Russell und Whitehead

Bertrand Russell (1872–1970) und Alfred North Whitehead (1861–1947) sind die Autoren der Principia Mathematica (1910–1913), des umfassendsten Versuchs, die Mathematik vollständig auf Logik zurückzuführen. Russell, Philosoph und Mathematiker aus einer der bekanntesten Adelsfamilien Großbritanniens, hatte zuvor die nach ihm benannte Russellsche Antinomie entdeckt: einen Widerspruch, der die damalige Mengenlehre und das Logiksystem von Gottlob Frege erschütterte. Whitehead, elf Jahre älter und Russells früherer Lehrer in Cambridge, war Algebraiker und brachte die mathematische Technik in das gemeinsame Projekt ein.

Ihr Ziel, die Mathematik von Grund auf abzusichern, erreichten die beiden nicht ganz. Ihr System benötigte Annahmen, die sich kaum als rein logisch verteidigen ließen, und 1931 zeigte Kurt Gödel, dass kein solches System alle wahren Aussagen der Arithmetik beweisen kann. Dennoch wurde die Principia zu einem Grundtext der modernen Logik. Beide Autoren wandten sich später anderen Feldern zu: Russell wurde einer der einflussreichsten Philosophen und politischen Aktivisten des 20. Jahrhunderts, Whitehead der Begründer der Prozessphilosophie.

Zwei Wege nach Cambridge: Herkunft und Ausbildung

Alfred North Whitehead

Alfred North Whitehead wurde am 15. Februar 1861 in Ramsgate in der Grafschaft Kent geboren. Sein Vater war anglikanischer Geistlicher. Nach der Schulzeit in Sherborne begann er 1880 das Mathematikstudium am Trinity College in Cambridge, wurde 1884 Fellow und lehrte dort bis 1910. 1890 heiratete er Evelyn Wade. Sein erstes großes Werk, A Treatise on Universal Algebra (1898), stellte verschiedene algebraische Kalküle gemeinsam dar, darunter Hermann Graßmanns Ausdehnungslehre und die Logik-Algebra von George Boole. Dafür wurde er 1903 in die Royal Society gewählt.

Bertrand Russell

Bertrand Russell kam am 18. Mai 1872 in Trellech in Wales zur Welt. Sein Großvater, Lord John Russell, war zweimal britischer Premierminister gewesen. Die Eltern, Viscount und Viscountess Amberley, galten als ungewöhnlich freisinnig und hatten den Philosophen John Stuart Mill als nichtreligiösen Paten gewählt. Die Mutter starb 1874, der Vater 1876. Russell wuchs bei den Großeltern in Pembroke Lodge bei London auf, nach dem Tod des Großvaters 1878 in der Obhut seiner strengen, religiösen Großmutter. Er erhielt Privatunterricht und verbrachte eine einsame Jugend. Mit elf Jahren lernte er durch seinen älteren Bruder Frank die Geometrie Euklids kennen; er nannte das später eines der großen Ereignisse seines Lebens.

1890 begann Russell sein Studium am Trinity College. Whitehead gehörte zu den Prüfern der Aufnahmeprüfung, erkannte Russells Begabung und setzte sich für ein höheres Stipendium ein; später unterrichtete er ihn auch. Russell studierte zunächst Mathematik, dann Philosophie. Anfangs stand er unter dem Einfluss des britischen Idealismus, einer an Hegel orientierten Philosophie, die damals in Oxford und Cambridge vorherrschte. Um 1898 brach er gemeinsam mit seinem Freund George Edward Moore mit dieser Richtung. Der Bruch gilt als einer der Ausgangspunkte der analytischen Philosophie, die Begriffe und Argumente mit den Mitteln der Logik und Sprachanalyse untersucht.

Paris 1900: die Begegnung mit Peanos Logik

Im August 1900 reisten Russell und Whitehead nach Paris, wo im Rahmen der Weltausstellung mehrere wissenschaftliche Kongresse stattfanden. Auf dem Internationalen Philosophiekongress lernte Russell den italienischen Mathematiker Giuseppe Peano kennen. Ihn beeindruckte, wie präzise Peano und seine Schüler mathematische Aussagen in einer symbolischen Sprache formulierten. Russell bezeichnete die Begegnung später als Wendepunkt seines Denkens. Wenige Tage danach stellte David Hilbert auf dem Internationalen Mathematikerkongress in derselben Stadt seine berühmten Probleme vor; auch er fragte nach den Grundlagen der Mathematik.

