Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen

Eine Funktionenfolge $(f_n)$ ordnet jedem $n$ eine Funktion $f_n$ zu, zum Beispiel $f_n(x)=x^n$. Ob sie „gegen eine Funktion $f$ konvergiert“, kann man auf zwei Arten verstehen. Man kann an jeder Stelle $x$ einzeln den Grenzwert der Zahlenfolge $f_n(x)$ bilden (punktweise), oder man verlangt, dass der größte Abstand zwischen $f_n$ und $f$ über alle $x$ gleichzeitig gegen 0 geht (gleichmäßig). Der Unterschied entscheidet, ob Stetigkeit, Integral und Ableitung beim Grenzübergang erhalten bleiben.

Hier lernst du beide Begriffe an Beispielen, die wichtigen Sätze mit Beweis, Funktionenreihen mit dem Weierstraß-Kriterium und Potenzreihen mit Konvergenzradius. Die Grundlagen zu Zahlenreihen stehen auf der Seite Reihen und Konvergenzkriterien, die Taylorreihen als wichtigste Anwendung auf der Seite Taylorreihen.

Punktweise Konvergenz

Das $N$ darf also von $x$ abhängen. Das ist der entscheidende Punkt, der später zu Problemen führt.

Gleichmäßige Konvergenz

Jetzt hängt $N$ nicht mehr von $x$ ab. Geometrisch liegt der Graph von $f_n$ für alle großen $n$ komplett in einem Schlauch der Breite $\epsilon$ um den Graphen von $f$. Gleichmäßige Konvergenz ist stärker als punktweise. Zum Prüfen berechnet man das Supremum des Abstands.

Zur dritten Zeile: Für $x$ nahe bei 1 ist $x^n$ nahe bei 1, obwohl der Grenzwert 0 ist. Zu jedem $n$ findest du ein $x<1$ mit $x^n=\frac{1}{2}$, nämlich $x=2^{-1/n}$. Also ist das Supremum des Abstands nicht klein, und es fehlt jede Gleichmäßigkeit.

Stetigkeit der Grenzfunktion

Beweis (mit der $\epsilon /3$-Methode). Sei $a\in D$ und $\epsilon >0$. Wähle $n$ so groß, dass $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{3}$ für alle $x\in D$ gilt. Wegen der Stetigkeit von $f_n$ in $a$ gibt es ein $\delta >0$ mit $|f_n(x)-f_n(a)|<\frac{\epsilon }{3}$ für $|x-a|<\delta$. Für solche $x$ folgt

Die Folge $x^n$ auf $[0,1]$ zeigt, dass die Voraussetzung wesentlich ist. Der Satz ist auch der Grund dafür, dass der Raum $C[a,b]$ der stetigen Funktionen mit dem Abstand $\Vert f-g{\Vert }_{\infty }$ vollständig ist.

Grenzwert, Integral und Ableitung vertauschen

Beweis. Es ist $|{\int }_a^b{f}_n-{\int }_a^{b}f|\le {\int }_a^b|f_n-f|\le (b-a)\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\to 0$.

Für die Ableitung genügt gleichmäßige Konvergenz der $f_n$ nicht: $f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{n}$ konvergiert gleichmäßig gegen 0, aber $f_n^{\prime }(x)=\cos (nx)$ konvergiert nicht. Es gilt dagegen: Sind die $f_n$ auf $[a,b]$ differenzierbar, konvergiert $f_n(x_0)$ für ein $x_0$ und die Folge der Ableitungen $f_n^{\prime }$ gleichmäßig auf $[a,b]$, so konvergiert $(f_n)$ gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion $f$, und es gilt $f^{\prime }=\lim f_n^{\prime }$.

Funktionenreihen und das Weierstraß-Kriterium

Eine Funktionenreihe $\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k(x)$ ist die Folge der Partialsummen $s_n(x)=\sum _{k=0}^n{f}_k(x)$. Sie konvergiert (punktweise oder gleichmäßig), wenn $(s_n)$ es tut. Für Zahlenreihen gab es das Majorantenkriterium. Das Gegenstück für Funktionen lautet:

Beweis. Für jedes $x$ konvergiert $\sum f_k(x)$ absolut nach dem Majorantenkriterium, hat also eine Summe $s(x)$. Der Rest erfüllt $|s(x)-s_n(x)|\le \sum _{k>n}|f_k(x)|\le \sum _{k>n}{M}_k$, und das ist die Restsumme einer konvergenten Zahlenreihe, geht also gegen 0, unabhängig von $x$.

Potenzreihen und Konvergenzradius

Eine Potenzreihe hat die Form $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ (oder $\sum a_k{(x-x_0)}^k$ mit dem Entwicklungspunkt $x_0$). Sie ist die einfachste Funktionenreihe und kommt überall vor: Exponentialfunktion, Sinus, Kosinus, Logarithmus und Taylorreihen sind Potenzreihen.

Die Formel folgt aus dem Wurzelkriterium: $\sqrt[k]{\left|a_k{x}^k\right|}=\left|x\right|\sqrt[k]{\left|a_k\right|}$. Die Reihe konvergiert also, wenn $\left|x\right|·\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[k]{\left|a_k\right|}<1$ ist, und sie divergiert, wenn dieser Wert größer als 1 ist. Die gleichmäßige Konvergenz auf $[-r,r]$ ergibt sich mit dem Weierstraß-Kriterium, denn $\left|a_k{x}^k\right|\le \left|a_k\right|r^k$, und $\sum \left|a_k\right|r^k$ konvergiert für $r<R$. Was an den Randpunkten $x=\pm R$ passiert, muss man gesondert prüfen.

Gliedweise differenzieren und integrieren

Man rechnet mit Potenzreihen also wie mit Polynomen. Das macht sie zu einem mächtigen Werkzeug.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: aus einem Fehler wird ein Begriff

Im 18. Jahrhundert rechnete man mit Reihen sehr großzügig. Cauchy stellte in seinem Cours d’analyse (1821) Kriterien für die Konvergenz von Zahlenreihen auf, behauptete aber auch, dass die Summe einer Reihe stetiger Funktionen stetig sei. Abel erkannte 1826 die Lücke an einem Gegenbeispiel. Bei seinem Lehrer Christoph Gudermann fand Karl Weierstraß den Begriff schon 1838 angedeutet. Er schrieb ihn 1841 in der Arbeit „Zur Theorie der Potenzreihen“ auf, die erst 1894 gedruckt wurde. Stokes bewies 1847 unabhängig, dass die Grenzfunktion bei gleichmäßiger Konvergenz stetig bleibt, und auch Seidel kam zu diesem Ergebnis. Die Formel für den Konvergenzradius veröffentlichte Cauchy 1821. Sie blieb lange wenig bekannt, bis Jacques Hadamard sie 1888 wiederentdeckte und in seiner Dissertation von 1892 aufgriff.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Gleichmäßige Konvergenz
• Wikipedia: Potenzreihe
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin.
• Augustin-Louis Cauchy: Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique, Paris 1821.