Das Riemann-Integral

In der Schule ist das Integral „die Fläche unter dem Graphen“, und man rechnet mit Stammfunktionen. In der Analysis I steht am Anfang die Frage, was eine Fläche unter einer krummen Linie überhaupt sein soll, und für welche Funktionen das funktioniert. Die Antwort gibt das Riemann-Integral: Man schließt die Fläche von unten und von oben mit Treppenfiguren ein. Passen beide Näherungen beliebig genau zusammen, hat die Funktion ein Integral.

Die anschauliche Idee mit Rechtecken steht schon auf der Seite Integralrechnung. Hier machst du daraus eine Definition, siehst, welche Funktionen integrierbar sind (stetige und monotone, aber nicht alle), und beweist die drei wichtigen Sätze: Mittelwertsatz der Integralrechnung, Hauptsatz und Rechenregeln. Du brauchst dafür Supremum und Infimum, siehe Reelle Zahlen und Vollständigkeit, und die Stetigkeit.

Zerlegungen, Ober- und Untersummen

Sei $f:[a,b]\to ℝ$ beschränkt. Eine Zerlegung $Z$ von $[a,b]$ besteht aus Punkten $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$. Auf jedem Teilintervall $[x_{i-1},x_i]$ betrachtest du den kleinsten und den größten Funktionswert (genauer: Infimum und Supremum, denn bei unstetigen Funktionen müssen sie nicht angenommen werden):

Die Untersumme und die Obersumme sind die Gesamtflächen der eingeschriebenen und der umschriebenen Rechtecke:

Immer gilt $U(f,Z)\le O(f,Z)$, denn $m_i\le M_i$. Verfeinert man die Zerlegung durch zusätzliche Punkte, so wird die Untersumme größer oder gleich und die Obersumme kleiner oder gleich: Ein hohes Rechteck wird durch zwei niedrigere ersetzt, die das Stück genauer treffen. Daraus folgt der entscheidende Satz: Jede Untersumme ist höchstens so groß wie jede Obersumme, auch wenn sie zu verschiedenen Zerlegungen gehören. Für zwei Zerlegungen $Z_1,Z_2$ nimmt man die gemeinsame Verfeinerung $Z$ und erhält $U(f,Z_1)\le U(f,Z)\le O(f,Z)\le O(f,Z_2)$.

Die Definition des Integrals

Das untere Integral ist das Supremum aller Untersummen, das obere Integral das Infimum aller Obersummen:

Das Supremum und das Infimum existieren, weil die Mengen beschränkt sind (Vollständigkeit!). Die Ungleichung folgt aus dem Satz oben.

Das Kriterium macht Beweise handlich: Du musst das Integral nicht kennen, es genügt, die Obersumme und die Untersumme beliebig nah zusammenzubringen. Eine zweite Beschreibung benutzt Riemann-Summen $\sum f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ mit beliebigen Zwischenstellen ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$. Sie liegen immer zwischen Unter- und Obersumme, also konvergieren sie gegen das Integral, wenn die Breite der Teilintervalle gegen 0 geht. Das ist die Form, die Anwendungen (Arbeit, Masse, Wahrscheinlichkeit) und die numerische Integration benutzen.

Beispiele: integrierbar und nicht integrierbar

Welche Funktionen sind integrierbar?

Beweis. Sei $\epsilon >0$. Eine stetige Funktion auf $[a,b]$ ist nach dem Satz von Heine gleichmäßig stetig: Es gibt $\delta >0$ mit $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon }{b-a}$, wenn $|x-y|<\delta$. Wähle eine Zerlegung mit Teilbreiten unter $\delta$. Auf jedem Teilintervall ist dann $M_i-m_i\le \frac{\epsilon }{b-a}$, und

Nach dem Riemannschen Kriterium ist $f$ integrierbar.

Beweis (für wachsendes $f$). Nimm $n$ gleiche Teile der Breite $\frac{b-a}{n}$. Dann ist $M_i=f(x_i)$ und $m_i=f(x_{i-1})$, und die Summe teleskopiert:

Auch Funktionen, die nur endlich viele Sprungstellen haben und sonst stetig sind, sind integrierbar. Damit sind alle in der Schule vorkommenden Funktionen abgedeckt, auch Treppenfunktionen und abschnittsweise definierte Funktionen wie Betrag oder Gaußklammer.