Daraus entstand das Programm, das Russell und Whitehead als Logizismus verfolgten: die These, dass sich alle mathematischen Begriffe mit rein logischen Mitteln definieren und alle mathematischen Wahrheiten aus logischen Grundsätzen ableiten lassen. Zahlen sollten etwa als Klassen von Klassen erklärt werden; die Zahl 2 ist dann die Klasse aller Paare. Dasselbe Ziel verfolgte Frege in Jena schon seit den 1880er-Jahren, was Russell erst nach und nach bemerkte. Gegen Ende des Jahres 1900 begann die Zusammenarbeit von Russell und Whitehead.

Die Russellsche Antinomie verständlich erklärt

In der Mengenlehre von Georg Cantor und in Freges Logik galt ein scheinbar selbstverständliches Prinzip: Zu jeder Eigenschaft gibt es die Menge aller Dinge, die diese Eigenschaft haben. So gibt es die Menge aller geraden Zahlen, die Menge aller Dreiecke und auch Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind. Manche Mengen enthalten nach diesem Prinzip sogar sich selbst, etwa die Menge aller Dinge, die keine Teetassen sind. Diese Menge ist nämlich selbst keine Teetasse.

Im Mai 1901 betrachtete Russell die Menge R aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten:

Enthält R sich selbst? Wenn R ∈ R gilt, erfüllt R die Bedingung der Definition nicht, also gilt R ∉ R. Wenn aber R ∉ R gilt, erfüllt R genau die Bedingung, also gilt R ∈ R. Jede der beiden Möglichkeiten führt zu ihrem Gegenteil:

Einen solchen unauflösbaren Widerspruch nennt man Antinomie. Er ist mehr als ein Wortspiel, denn in der klassischen Logik lässt sich aus einem Widerspruch jede beliebige Aussage ableiten. Ein System, in dem die Russellsche Antinomie herleitbar ist, taugt deshalb nicht als Grundlage der Mathematik. Russell stieß auf den Widerspruch, als er Cantors Beweis untersuchte, dass es keine größte Mächtigkeit gibt. Ernst Zermelo in Göttingen hatte ihn unabhängig davon schon um 1900 bemerkt, aber nicht veröffentlicht; deshalb spricht man auch von der Zermelo-Russell-Antinomie.

Der Brief an Frege

Am 16. Juni 1902 schrieb Russell an Frege und schilderte ihm den Widerspruch. Der Brief traf Frege an empfindlicher Stelle: Der zweite Band seiner Grundgesetze der Arithmetik, die die Arithmetik aus logischen Grundsätzen aufbauen sollten, war gerade im Druck. Freges „Grundgesetz V“, das jeder Eigenschaft eine Klasse zuordnet, machte die Antinomie in seinem System ableitbar. Frege antwortete umgehend und erkannte das Problem an. In einem Nachwort zu dem 1903 erschienenen Band schrieb er:

„Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird.“

Russell selbst veröffentlichte die Antinomie 1903 in seinem Buch The Principles of Mathematics. Zusammen mit weiteren Paradoxien der Mengenlehre löste sie eine Grundlagenkrise aus, die die Mathematik über Jahrzehnte beschäftigte.

Zwei Auswege: Typentheorie und axiomatische Mengenlehre

Russell schlug eine Typentheorie vor, die er 1903 skizzierte und 1908 ausarbeitete. Die Gegenstände der Mathematik werden darin in Stufen geordnet: Auf der untersten Stufe stehen Individuen, darüber Mengen von Individuen, darüber Mengen solcher Mengen und so weiter. Eine Menge darf nur Elemente der nächstniedrigeren Stufe enthalten. Die Frage „Enthält x sich selbst?“ lässt sich dann gar nicht mehr sinnvoll formulieren, und die Antinomie verschwindet.

Ernst Zermelo wählte 1908 einen anderen Weg. Er stellte Axiome auf, die genau festlegen, welche Mengen existieren. Nach seinem Aussonderungsaxiom darf man mit einer Eigenschaft nur Elemente aus einer bereits gegebenen Menge herausgreifen, nicht aber „alle Dinge“ mit dieser Eigenschaft zusammenfassen. Aus Zermelos System ging die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre hervor (ZF, mit Auswahlaxiom ZFC), die heute als Standardgrundlage der Mathematik gilt. Ihre Grundbegriffe erklärt die Lernseite zur Mengenlehre.

