Paul Cohen

Paul Cohen (1934–2007) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der 1963 eine der berühmtesten offenen Fragen der Mathematik klärte: die Kontinuumshypothese von Georg Cantor. Er bewies, dass sie sich aus den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (kurz ZFC), auf denen fast die gesamte heutige Mathematik ruht, weder beweisen noch widerlegen lässt. Zusammen mit einem Ergebnis von Kurt Gödel aus dem Jahr 1938 war damit das erste der 23 Probleme, die David Hilbert im Jahr 1900 gestellt hatte, auf unerwartete Weise beantwortet.

Für diesen Beweis erfand Cohen eine völlig neue Technik, das Forcing, mit der man gezielt neue „Modelle“ der Mengenlehre konstruieren kann. Er erhielt dafür 1966 die Fields-Medaille. Bemerkenswert ist, dass Cohen kein gelernter Logiker war: Bekannt geworden war er als Analytiker, und nach seinem Triumph wandte er sich jahrzehntelang der Riemannschen Vermutung zu.

Herkunft und Ausbildung in New York und Chicago

Paul Joseph Cohen wurde am 2. April 1934 in Long Branch an der Küste New Jerseys geboren. Seine Eltern Abraham und Minnie Cohen waren jüdische Einwanderer aus Polen; aufgewachsen ist er in Brooklyn. Schon als Kind fiel Paul durch seine mathematische Begabung auf. Er besuchte die Stuyvesant High School in Manhattan, eine der bekanntesten Begabtenschulen New Yorks, und schloss sie 1950 mit 16 Jahren ab.

Danach studierte er drei Jahre am Brooklyn College, wechselte aber ohne Abschluss an die University of Chicago, damals eines der führenden Mathematikzentren der Welt. Dort erwarb er 1954 den Master. Zunächst interessierte er sich für Zahlentheorie und hörte unter anderem bei André Weil. Schließlich promovierte er 1958 bei dem Analytiker Antoni Zygmund mit einer Arbeit über die Eindeutigkeit trigonometrischer Reihen.

Das Thema hat eine bemerkenswerte Vorgeschichte. Eine trigonometrische Reihe stellt eine Funktion als unendliche Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen dar, wie es Joseph Fourier für die Wärmeleitung vorgeschlagen hatte. Die Frage, ob eine solche Darstellung eindeutig ist, hatte um 1870 auch Georg Cantor untersucht. Dabei stieß er auf Punktmengen mit merkwürdigen Eigenschaften, und aus diesen Überlegungen erwuchs seine Mengenlehre. Cohen kam also über dieselbe Tür zur Analysis, durch die Cantor einst zur Mengenlehre gelangt war.

Frühe Erfolge in der Analysis

Nach der Promotion lehrte Cohen ein Jahr an der University of Rochester und ein Jahr am Massachusetts Institute of Technology. Von 1959 bis 1961 forschte er am Institute for Advanced Study in Princeton; 1961 ging er an die Stanford University, die ihn 1964 zum ordentlichen Professor ernannte. Er blieb ihr bis an sein Lebensende verbunden.

In diesen Jahren löste Cohen mehrere Probleme der harmonischen Analyse, also des Teilgebiets, das Funktionen in Schwingungen zerlegt. 1959 beantwortete er eine Frage von Walter Rudin über die Faktorisierung in sogenannten Gruppenalgebren. 1960 gelang ihm ein Durchbruch bei einer Vermutung von John Edensor Littlewood. Sie besagt, dass eine Summe von N Schwingungen mit verschiedenen ganzzahligen Frequenzen im Mittel mindestens so groß ist wie ein fester Bruchteil von log N. Cohen bewies als Erster überhaupt eine mit N wachsende untere Schranke; die volle Vermutung wurde erst 1981 bewiesen. Für diese Arbeit erhielt er 1964 den Bôcher-Preis der American Mathematical Society, eine der wichtigsten Auszeichnungen für Analysis.

Das Problem: Cantors Kontinuumshypothese

Georg Cantor hatte in den 1870er-Jahren entdeckt, dass Unendlich nicht gleich Unendlich ist. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn man ihre Elemente eins zu eins einander zuordnen kann. Die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und sogar die Brüche sind in diesem Sinn gleich groß: Man kann sie durchnummerieren, sie sind abzählbar. Ihre Mächtigkeit bezeichnet man mit ℵ₀ (gesprochen „Aleph null“). Die reellen Zahlen dagegen, also alle Punkte der Zahlengeraden, bilden eine echt größere Menge, das „Kontinuum“. Das zeigte Cantor 1874 und noch eleganter 1891 mit seinem Diagonalverfahren. Die Mächtigkeit des Kontinuums schreibt man als 2^ℵ₀.

Daraus ergab sich eine naheliegende Frage: Gibt es eine Menge reeller Zahlen, die mächtiger ist als die natürlichen Zahlen, aber weniger mächtig als das Kontinuum? Cantor vermutete 1878, dass es eine solche Zwischengröße nicht gibt.

