Kamal ad-Din al-Farisi

Kamal ad-Din al-Farisi (1267–1319) war ein persischer Gelehrter, der in Täbris, der Hauptstadt des mongolischen Ilchanen-Reichs, forschte. Er leistete zwei große Beiträge: In der Optik gab er um 1300 die erste mathematisch überzeugende Erklärung des Regenbogens. In der Zahlentheorie bewies er mit neuen Mitteln eine Regel für befreundete Zahlen, also Zahlenpaare wie 220 und 284, und fand dabei das Paar 17.296 und 18.416.

In Europa schrieb man dieses Paar später Pierre de Fermat zu, der es 1636 gefunden haben soll. Al-Farisi kannte es schon rund 300 Jahre früher. Er war Schüler eines Schülers von Nasir ad-Din at-Tusi und steht für die späte Blüte der Mathematik der islamischen Welt.

Leben in Täbris

Über al-Farisis Leben ist wenig bekannt, und selbst die Lebensdaten sind unsicher. Sein Beiname deutet auf eine Herkunft aus Persien hin. Einige Zeit vor 1290 kam er nach Täbris, um bei Qutb ad-Din asch-Schirazi zu studieren. Die Stadt war damals Hauptstadt der Ilchane, der mongolischen Herrscher Persiens, die Astronomen und Gelehrte förderten.

Bekannt ist eine Anekdote zur Optik. Al-Farisi hatte seinem Lehrer eine Frage zur Brechung des Lichts gestellt. Der riet ihm, das Buch der Optik von Ibn al-Haitham zu lesen. Al-Farisi arbeitete es so gründlich durch, dass der Lehrer ihn bat, eine Neufassung zu schreiben. So entstand der Tanqih al-Manazir („Revision der Optik“), den er 1309 abschloss. Eine von ihm selbst geschriebene Handschrift ist erhalten. Er starb am 12. Januar 1319 in Täbris. Lange galt 1320 als Todesjahr.

Der Regenbogen im Wassertropfen

Wie entsteht ein Regenbogen? Heute weiß man: Sonnenlicht trifft auf Regentropfen, wird beim Eintritt gebrochen (es ändert die Richtung, weil Licht im Wasser langsamer ist als in Luft), an der Rückwand des Tropfens gespiegelt und beim Austritt noch einmal gebrochen. Weil jede Farbe etwas anders gebrochen wird, fächert sich das weiße Licht in seine Farben auf.

Ibn al-Haitham hatte vermutet, das Licht werde an einer Wolke wie an einem Spiegel zurückgeworfen. Das ließ sich nicht testen. Al-Farisi ging einen anderen Weg und fragte, was in einem einzigen Tropfen geschieht. Er füllte eine große Glaskugel mit Wasser, stellte sie als riesigen Modelltropfen in eine abgedunkelte Kammer mit einem kleinen Loch (eine Camera obscura) und ließ einen schmalen Lichtstrahl hineinfallen. Dann verschob er die Lichtquelle und beobachtete, wie sich die Strahlen im Inneren brechen und spiegeln. Er rechnete nach, dass das Glas der Kugel das Ergebnis kaum verfälscht.

Seine Antwort: Der Hauptbogen entsteht durch zwei Brechungen mit einer Spiegelung dazwischen. Zwei Spiegelungen ergeben den schwächeren Nebenbogen. Warum die Tropfen das Licht gerade unter einem Winkel von rund 42 Grad zurückschicken, erklärte erst im 17. Jahrhundert René Descartes mit dem Brechungsgesetz.

Zur Entstehung der Farben hatte al-Farisi eine eigene Theorie, die heute überholt ist. Der Kern seiner Regenbogenerklärung hat dagegen Bestand. Fast gleichzeitig fand der deutsche Dominikaner Dietrich von Freiberg eine sehr ähnliche Erklärung, ohne dass die beiden voneinander wussten.

Befreundete Zahlen und die Regel des Thabit

Zwei Zahlen sind befreundet, wenn die Summe der Teiler der einen (ohne die Zahl selbst) die andere ergibt, und umgekehrt. Das einfachste Paar ist 220 und 284:

• Teiler von 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Summe: 284.
• Teiler von 284: 1, 2, 4, 71, 142. Summe: 220.

