Pappos von Alexandria

Pappos von Alexandria war ein griechischer Mathematiker und Astronom, der im 4. Jahrhundert n. Chr. in Alexandria lebte. Er gilt als einer der letzten bedeutenden Mathematiker der Antike. Große neue Theorien entwickelte er nach heutigem Urteil nicht. Seine Stärke war, das vorhandene Wissen zu beherrschen, zu ordnen, zu kommentieren und mit eigenen Sätzen zu ergänzen. Sein Hauptwerk, die Synagoge („Sammlung“, lateinisch Collectio), umfasst acht Bücher und ist eine der wichtigsten Quellen für die griechische Geometrie.

Das Werk bewahrt Ergebnisse von Euklid, Apollonios und Archimedes, deren eigene Schriften teilweise verloren gingen. Außerdem enthält es einen Satz über Sechsecke, der zu den Grundsteinen der projektiven Geometrie zählt. Pappos steht am Ende der Hellenistischen Mathematik, in der Spätantike, in der man mehr sammelte und erklärte als entdeckte. Etwa zur selben Zeit lehrten in Alexandria auch Theon und seine Tochter Hypatia.

Leben: Was man über Pappos weiß

Über das Leben von Pappos ist so gut wie nichts bekannt. Fast alles, was man weiß, stammt aus seinen eigenen Schriften. Er lebte in Alexandria und lehrte dort. Seine Bücher VII und VIII richtet er an einen Hermodoros. Die Quellen widersprechen sich über die Zeit, in der er wirkte. Ein Lexikon des 10. Jahrhunderts, die Suda, nennt Kaiser Theodosius I. (379 bis 395). Eine Randnotiz in einer Handschrift des 10. Jahrhunderts nennt dagegen Kaiser Diokletian (284 bis 305). Ältere Darstellungen folgten deshalb oft dieser früheren Datierung.

Gesichert ist ein anderes Datum: In seinem Kommentar zum Almagest berechnet Pappos eine Sonnenfinsternis, die in Alexandria am 18. Oktober 320 stattfand. Pappos war also um 320 wissenschaftlich tätig. Wann er geboren wurde und wann er starb, bleibt dagegen Schätzung. In diesem Artikel steht deshalb „um“ vor den Lebensjahren.

Die Synagoge: eine Sammlung der griechischen Geometrie

Die Synagoge ist kein Lehrbuch, das von vorn nach hinten aufgebaut ist. Jedes Buch hat ein eigenes Vorwort und oft einen kurzen geschichtlichen Rückblick. Pappos fasst ältere Ergebnisse zusammen, erklärt sie, verbessert Beweise und fügt Hilfssätze und eigene Sätze hinzu. Das Werk ist als Handreichung gedacht, die man neben den Originalen liest. Erhalten sind die Bücher III bis VIII und der Schluss von Buch II. Buch I ist verloren.

In Buch IV ordnet Pappos die Aufgaben der Geometrie in drei Klassen: ebene Probleme, die mit Lineal und Zirkel lösbar sind, räumliche Probleme, für die man Kegelschnitte braucht, und lineare Probleme, für die man andere Kurven wie Spiralen oder die Quadratrix braucht. Die Einteilung zeigt, wie die Griechen Aufgaben nach den benötigten Hilfsmitteln ordneten.

Der Satz von Pappos

Berühmt ist ein Satz aus Buch VII, den Pappos als Hilfssatz zu Euklids Porismen beweist, einem verlorenen Werk. Er betrifft zwei Geraden und sechs Punkte. Auf der einen Geraden liegen drei Punkte A, B, C, auf der anderen drei Punkte a, b, c. Man verbindet kreuzweise: A mit b und a mit B, A mit c und a mit C, B mit c und b mit C. Jedes Paar solcher Verbindungslinien schneidet sich in einem Punkt.

Das Bemerkenswerte: Der Satz spricht nur von Punkten, Geraden und Schnittpunkten, nicht von Längen oder Winkeln. Er bleibt deshalb richtig, wenn man die Figur wie auf einem Schattenbild verzerrt. Genau solche Sätze untersuchte die projektive Geometrie, die im 17. Jahrhundert mit Girard Desargues begann. Blaise Pascal fand 1640 eine Verallgemeinerung für Sechsecke in Kegelschnitten, den Satz von Pascal. Der Satz von Pappos ist der Sonderfall, in dem der Kegelschnitt in zwei Geraden zerfällt. Daher spricht man in der Literatur auch vom Satz von Pappos-Pascal.

Das Problem des Pappos

In Buch VII steht außerdem eine Aufgabe über geometrische Orte. Gegeben sind mehrere Geraden. Gesucht sind alle Punkte, deren Abstände zu diesen Geraden eine bestimmte Bedingung erfüllen: Das Produkt einiger Abstände steht in einem festen Verhältnis zum Produkt der übrigen. Für drei oder vier Geraden ist der gesuchte Ort ein Kegelschnitt. Für mehr Geraden fanden die antiken Mathematiker keine Lösung.

Die Aufgabe wurde nach mehr als 1300 Jahren berühmt. René Descartes wählte sie 1637 als Prüfstein für seine analytische Geometrie: Mit Koordinaten und Gleichungen gelang ihm, was den Griechen verschlossen geblieben war. Auch Newton beschäftigte sich mit ihr.

