Paul Guldin

Paul Guldin (1577–1643) war ein Schweizer Mathematiker und Astronom, der als Jesuit in Rom, Graz und Wien lehrte. Sein Name lebt in den Guldinschen Regeln fort: Sie sagen, wie man Oberfläche und Rauminhalt eines Körpers findet, der durch Drehen einer Fläche oder Linie entsteht, wenn man den Schwerpunkt kennt. Veröffentlicht hat er sie in seinem Hauptwerk, der Centrobaryca (1635–1641).

In der Mathematik des 17. Jahrhunderts stand Guldin auf der Seite der klassischen Geometrie. Er wollte jeden Satz so beweisen, wie es Euklid und Archimedes getan hatten, und lehnte die neue Methode der Unteilbaren von Bonaventura Cavalieri scharf ab. Bis heute wird gestritten, ob die Regeln wirklich ihm gehören oder schon bei Pappos stehen.

Leben: vom Goldschmied zum Jesuiten

Guldin kam 1577 als Habakuk Guldin in Mels im heutigen Kanton St. Gallen zur Welt. Seine Eltern waren Protestanten. Er lernte das Handwerk des Goldschmieds und arbeitete als Geselle in verschiedenen deutschen Städten. In der zweiten Hälfte der 1590er-Jahre wurde er in Freising nachdenklich über seinen Glauben. 1597 trat er zum Katholizismus über, nahm den Vornamen Paul an und wurde kurz darauf in München Jesuit.

Die Jesuiten erkannten rasch sein Talent und ließen ihn ausbilden. Von 1609 an studierte er am Collegio Romano in Rom bei dem Mathematiker Christoph Clavius und unterrichtete anschließend selbst dort. 1617 ging er an das Jesuitenkolleg in Graz, 1623 wurde er Professor für Mathematik an der Universität Wien. Ab 1629 lehrte er eine Zeit lang am Jesuitengymnasium im schlesischen Sagan, das Wallenstein gegründet hatte, kehrte dann nach Wien zurück und ging 1637 wieder nach Graz. Dort starb er 1643.

Schon in seiner ersten Schrift verteidigte er die gregorianische Kalenderreform seines Lehrers Clavius gegen die Kritik des Seth Calvisius. Gesundheitliche Probleme zwangen ihn zeitweise, das Lehren aufzugeben. Als Jesuit durfte er ungewöhnlicherweise eine eigene Bibliothek behalten. Rund 300 Bände davon besitzt heute die Universitätsbibliothek Graz.

Die Centrobaryca und die Guldinschen Regeln

Guldins Hauptwerk heißt Centrobaryca, gebildet aus lateinisch centrum und griechisch barys („schwer“), und erschien in Wien in vier Bänden. Es behandelt den Schwerpunkt von Linien, Flächen und Körpern und seine Anwendungen.

Der Kern des zweiten Bands sind zwei Regeln. Sie benutzen den Weg, den der Schwerpunkt bei einer Umdrehung um die Achse zurücklegt. Das ist ein Kreis, und seine Länge ist 2π · ρ, wenn ρ der Abstand des Schwerpunkts zur Achse ist.

Mit Beispielen und dem Rechnen mit dem Integral geht es auf der Seite Rotationskörper weiter. Dort steht auch, wie man mit der Guldinschen Regel das Volumen eines Torus (eines Donuts) in einer Zeile findet.

Pappos oder Guldin?

Schon bald fiel auf, dass der Kern der Regeln bei Pappos von Alexandria vorkommt. Dessen Werk war seit 1588 in lateinischer Übersetzung gedruckt, also mehr als 50 Jahre vor Guldins zweitem Band. Der amerikanische Mathematikhistoriker David Eugene Smith hielt es 1926 für unvorstellbar, dass ein Mathematiker wie Guldin diese Stelle nicht kannte. Andere Forscher verwiesen darauf, dass Pappos’ Formulierung vager ist und dass auch andere Zeitgenossen, etwa Kepler, das Prinzip nutzten, ohne Pappos zu nennen.

Der Mathematikhistoriker Ivor Bulmer-Thomas kam 1984 zu einem vermittelnden Urteil. Guldin habe sonst sorgfältig Vorgänger genannt, auch Commandino, Clavius und Regiomontanus. Wäre er sich einer Schuld gegenüber Pappos bewusst gewesen, hätte er sie wohl zugegeben. Möglich sei, dass er die Stelle früher gelesen und vergessen hatte und seine Entdeckung für neu hielt. Bulmer-Thomas sprach ihn deshalb vom Vorwurf bewusster Abschreiberei frei. Heute nennt man die Regeln meist nach Guldin, im Englischen auch Pappus-Guldinus-Satz.

Der Streit mit Cavalieri um die Unteilbaren

Im vierten Band der Centrobaryca (1641) griff Guldin andere Mathematiker an, darunter Cavalieri. Dieser hatte 1635 seine Geometria indivisibilibus veröffentlicht. Er betrachtete darin eine Fläche als Gesamtheit „aller Linien“ und einen Körper als Gesamtheit „aller Ebenen“. Guldin erhob zwei Einwände.

