Kegel

Ein Kegel ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche, dessen Rand von allen Seiten gerade zu einem Punkt, der Spitze, hochläuft. Eine Eiswaffel, ein Trichter, ein Hütchen auf der Straße und ein Spitzdach sind Kegel. Meist meint man den geraden Kreiskegel, bei dem die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt.

Der Kegel schließt die Körperserie an Zylinder und Pyramide an. Er hat wie der Zylinder einen Kreis als Grundfläche und wie die Pyramide eine Spitze. Neu ist die Mantellinie, die du mit dem Satz des Pythagoras berechnest, und das Netz, dessen Mantel ein Kreisausschnitt ist (Kreisbogen und Kreisausschnitt).

Aufbau eines Kegels

Der Grundkreis G hat den Radius r und den Mittelpunkt M. Die Spitze S liegt oberhalb der Grundfläche. Die gekrümmte Fläche zwischen Grundkreis und Spitze heißt Mantel. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze zur Grundfläche, also die Strecke SM. Eine Mantellinie s verbindet die Spitze mit einem Punkt auf dem Rand des Grundkreises.

Alle Mantellinien eines geraden Kegels sind gleich lang. Du kannst dir einen Kegel auch als Drehkörper vorstellen: Dreht sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten, entsteht ein Kegel. Die feste Kathete ist die Höhe, die andere der Radius, und die Hypotenuse wird zur Mantellinie.

Die Mantellinie mit Pythagoras

Höhe, Radius und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem s die Hypotenuse ist. Der rechte Winkel liegt im Mittelpunkt M des Grundkreises. Damit gilt:

Netz und Mantel

Schneidest du den Mantel entlang einer Mantellinie auf und klappst ihn flach, entsteht kein Rechteck wie beim Zylinder, sondern ein Kreisausschnitt. Sein Radius ist die Mantellinie s. Seine Bogenlänge ist so groß wie der Umfang des Grundkreises, also $2\pi r$. Das Netz besteht aus diesem Kreisausschnitt und dem Grundkreis.

Aus der Bogenlänge folgt der Mittelpunktswinkel $\alpha$ des Ausschnitts. Der Winkel $\alpha$ steht zu 360° wie die Bogenlänge $2\pi r$ zum vollen Kreisumfang $2\pi s$:

Die Fläche des Kreisausschnitts ist der gleiche Anteil an der Kreisfläche $\pi s^2$. Das ist der Mantel:

Die Oberfläche

Zur Oberfläche gehören der Grundkreis und der Mantel. Eine Deckfläche gibt es nicht, denn der Kegel läuft in einer Spitze zusammen.

Das Volumen

Das Volumen eines Kegels ist ein Drittel von dem des Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe. Das ist dieselbe Drittelregel wie bei der Pyramide. Der Grund ist ähnlich: In der Höhe z hat der Querschnitt des Kegels die Fläche $\pi r^2·{\left(\frac{h-z}{h}\right)}^2$, genau wie bei einer Pyramide mit gleicher Grundfläche. Nach dem Prinzip von Cavalieri haben beide dasselbe Volumen $\frac{1}{3}Gh$.

Rückwärts rechnen

Ist das Volumen oder der Mantel bekannt, stellst du die Formel um: $h=\frac{3V}{\pi r^2}$ und $r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$ beim Volumen, $r=\frac{M}{\pi s}$ beim Mantel.

Der Kegelstumpf

Schneidest du von einem Kegel die Spitze parallel zur Grundfläche ab, bleibt ein Kegelstumpf. Er hat den großen Grundkreis mit Radius R, den kleineren Deckkreis mit Radius r, die Höhe h und die Mantellinie s. Wie beim Pyramidenstumpf rechnest du mit der Differenz aus großem und abgeschnittenem Kegel. Die Formeln dafür:

Anwendungen

Kegel begegnen dir ständig. Bei einer Eistüte interessiert dich das Volumen, bei einem Trichter, wie viel in ihn passt, und bei einem Verkehrshütchen, wie viel Farbe der Mantel braucht.

Auch ein Trichter ist ein Kegel (oder Kegelstumpf mit Rohr), und ein Verkehrshütchen ist meist ein Kegelstumpf. Zum Nachrechnen eignet sich der Volumenrechner, der auch den Kegel kennt.

Ausblick: Kegelschnitte

Schneidest du einen Kegel (genauer: einen Doppelkegel, der nach beiden Seiten unbegrenzt weiterläuft) mit einer Ebene, entstehen je nach Neigung ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Diese Kurven heißen Kegelschnitte. Schon Apollonios von Perge untersuchte sie um 200 v. Chr. Mehr dazu erfährst du auf der Seite Kegelschnitte.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du im Arbeitsblatt Volumen und Oberfläche üben.

Geschichte: Demokrit, Eudoxos, Archimedes

Die Drittelregel für den Kegel ist uralt. Demokrit soll als Erster ausgesprochen haben, dass ein Kegel ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ist. Archimedes berichtet das, schreibt aber, dass Demokrit es nicht bewiesen habe. Den ersten Beweis lieferte Eudoxos mit seiner Ausschöpfungsmethode.

Bei Euklid steht der Satz im 12. Buch der Elemente: In Satz 10 zeigt er, dass jeder Kegel ein Drittel des Zylinders mit derselben Grundfläche und Höhe ist. Euklid definiert den Kegel als Körper, der entsteht, wenn sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete dreht (Buch 11, Definition 18). Archimedes verglich in seinem Werk Über Kugel und Zylinder Kegel, Zylinder und Kugel miteinander.

Häufige Fragen

Wie unterscheiden sich Mantellinie und Höhe?

Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche und geht durch das Innere des Kegels. Die Mantellinie liegt auf dem Mantel und geht schräg zur Spitze. Sie ist länger.

Warum ist das Kegelvolumen genau ein Drittel des Zylinders?

Weil die Querschnittsflächen des Kegels mit dem Abstand zur Spitze quadratisch kleiner werden. Summiert man diese Scheiben, bleibt genau ein Drittel des Zylinders übrig. Das zeigt schon die Rechnung mit der Summe der Quadratzahlen auf der Seite von Demokrit.

Gibt es auch schiefe Kegel?

Ja. Liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt, ist der Kegel schief. Sein Volumen ist trotzdem $\frac{1}{3}Gh$ mit der senkrechten Höhe. Der Mantel ist dann aber nicht mehr so einfach zu berechnen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Kegel (Geometrie)
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book XI (englisch)
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book XII, Proposition 10 (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Archimedes (englisch)