Im 9. Jahrhundert fand der Gelehrte Thabit ibn Qurra eine Regel, die solche Paare liefert. Für eine Zahl n ≥ 2 bildet man p = 3 · 2ⁿ − 1, q = 3 · 2ⁿ⁻¹ − 1 und r = 9 · 2²ⁿ⁻¹ − 1. Sind alle drei Primzahlen, dann sind 2ⁿ · p · q und 2ⁿ · r befreundet.

Al-Farisi gab in seiner Tadhkira al-ahbab („Denkschrift über befreundete Zahlen“) einen neuen Beweis der Regel. Dafür nutzte er, dass sich jede natürliche Zahl auf genau eine Weise in Primfaktoren zerlegen lässt, also im Kern den Fundamentalsatz der Arithmetik (ob er ihn auch bewies, ist unter Fachleuten umstritten). Aus den Primfaktoren kann man alle Teiler ablesen und ihre Summe berechnen. Dass 1.151 eine Primzahl ist, prüfte er mit einem Sieb im Stil des Eratosthenes. Heute genügt es, die Primzahlen bis 31 durchzuprobieren, denn 34² ist schon größer als 1.151. Außerdem verband er Vieleckszahlen (wie Dreieckszahlen) mit Kombinationen, also der Frage, auf wie viele Arten man k Dinge aus n Dingen auswählen kann.

Zeitleiste: Kamal ad-Din al-Farisi

1. um 1267 Geburt in Persien
2. vor 1290 Ankunft in Täbris, Studium bei Qutb ad-Din asch-Schirazi
3. 1309 Abschluss des Tanqih al-Manazir, der „Revision der Optik“
4. 1311 Tod seines Lehrers Qutb ad-Din asch-Schirazi
5. 1319 Tod in Täbris
6. 1637 Descartes erklärt in Les Météores den Regenbogenwinkel mit dem Brechungsgesetz

Bedeutung und Nachwirkung

Im Orient blieb der Tanqih mehr als drei Jahrhunderte lang das Standardwerk der Optik. In das Lateinische wurden al-Farisis Schriften dagegen nicht übersetzt, sodass Europa seine Ergebnisse jahrhundertelang nicht kannte. Wiederentdeckt wurden seine zahlentheoretischen Arbeiten erst im 20. Jahrhundert, vor allem durch Studien des Wissenschaftshistorikers Roshdi Rashed.

Heute begegnet man seinen Themen ständig. Regenbögen erklärt die Physik noch immer mit Strahlen in Tropfen. Die Zerlegung in Primfaktoren steckt hinter der Verschlüsselung beim Onlinebanking: Sie ist sicher, weil sich sehr große Zahlen nur mit enormem Aufwand zerlegen lassen. Und befreundete Zahlen reizen bis heute Hobbyforscher, denn ob es unendlich viele gibt, ist ungeklärt. Mehr über Primzahlen und Teiler steht auf der Lernseite Zahlen und ihre Eigenschaften.

Häufige Fragen

Was erklärte al-Farisi?

Er zeigte mit einer wassergefüllten Glaskugel, dass ein Regenbogen durch Brechung und Spiegelung des Lichts in einzelnen Regentropfen entsteht.

Was sind befreundete Zahlen?

Zwei Zahlen, bei denen die Summe der Teiler der einen (ohne sie selbst) die andere ergibt und umgekehrt, zum Beispiel 220 und 284.

Quellen und weiterführende Literatur

• Roshdi Rashed: Nombres amiables, parties aliquotes et nombres figurés aux XIIIème et XIVème siècles. In: Archive for History of Exact Sciences 28 (1983), S. 107–147.
• A. G. Agargün, C. R. Fletcher: al-Farisi and the Fundamental Theorem of Arithmetic. In: Historia Mathematica 21 (1994), S. 162–173.
• Roshdi Rashed: The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra, Springer, London 1994.
• MacTutor History of Mathematics: Kamal al-Din Abu’l Hasan Muhammad Al-Farisi (englisch)
• Wikipedia: Kamāl al-Dīn al-Fārisī