Wichtig ist, dass es um die Mächtigkeit geht, nicht um die Lage auf der Zahlengeraden. Die rationalen Zahlen liegen zwar überall „zwischen“ den natürlichen und den reellen Zahlen, sind aber abzählbar und damit keine Zwischengröße. Cantor versuchte jahrelang vergeblich, seine Vermutung zu beweisen. Hilbert setzte sie 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris an die Spitze seiner berühmten Problemliste.

Die Axiome der Mengenlehre und Gödels halbe Antwort

Um 1900 geriet die junge Mengenlehre in eine Krise. Bertrand Russell fand 1901 einen Widerspruch in der naiven Vorstellung, jede Eigenschaft definiere eine Menge: Die „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“ kann es nicht geben (mehr dazu bei Russell und Whitehead). Die Antwort war eine Axiomatisierung. Ernst Zermelo legte 1908 ein Axiomensystem vor, das Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem 1922 um das Ersetzungsaxiom ergänzten. Dieses System heißt Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF).

Eine Sonderrolle spielt das Auswahlaxiom, das Zermelo schon 1904 formuliert hatte: Zu jeder Familie nichtleerer Mengen gibt es eine Funktion, die aus jeder dieser Mengen ein Element auswählt. Russell veranschaulichte es mit Schuhen und Socken: Aus unendlich vielen Schuhpaaren kann man ohne Weiteres jeweils den linken Schuh wählen; bei unendlich vielen Sockenpaaren, deren Socken sich nicht unterscheiden, braucht man dafür das Axiom. Das Auswahlaxiom hat auch seltsame Folgen und war deshalb lange umstritten. ZF zusammen mit ihm heißt ZFC (C für choice, Auswahl).

Kurt Gödel lieferte 1938 die erste Hälfte der Antwort auf Hilberts Frage. Er konstruierte innerhalb jedes Modells der Mengenlehre eine besonders sparsame Teilwelt, das konstruierbare Universum L, in der nur Mengen vorkommen, die sich Schritt für Schritt definieren lassen. In L gelten alle Axiome von ZFC und zusätzlich die Kontinuumshypothese. Daraus folgt: Wenn ZF widerspruchsfrei ist, dann kann man die Kontinuumshypothese mit den Axiomen von ZFC nicht widerlegen. Seine Monografie dazu erschien 1940. Offen blieb, ob man sie beweisen kann. Gödel selbst arbeitete in den 1940er-Jahren an dieser zweiten Hälfte, veröffentlichte aber keine Lösung. Er war überzeugt, dass die Kontinuumshypothese in Wahrheit falsch ist und dass die Axiome einfach nicht ausreichen, um das zu zeigen.

Forcing: Wie Cohen neue mathematische Welten baute

Cohen kam als Außenseiter zur Logik. Ende 1962 begann er, sich intensiv mit den Grundlagen der Mathematik zu beschäftigen. Im Frühjahr 1963, nach nur wenigen Monaten, hatte er den entscheidenden Einfall.

Die Grundidee

Cohen ging von einem „kleinen“ Modell M der Mengenlehre aus, einer Ansammlung von Mengen, in der alle Axiome von ZFC gelten. Diesem Modell fügte er eine neue Menge G hinzu, ähnlich wie man den rationalen Zahlen die Zahl √2 hinzufügt und so einen größeren Zahlbereich erhält. Das erweiterte Modell M[G] besteht aus allem, was sich aus M und G konstruieren lässt.

Die Kunst liegt in der Wahl von G. Cohen baute G aus endlichen Informationsstücken auf, sogenannten Bedingungen, von denen jedes nur einen winzigen Teil von G festlegt. G ist generisch gewählt: so „typisch“, dass es keine besondere Eigenschaft hat, die nicht schon von endlich vielen Bedingungen erzwungen wird. Für diese Beziehung zwischen Bedingungen und Aussagen über M[G] führte Cohen den Begriff „to force“ (erzwingen) ein, daher der Name. Der eigentliche Kniff: Ob eine Aussage im neuen Modell gelten wird, lässt sich bereits im alten Modell M entscheiden, obwohl G dort gar nicht vorkommt. So konnte Cohen nachweisen, dass M[G] wieder alle Axiome von ZFC erfüllt.

Das Ergebnis von 1963

Um die Kontinuumshypothese zu verletzen, fügte Cohen dem Modell nicht nur eine, sondern ℵ₂ viele neue reelle Zahlen hinzu, die man heute „Cohen-reelle Zahlen“ nennt. Er musste zeigen, dass die Erweiterung die Rangfolge der unendlichen Größen nicht durcheinanderbringt. Dann hat das Kontinuum in M[G] mindestens die Mächtigkeit ℵ₂, die Kontinuumshypothese ist dort also falsch. Mit einer Abwandlung der Methode baute er zudem ein Modell von ZF, in dem das Auswahlaxiom nicht gilt. Damit stand fest:

• Die Kontinuumshypothese ist von ZFC unabhängig: weder beweisbar noch widerlegbar (vorausgesetzt, ZF ist widerspruchsfrei).
• Das Auswahlaxiom ist von ZF unabhängig.

