beträgt der Fehler höchstens etwa 0,0016. Nur bei winzigen Winkeln ist der Fehler im Verhältnis zum kleinen Sinuswert größer, am Rand bis zu 1,9 Prozent. Wie Bhaskara I oder Aryabhata auf die Formel kamen, wissen wir nicht, und die Forschung hat mehrere Vermutungen angestellt. Mehr über Sinus und Winkel steht auf der Lernseite zur Trigonometrie.

Eine Aufgabe zur Pell-Gleichung

Bhaskara I stellte Aufgaben der Form: „Sag mir, Mathematiker, welches Quadrat ergibt mit 8 multipliziert und um 1 vermehrt wieder ein Quadrat?“ Heute schreiben wir 8x² + 1 = y², eine Gleichung vom Typ der Pell-Gleichung, mit der sich zur selben Zeit Brahmagupta und später Bhaskara II systematisch beschäftigten. Die kleinste Lösung ist x = 1, y = 3, denn 8 + 1 = 9. Aus ihr lassen sich weitere gewinnen:

Aus einer Lösung (x, y) entsteht die nächste als (y + 3x, 3y + 8x). Dahinter steht die „Zusammensetzung“ (bhāvanā), die Brahmagupta als allgemeines Verfahren beschrieb.

Zeitleiste

1. 499 Aryabhata schreibt das Aryabhatiya.
2. um 600 Geburt Bhaskaras I, vermutlich in Saurashtra.
3. 628 Brahmagupta vollendet sein Brāhmasphuṭasiddhānta.
4. 629 Aryabhatiyabhasya mit Zahlen im Stellenwertsystem und einem Kreis als Null.
5. um 680 Tod Bhaskaras I, vermutlich in Ashmaka.
6. um 1150 Bhaskara II schreibt die Lilavati und löst die Pell-Gleichung allgemein.
7. um 1400 Madhava entwickelt Reihen für den Sinus, die sich beliebig genau berechnen lassen.

Was von Bhaskara I bleibt

Bhaskara I ist die wichtigste Brücke zwischen Aryabhatas knappen Versen und dem Verständnis späterer Generationen: Ohne seinen Kommentar wüssten wir weniger darüber, wie die Aryabhata-Schule rechnete. Seine Sinusformel zeigt, wie gut sich eine schwierige Funktion durch einfache Brüche annähern lässt, ein Gedanke, den man bis heute beim Rechnen mit Näherungen nutzt. Und seine Ziffernschreibung ist ein frühes Zeugnis dafür, dass das Stellenwertsystem mit der Null in Indien selbstverständlich geworden war, lange bevor es über die islamische Welt nach Europa kam.

Quellen und weiterführende Literatur

• K. S. Shukla: Mahabhaskariya (Sanskrit mit englischer Übersetzung), Lucknow University Press, Lucknow 1960.
• Agathe Keller: Expounding the Mathematical Seed. Bhaskara and the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, 2 Bände, Birkhäuser, Basel 2006.
• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, Princeton 2009.
• MacTutor History of Mathematics: Bhaskara I (englisch)
• Wikipedia: Bhaskara I.