Rechenregeln für Integrale

Aus der Definition folgen (für integrierbare $f,g$ auf $[a,b]$ und $c\in [a,b]$):

• Linearität: $\int (f+g)=\int f+\int g$ und $\int \lambda f=\lambda \int f$.
• Additivität: ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$.
• Monotonie: Aus $f\le g$ folgt $\int f\le \int g$. Insbesondere gilt $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$ für $m\le f\le M$.
• Dreiecksungleichung: $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b\left|f\right|$. (Auch $\left|f\right|$ ist dann integrierbar.)
• Vertauschte Grenzen: Man setzt ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ und ${\int }_a^{a}f=0$.

Damit sind die Flächenregeln der Schule gedeckt, auch das Vorzeichenverhalten und die Flächenbilanz.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Beweis. Seien $m$ das Minimum und $M$ das Maximum von $f$ auf $[a,b]$ (sie existieren nach dem Satz vom Maximum). Aus $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$ folgt, dass der Mittelwert $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$ zwischen $m$ und $M$ liegt. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt $f$ jeden Wert zwischen $m$ und $M$ an, also auch diesen Mittelwert.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz verbindet die beiden großen Themen der Analysis: Ableiten und Integrieren sind Umkehroperationen. Er hat zwei Teile.

Beweis von Teil 1. Für $h\ne 0$ ist nach der Additivität $F(x+h)-F(x)={\int }_x^{x+h}f(t)dt$. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es ${\xi }_h$ zwischen $x$ und $x+h$ mit

Für $h\to 0$ geht ${\xi }_h\to x$ und wegen der Stetigkeit $f({\xi }_h)\to f(x)$. Also ist $F\prime (x)=f(x)$.

Beweis von Teil 2. Die Funktion $G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ ist nach Teil 1 eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen $F$ und $G$ haben dieselbe Ableitung, also ist $F-G$ nach dem Mittelwertsatz konstant. Es folgt $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)={\int }_a^{b}f-0$.

Grenzen des Riemann-Integrals

Das Riemann-Integral ist bequem, hat aber eine Schwäche: Der Grenzwert einer Folge integrierbarer Funktionen muss nicht integrierbar sein. Zählt man die rationalen Zahlen in $[0,1]$ als $q_1,q_2,\dots$ und setzt $f_n$ gleich 1 an den ersten $n$ Stellen $q_1,\dots ,q_n$, sonst 0, dann ist jedes $f_n$ integrierbar mit Integral 0, der Grenzwert $f=\lim f_n$ ist aber die Dirichlet-Funktion. Diesen Mangel behebt das Lebesgue-Integral (1902), das den Definitionsbereich statt des Wertebereichs zerlegt und mit Maßen arbeitet. Es integriert auch die Dirichlet-Funktion, mit dem Wert 0, weil die rationalen Zahlen eine Nullmenge sind. Für alle stetigen Funktionen und für die Praxis des ersten Studienjahrs genügt das Riemann-Integral. Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen behandelt die Seite Integralrechnung.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von der Ausschöpfung zum Hauptsatz

Schon Archimedes berechnete im 3. Jahrhundert v. Chr. Flächen krummer Figuren, indem er sie mit Vielecken von innen und außen einschloss. Im 17. Jahrhundert entdeckten Newton und Leibniz unabhängig voneinander, dass Integrieren die Umkehrung des Ableitens ist. Geometrische Fassungen des Hauptsatzes finden sich schon bei James Gregory (1668) und Isaac Barrow (1670), einem Lehrer Newtons. Cauchy definierte 1823 das Integral stetiger Funktionen als Grenzwert von Summen. Bernhard Riemann erweiterte das 1854 auf unstetige Funktionen. Darboux fasste den Begriff mit Ober- und Untersummen, und Henri Lebesgue schuf 1902 den allgemeineren Integralbegriff, mit dem die Analysis des 20. Jahrhunderts arbeitet.

Weiter im Studium: Wenn Grenzwert und Integral vertauscht werden sollen oder die Funktion sehr unregelmäßig ist, braucht man das Lebesgue-Integral, siehe Maß und Lebesgue-Integral. Für Funktionen mehrerer Variablen siehe Mehrfachintegrale und Kurvenintegrale.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Riemannsches Integral
• Wikipedia: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin.
• Bernhard Riemann: Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, 1854 (veröffentlicht 1867).
• Gaston Darboux: Mémoire sur les fonctions discontinues, Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4 (1875).