Weil Cohens Methode so neu war, legte er den Beweis Kurt Gödel vor. Gödel prüfte ihn, lobte ihn in einem Brief als vorzüglich und reichte die beiden Mitteilungen The Independence of the Continuum Hypothesis bei den Proceedings of the National Academy of Sciences ein, wo sie im Dezember 1963 und Januar 1964 erschienen.

Fields-Medaille 1966 und spätere Jahre

1966 erhielt Cohen auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Moskau die Fields-Medaille, gemeinsam mit Michael Atiyah, Alexander Grothendieck und Stephen Smale. Im selben Jahr erschien sein Buch Set Theory and the Continuum Hypothesis. 1967 wurde ihm die National Medal of Science verliehen, die höchste wissenschaftliche Auszeichnung der USA. Die Fields-Medaille für ein Ergebnis der mathematischen Logik ist bis heute eine große Ausnahme geblieben.

Cohen kehrte danach nicht dauerhaft zur Logik zurück. 1969 veröffentlichte er ein vielbeachtetes Entscheidungsverfahren für Aussagen über reelle und p-adische Zahlen. Vor allem aber widmete er sich der Riemannschen Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion von Bernhard Riemann, dem wichtigsten offenen Problem der Zahlentheorie und Teil von Hilberts achtem Problem. Er arbeitete jahrzehntelang daran, ohne eine Lösung zu veröffentlichen. Sein bekanntester Doktorand, Peter Sarnak, wurde einer der führenden Zahlentheoretiker der Gegenwart.

Kollegen beschrieben Cohen als ungeduldig, ehrgeizig und von großer Breite. Er sprach mehrere Sprachen, darunter Schwedisch (seine Frau Christina stammte aus Schweden), und musizierte gern. Cohen starb am 23. März 2007 in Stanford an einer seltenen Lungenerkrankung.

Zeitleiste: Paul Cohens Leben

1. 1934 Geburt am 2. April in Long Branch (New Jersey)
2. 1950 Abschluss der Stuyvesant High School, Studium am Brooklyn College
3. 1954 Master an der University of Chicago
4. 1958 Promotion bei Antoni Zygmund über trigonometrische Reihen
5. 1959–1961 Institute for Advanced Study in Princeton
6. 1961 Wechsel an die Stanford University
7. 1963 Erfindung des Forcing; Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese
8. 1964 Bôcher-Preis; ordentlicher Professor in Stanford
9. 1966 Fields-Medaille in Moskau
10. 2007 Tod am 23. März in Stanford

Bedeutung heute: Forcing und die Grenzen der Axiome

Das Forcing wurde in kurzer Zeit zum wichtigsten Werkzeug der Mengenlehre. Mit ihm zeigten Mathematiker die Unabhängigkeit zahlreicher weiterer Aussagen, auch außerhalb der Logik. Ein Beispiel ist das Whitehead-Problem aus der Algebra, von dem Saharon Shelah 1974 bewies, dass es in ZFC unentscheidbar ist. Robert Solovay konstruierte 1970 mit Forcing eine Welt ohne volles Auswahlaxiom, in der jede Menge reeller Zahlen Lebesgue-messbar ist, also ein wohldefiniertes Maß hat. Längst gibt es ausgefeilte Varianten der Methode, die in jedem Lehrbuch der Mengenlehre stehen.

Philosophisch hat Cohens Ergebnis die Grenzen der axiomatischen Methode deutlich gemacht, ähnlich wie Gödels Unvollständigkeitssätze. Gödels unentscheidbare Sätze waren eigens konstruiert; die Kontinuumshypothese dagegen ist eine ganz natürliche Frage, die Mathematiker seit 1878 stellten. Ob sie trotzdem einen bestimmten Wahrheitswert hat, ist bis heute umstritten. Gödel hielt sie für falsch, und auch Cohen schrieb, sie werde eines Tages vielleicht als „offensichtlich falsch“ gelten. Andere halten die Frage für prinzipiell offen und sprechen von einem „Multiversum“ gleichberechtigter Mengenwelten.

Wer sich mit den Grundbegriffen vertraut machen will, findet sie auf der Lernseite zur Mengenlehre; den historischen Rahmen beschreibt der Artikel über die Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis. In: Proceedings of the National Academy of Sciences 50 (1963), S. 1143–1148; Teil II in Band 51 (1964), S. 105–110.
• Paul J. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin, New York 1966 (Nachdruck Dover 2008).
• Kurt Gödel: The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press, Princeton 1940.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. 3. Auflage, Springer, Berlin 2010.
• MacTutor History of Mathematics: Paul Joseph Cohen (englisch)