Polynomdivision-Rechner: schriftlich, mit Horner-Schema und Probe

So benutzt du den Rechner

Trage oben den Dividenden ein, also das Polynom, das geteilt wird, und darunter den Divisor. Potenzen schreibst du mit ^, zum Beispiel 2x^3 + 3x^2 − 5. Der Rechner zeigt den Quotienten, den Rest, jeden Rechenschritt, das Schema wie im Heft und eine Probe. Ist der Divisor vom ersten Grad, etwa x − 1 oder 2x + 3, erscheint zusätzlich das Horner-Schema.

So funktioniert die Polynomdivision

Die Polynomdivision läuft genauso ab wie die schriftliche Division von Zahlen, nur mit Potenzen von x statt mit Ziffern. In jeder Runde wiederholen sich drei Schritte:

1. Teilen: den höchsten Term des Rests durch den höchsten Term des Divisors teilen. Das Ergebnis ist der nächste Term des Quotienten.
2. Zurückmultiplizieren: diesen Term mit dem ganzen Divisor multiplizieren.
3. Abziehen: das Produkt vom bisherigen Rest abziehen. Der höchste Term fällt dabei weg.

Das geht so lange, bis der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor.

Division mit Rest

Nicht jede Polynomdivision geht auf. Bei (2x³ + 3x² − 5) : (x + 2) erhält man den Quotienten 2x² − x + 2 und den Rest −9. Man schreibt das Ergebnis als

Der Rest beim Teilen durch x − a ist immer der Funktionswert an der Stelle a. Hier ist a = −2, und tatsächlich gilt f(−2) = 2 · (−8) + 3 · 4 − 5 = −9. Das ist der Satz vom Rest. Ist der Rest 0, dann ist a eine Nullstelle und x − a ein Faktor (Faktorsatz).

Das Horner-Schema

Für Divisoren der Form x − a gibt es eine kürzere Rechnung. Man schreibt nur die Koeffizienten auf, holt den ersten herunter, multipliziert ihn mit a, addiert das Ergebnis zur nächsten Spalte und so weiter. Die untere Zeile enthält am Ende die Koeffizienten des Quotienten und ganz rechts den Rest.

Wozu braucht man die Polynomdivision?

• Nullstellen finden: Kennt man eine Nullstelle einer kubischen Funktion, spaltet man den Linearfaktor ab und löst die übrig bleibende quadratische Gleichung. So arbeitet auch der Gleichungslöser.
• Asymptoten bestimmen: Bei gebrochenrationalen Funktionen liefert der Quotient die Asymptote, an die sich der Graph für große x anschmiegt. Das Diagramm des Rechners zeigt genau das, wenn die Division nicht aufgeht.
• Integrieren: Vor dem Integrieren eines Bruchs aus Polynomen zerlegt man ihn in einen Polynomteil und einen echten Bruch.

Häufige Fragen