Die „Principia Mathematica“ (1910–1913)

Ursprünglich wollten Russell und Whitehead jeweils einen zweiten Band zu ihren eigenen Büchern schreiben. Nach der Entdeckung der Antinomie legten sie die Vorhaben zusammen; daraus wurde eine fast zehnjährige gemeinsame Arbeit. Russell übernahm vor allem die philosophischen Grundfragen, Whitehead den mathematischen Aufbau, und ein großer Teil der Notation stammt von ihm, vieles in Anlehnung an Peano. Das Ergebnis erschien in drei Bänden 1910, 1912 und 1913 bei Cambridge University Press: knapp 2.000 Seiten, fast durchgehend in Formeln.

Die Finanzierung war schwierig. Der Verlag rechnete mit einem Verlust von 600 Pfund und übernahm die Hälfte davon, die Royal Society steuerte 200 Pfund bei. Die restlichen 100 Pfund zahlten die Autoren selbst; Russell bemerkte später, sie hätten mit zehn Jahren Arbeit jeder minus 50 Pfund verdient. Ein vierter Band über Geometrie, den Whitehead verfassen sollte, erschien nie.

Aufbau und verzweigte Typentheorie

Die Principia beginnen mit der Aussagenlogik und der Logik der Klassen und Relationen. Darauf bauen sie Kardinalzahlen, Ordinalzahlen, die Arithmetik und Teile der Analysis auf. Um die Antinomien zu vermeiden, verwenden sie eine verzweigte Typentheorie, in der Aussagen nicht nur nach dem Typ ihrer Gegenstände, sondern zusätzlich nach ihrer „Ordnung“ gestuft sind. Das machte das System schwerfällig, denn manche gewöhnliche mathematische Definition ließ sich darin nicht mehr ausdrücken.

Umstrittene Annahmen

Um trotzdem die übliche Mathematik zu gewinnen, brauchten Russell und Whitehead drei Annahmen, deren rein logischer Charakter zweifelhaft ist:

• Reduzierbarkeitsaxiom: Zu jeder Aussagefunktion gibt es eine gleichwertige Funktion der niedrigsten Ordnung. Es hebt die Beschränkungen der verzweigten Typentheorie praktisch wieder auf und galt schon Zeitgenossen als Notbehelf.
• Unendlichkeitsaxiom: Es gibt unendlich viele Individuen. Ohne diese Annahme lassen sich die natürlichen Zahlen nicht vollständig aufbauen; ob die Welt unendlich viele Dinge enthält, ist aber keine Frage der Logik.
• Multiplikatives Axiom: eine Fassung des Auswahlaxioms. Es besagt, dass man aus jeder Familie nichtleerer, paarweise elementfremder Mengen gleichzeitig je ein Element auswählen kann, auch wenn keine Regel für die Auswahl angegeben werden kann.

Die beiden letzten Annahmen führten Russell und Whitehead meist als ausdrückliche Voraussetzungen in den betreffenden Sätzen mit, statt sie als allgemein gültig zu behaupten. In der zweiten Auflage (1925–1927) versuchte Russell, ohne das Reduzierbarkeitsaxiom auszukommen. Frank Ramsey zeigte 1925, dass für die Vermeidung der mengentheoretischen Antinomien eine einfache, nicht verzweigte Typentheorie genügt.

Wurde 1 + 1 = 2 erst auf Seite 379 bewiesen?

Berühmt ist eine Stelle im ersten Band. Satz *54.43 auf Seite 379 zeigt, dass die Vereinigung zweier elementfremder Einermengen genau zwei Elemente hat. Ein Kommentar darunter merkt an, daraus werde folgen, dass 1 + 1 = 2, sobald die arithmetische Addition definiert sei. Ausdrücklich bewiesen wird die Gleichung erst im zweiten Band als Satz *110.643. Die vielen Seiten davor dienen allerdings nicht diesem einen Ziel, sondern dem Aufbau der gesamten Logik, aus der die Arithmetik folgen soll.