Der erste war ein Plagiatsvorwurf: Cavalieri habe bei Keplers Stereometria Doliorum (1615) und bei einem weiteren Buch von 1630 abgeschrieben. Cavalieri erwiderte, er habe sein Buch vor dem zweiten Werk geschrieben. Ein Körnchen Wahrheit steckte im Vorwurf zu Kepler, denn auch Kepler hatte Kreise als Vielecke aus unendlich vielen kleinen Stücken gedacht. Cavalieris Unteilbare sind aber etwas anderes.

Der zweite Einwand wog schwerer. Guldin hielt dagegen, eine Fläche könne nicht aus Linien bestehen: Eine Linie hat keine Breite, und noch so viele Linien ergeben keine Fläche. Als klassischer Geometer misstraute er jedem Umgang mit dem Unendlichen. Cavalieri antwortete 1647 in den Exercitationes geometricae sex: Er behaupte gar nicht, eine Fläche bestehe aus Linien. Er vergleiche nur „alle Linien“ zweier Figuren miteinander.

Im Rückblick gilt Cavalieri als im Recht, denn seine Methode war ein Vorläufer der Integralrechnung. Guldins Skepsis war trotzdem nützlich: Sie zwang die Neuerer, ihre Verfahren genauer zu begründen. In einem Punkt waren sich beide einig. Beweise durch Widerspruch, wie sie Archimedes oft führte, fanden sie unbefriedigend. Guldin wollte deshalb im vierten Band die Hauptergebnisse des Archimedes zu Kugel und Zylinder „direkt“ aus seinen eigenen Prinzipien beweisen, aus Drehung und Schwerpunkt.

Guldin und Kepler

Zwischen 1618 und 1628 stand Guldin im Briefwechsel mit Johannes Kepler. Zwei Männer aus verfeindeten Lagern, ein Jesuit und ein Protestant, tauschten sich über Astronomie, Geldsorgen und Glauben aus. Guldin hatte Einfluss am kaiserlichen Hof in Wien und half Kepler. 1624 bat Kepler ihn, eine Bittschrift an Kaiser Ferdinand II. weiterzuleiten, die den Druck der Rudolfinischen Tafeln fördern sollte. Guldin besorgte ihm außerdem über seinen Mitbruder Niccolò Zucchi, einen Fernrohrbauer, ein Teleskop.

Erhalten sind elf Briefe von Kepler an Guldin. Von Guldins eigener Seite ist nur ein Brief überliefert, den ein anderer Jesuit in seinem Auftrag schrieb. In seinen letzten Briefen äußerte Kepler Unbehagen darüber, dass Guldin auf einen Übertritt zum Katholizismus hoffte. Danach brach der Briefwechsel um 1628 ab, möglicherweise wegen dieses Unterschieds, möglicherweise aber auch, weil Kepler nach Sagan zu Wallenstein zog und Guldins Hilfe nicht mehr brauchte.

Zeitleiste: Paul Guldins Leben

1. 1577 Geburt als Habakuk Guldin in Mels am 12. Juni
2. 1597 Übertritt zum Katholizismus, Namensänderung zu Paul, Eintritt bei den Jesuiten in München
3. 1609 Studium am Collegio Romano in Rom bei Christoph Clavius
4. 1617 Lehrer am Jesuitenkolleg in Graz
5. 1623 Professor der Mathematik in Wien
6. 1635 Erster Band der Centrobaryca
7. 1640 Zweiter Band mit den Guldinschen Regeln
8. 1641 Dritter und vierter Band, Angriff auf Cavalieri
9. 1643 Tod in Graz am 3. November

Bedeutung und Nachwirkung

Guldins Name steht heute für die Regeln, die in der Oberstufe zu den Rotationskörpern gelernt werden. Sie sind ein kurzer Weg, um Volumen zu berechnen, wenn man den Schwerpunkt kennt. Historisch ist er zugleich ein Beispiel für den Übergang von der strengen antiken Geometrie zu den neuen Methoden mit dem Unendlich Kleinen. Die Auseinandersetzung mit Cavalieri zeigt, wie hart damals um die Frage gerungen wurde, was in der Mathematik als Beweis gilt.

Quellen und weiterführende Literatur

• Paul Guldin: Centrobaryca seu de centro gravitatis trium specierum quantitatis continuae, 4 Bände, Wien 1635–1641.
• Paolo Mancosu: Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, Oxford University Press, New York 1996.
• Ivor Bulmer-Thomas: Guldin’s Theorem, or Pappus’s? In: Isis 75 (1984), S. 348–352.
• Detlef Gronau: Paulus Guldin, 1577–1643, Jesuit und Mathematiker. In: Franz Pichler, Michael von Renteln (Hrsg.): Kosmisches Wissen von Peuerbach bis Laplace, Trauner, Linz 2009, S. 101–120.
• MacTutor History of Mathematics: Paul Guldin (englisch)
• Wikipedia: Paul Guldin