Funktionentheorie: Residuen, Kreisintegrale und Cauchy-Riemann-Gleichungen

Hier übst du das Rechnen mit holomorphen Funktionen. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt. Komplexe Zahlen übst du auf dem Blatt Komplexe Zahlen.

Das brauchst du

• Einfacher Pol: Res_a f = lim (z − a) f(z). Bei f = g/h mit h(a) = 0 ist es g(a)/h′(a).
• Pol zweiter Ordnung: Res_a f = d/dz [(z − a)² f(z)] bei z = a.
• Residuensatz: ∮ f dz = 2πi · Σ Res, summiert über die Pole im Inneren der Kurve. Der Kreis läuft gegen den Uhrzeigersinn.
• Cauchy-Riemann: Für f = u + iv gilt u_x = v_y und u_y = −v_x.
• Integralformel: (1/2πi) ∮ g(z)/(z − z₀) dz = g(z₀) und (1/2πi) ∮ g(z)/(z − z₀)² dz = g′(z₀), wenn z₀ im Kreis liegt, sonst 0.
• Reelle Integrale: Schließe den Weg mit einem Halbkreis in der oberen Halbebene und sammle die Residuen der Pole mit positivem Imaginärteil ein.

Alles steht auf der Seite Funktionentheorie bei den Cauchy-Riemann-Gleichungen, der Integralformel, den Residuen und dem Residuensatz.