Gödel und die Grenzen des Logizismus

1931 veröffentlichte Kurt Gödel seine Arbeit Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Schon der Titel zeigt, welches System er im Blick hatte. Gödel bewies, dass es in jedem widerspruchsfreien formalen System, das die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, Aussagen gibt, die sich darin weder beweisen noch widerlegen lassen. Die Principia konnten also nicht leisten, was man sich von einer vollständigen Grundlegung erhofft hatte: ein System, aus dem sich jede mathematische Wahrheit ableiten lässt. 1936 zeigten Alonzo Church und Alan Turing außerdem, dass kein mechanisches Verfahren für jede logische Formel entscheiden kann, ob sie beweisbar ist.

Trotzdem blieb die Principia einflussreich. Sie bewies, dass sich große Teile der Mathematik in einer exakten formalen Sprache darstellen lassen, und prägte Begriffe und Schreibweisen der Logik. Gödel hatte als Student in Wien im Seminar von Moritz Schlick Russells Introduction to Mathematical Philosophy gelesen; seine Unvollständigkeitsbeweise beziehen sich ausdrücklich auf das System der Principia.

Russell nach der „Principia“: Philosoph, Pazifist, Nobelpreisträger

Schon 1905 hatte Russell mit dem Aufsatz On Denoting seine Kennzeichnungstheorie vorgelegt, ein Musterbeispiel logischer Sprachanalyse: Sie erklärt, wie Sätze über nicht existierende Dinge wie „der gegenwärtige König von Frankreich“ sinnvoll sein können. 1908 wurde Russell in die Royal Society gewählt. Ab 1911 studierte der junge Ludwig Wittgenstein bei ihm in Cambridge und wurde bald einer seiner schärfsten Kritiker.

Im Ersten Weltkrieg trat Russell als entschiedener Pazifist auf. 1916 wurde er wegen eines Flugblatts zugunsten eines Kriegsdienstverweigerers zu einer Geldstrafe verurteilt und verlor daraufhin seine Stelle am Trinity College. 1918 musste er wegen eines kriegskritischen Artikels für sechs Monate ins Gefängnis. Dort schrieb er seine Introduction to Mathematical Philosophy (1919), eine allgemein verständliche Darstellung des Logizismus. Den Pazifismus gab Russell später auf: Im Zweiten Weltkrieg hielt er den Krieg gegen das nationalsozialistische Deutschland für unvermeidlich.

1931 erbte Russell von seinem Bruder den Titel des Earl Russell. Von 1938 bis 1944 lebte er in den USA; eine Berufung an das City College in New York wurde 1940 nach öffentlichen Protesten gegen seine Ansichten über Ehe und Religion durch ein Gerichtsurteil verhindert. 1944 kehrte er an das Trinity College zurück. Seine History of Western Philosophy (1945) wurde ein Welterfolg. 1949 erhielt er den Order of Merit, 1950 den Nobelpreis für Literatur.

Im Atomzeitalter wurde Russell zu einer Leitfigur der Friedensbewegung. 1955 veröffentlichte er gemeinsam mit Albert Einstein das Russell-Einstein-Manifest gegen Atomwaffen, aus dem die Pugwash-Konferenzen hervorgingen. 1958 wurde er erster Präsident der britischen Kampagne für nukleare Abrüstung (CND). 1961 kam er mit 89 Jahren wegen Aufrufs zu zivilem Ungehorsam für eine Woche in Haft. Gegen den Vietnamkrieg initiierte er 1966/67 das sogenannte Russell-Tribunal. Russell starb am 2. Februar 1970 im Alter von 97 Jahren in seinem Haus in Penrhyndeudraeth in Wales an einer Grippe.

Whitehead: vom Logiker zum Metaphysiker

Whitehead verließ Cambridge 1910 und zog nach London, wo er ab 1914 als Professor für angewandte Mathematik am Imperial College lehrte. In dieser Zeit schrieb er die kurze, bis heute gelesene An Introduction to Mathematics (1911) und wandte sich der Philosophie der Naturwissenschaften zu. Der Erste Weltkrieg traf die Familie hart: Der jüngere Sohn Eric fiel 1918 als Pilot über Frankreich. Die gegensätzliche Haltung der beiden Autoren zum Krieg belastete auch ihre Freundschaft, auch wenn sie in Kontakt blieben.

1924 nahm Whitehead mit 63 Jahren einen Ruf auf einen Lehrstuhl für Philosophie an der Harvard University an. Dort entstanden Science and the Modern World (1925) und sein Hauptwerk Process and Reality (1929), das auf seine Gifford Lectures 1927/28 in Edinburgh zurückgeht. Darin entwirft er eine Prozessphilosophie: Die Wirklichkeit besteht nach Whitehead nicht aus unveränderlichen Dingen, sondern aus Ereignissen und Prozessen, die aufeinander aufbauen. Bekannt ist seine Bemerkung, die europäische Philosophie lasse sich am treffendsten als eine Reihe von Fußnoten zu Platon beschreiben. Whitehead wurde 1937 emeritiert, erhielt 1945 den Order of Merit und starb am 30. Dezember 1947 in Cambridge (Massachusetts).

Zeitleiste: Russell und Whitehead

1. 1861 Geburt von Alfred North Whitehead in Ramsgate (15. Februar)
2. 1872 Geburt von Bertrand Russell in Trellech (18. Mai)
3. 1900 Begegnung mit Peano in Paris; Beginn der Zusammenarbeit
4. 1901 Russell entdeckt im Mai die nach ihm benannte Antinomie
5. 1902 Brief an Frege vom 16. Juni; 1903 erscheint Russells The Principles of Mathematics
6. 1910 Erster Band der Principia Mathematica; Band II folgt 1912, Band III 1913
7. 1924 Whitehead wird Professor für Philosophie an der Harvard University
8. 1947 Whitehead stirbt am 30. Dezember in Cambridge (Massachusetts)
9. 1950 Nobelpreis für Literatur an Russell
10. 1970 Russell stirbt am 2. Februar in Wales

Bedeutung heute

Die Russellsche Antinomie steht in jeder Einführung in die Mengenlehre. Sie ist der Grund, warum Mathematikerinnen und Mathematiker heute nicht mit der naiven Vorstellung „jede Eigenschaft bildet eine Menge“ arbeiten, sondern mit axiomatischen Systemen wie ZFC. Auch die Arbeiten von John von Neumann zur Unterscheidung von Mengen und Klassen sind eine Antwort auf dieses Problem.

Die Typentheorie lebt in veränderter Form weiter. Alonzo Church formulierte 1940 eine einfache Typentheorie, aus der Typsysteme von Programmiersprachen und die Logik vieler Beweisassistenten hervorgingen. Mit solchen Programmen lassen sich mathematische Beweise heute vollständig vom Computer überprüfen. Darin lebt die Idee fort, Mathematik in einer exakten formalen Sprache aufzuschreiben.

Russell gilt als einer der Begründer der analytischen Philosophie und als einer der wirkungsvollsten Essayisten des 20. Jahrhunderts. Whiteheads Prozessphilosophie beeinflusste vor allem die Theologie, die Naturphilosophie und Teile der Umweltethik.

Häufige Fragen

Was besagt die Russellsche Antinomie?

Sie betrachtet die Menge R aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Enthält R sich selbst, dann darf R nicht in R liegen; enthält R sich nicht, dann muss R in R liegen. Der Widerspruch zeigt, dass nicht jede Eigenschaft eine Menge bestimmen kann.

Wer schrieb die Principia Mathematica?

Alfred North Whitehead und Bertrand Russell gemeinsam. Die drei Bände erschienen 1910, 1912 und 1913. Nicht zu verwechseln ist das Werk mit Isaac Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica von 1687.

Was ist Logizismus?

Logizismus ist die These, dass sich die Mathematik vollständig auf Logik zurückführen lässt: Alle mathematischen Begriffe sollen logisch definierbar und alle mathematischen Sätze aus logischen Grundsätzen beweisbar sein. Hauptvertreter waren Frege, Russell und Whitehead.

Warum erhielt Russell den Nobelpreis für Literatur?

Das Nobelkomitee würdigte 1950 seine vielseitigen und bedeutenden Schriften, in denen er für humanitäre Ideale und die Freiheit des Denkens eintrat. Russell schrieb über 70 Bücher, viele davon für ein breites Publikum.

Quellen und weiterführende Literatur

• Alfred North Whitehead, Bertrand Russell: Principia Mathematica, 3 Bände, Cambridge University Press, Cambridge 1910–1913.
• Gottlob Frege: Grundgesetze der Arithmetik, Band II, Hermann Pohle, Jena 1903.
• Bertrand Russell: The Autobiography of Bertrand Russell, 3 Bände, George Allen & Unwin, London 1967–1969.
• Ray Monk: Bertrand Russell. The Spirit of Solitude 1872–1921, Jonathan Cape, London 1996.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Russell’s Paradox (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Alfred North Whitehead (englisch)