Bienenwaben und der Kreis

Das Vorwort zu Buch V beginnt mit einem Lob der Bienen. Sie bauen ihre Waben aus Sechsecken. Pappos erklärt, die Bienen wüssten nur das, was ihnen nütze: Ein Sechseck fasst mehr Honig als ein Quadrat oder ein Dreieck, wenn man gleich viel Wachs verbraucht. Er selbst wolle als Mensch ein weiteres Problem untersuchen. Von allen ebenen Figuren mit gleichem Umfang hat diejenige mit mehr Ecken die größere Fläche, und die größte von allen ist der Kreis.

Im Buch behandelt er auch die Frage im Raum. Pappos beweist, dass die Kugel ein größeres Volumen hat als jeder regelmäßige Körper mit gleicher Oberfläche. Dieses Ergebnis geht auf den Mathematiker Zenodoros zurück. Dass Sechsecke die Ebene tatsächlich am sparsamsten in gleich große Zellen teilen, bewies erst 1999 der amerikanische Mathematiker Thomas Hales. Mehr dazu steht im Beitrag Warum Schneeflocken sechs Ecken haben.

Schwerpunktregeln: Pappos oder Guldin?

Ebenfalls in Buch VII steht, nach heutiger Auffassung, die Regel, mit der man den Rauminhalt von Rotationskörpern aus dem Schwerpunkt der erzeugenden Fläche berechnet. Sie lautet in heutiger Sprache: Das Volumen ist die Fläche mal der Weg, den ihr Schwerpunkt bei der Drehung zurücklegt. Mehr zur Regel steht bei den Rotationskörpern.

Bekannt wurde sie unter dem Namen von Paul Guldin, der sie 1640 in seiner Centrobaryca veröffentlichte. Ob Guldin die Stelle bei Pappos kannte, ist bis heute umstritten. Pappos’ Formulierung ist ungenauer, und die Übersetzung seiner Schriften war damals schon mehr als 50 Jahre gedruckt. Im Englischen heißt der Satz deshalb auch Pappus-Guldinus-Satz.

Überlieferung älterer Werke

Für die Geschichte der Mathematik ist die Synagoge vor allem als Spiegel verlorener Schriften wichtig. In Buch VII beschreibt Pappos die Inhalte von 33 Büchern von Euklid, Apollonios, Aristaios und Eratosthenes und gibt die Hilfssätze an, die zum Verständnis nötig sind. So weiß man, wovon etwa Euklids Porismen oder die verlorenen Schriften des Apollonios handelten. In Buch V berichtet Pappos von den 13 halbregelmäßigen Körpern, die Archimedes untersucht hatte und die heute Archimedische Körper heißen. Eine Handschrift seines Kommentars zum zehnten Buch der Elemente hat sich nur in arabischer Übersetzung erhalten.

Im Mittelalter war die Synagoge in Westeuropa fast unbekannt. Das änderte sich, als Federico Commandino sie 1588 ins Lateinische übersetzte. Danach prägte sie die Mathematik des 17. Jahrhunderts: François Viète stützte sich für seine neue Algebra auch auf Pappos, und Descartes und Fermat entwickelten daraus ihre Geometrien. Die maßgebliche Ausgabe mit dem griechischen Text besorgte Friedrich Hultsch in den 1870er-Jahren in Berlin. Die erste Übersetzung in eine moderne Sprache, ins Französische, erschien 1933 von Paul Ver Eecke.

Zeitleiste: Pappos und sein Werk

1. um 290 Geburt in Alexandria (geschätzt)
2. 320 Sonnenfinsternis vom 18. Oktober, die Pappos in seinem Almagest-Kommentar berechnet
3. um 320–340 Entstehung der Synagoge
4. um 350 Tod (geschätzt)
5. 1588 Federico Commandino veröffentlicht die lateinische Übersetzung in Pesaro
6. 1637 Descartes löst in La Géométrie das Problem des Pappos
7. 1640 Guldin veröffentlicht die Schwerpunktregeln in der Centrobaryca
8. 1688 John Wallis veröffentlicht ein in Oxford gefundenes Fragment von Buch II
9. 1876–1878 Friedrich Hultsch gibt den griechischen Text in drei Bänden heraus

Bedeutung und Nachwirkung

Ohne Pappos wüsste man viel weniger über die griechische Mathematik. Die Synagoge machte das Wissen der Antike für die Neuzeit nutzbar, und ihre Aufgaben, vor allem das Problem des Pappos, regten die analytische Geometrie an. Der Satz von Pappos gehört bis heute zum Stoff der projektiven Geometrie. Der Mathematiker George Pólya würdigte 1945 in seinem Buch Schule des Denkens (englisch How to Solve It) Pappos’ Beschreibung von Analyse und Synthese als frühen Versuch einer Lehre vom Problemlösen: Man nimmt an, das Gesuchte sei schon gefunden, und arbeitet von dort rückwärts zu etwas Bekanntem.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath: A History of Greek Mathematics, Band 2, Clarendon Press, Oxford 1921.
• Alexander Jones (Hrsg.): Pappus of Alexandria: Book 7 of the Collection, Springer, New York 1986.
• Paul Ver Eecke: Pappus d’Alexandrie: La Collection Mathématique, 2 Bände, Paris und Brügge 1933.
• Friedrich Hultsch (Hrsg.): Pappi Alexandrini Collectionis, 3 Bände, Berlin 1876–1878.
• MacTutor History of Mathematics: Pappus of Alexandria (englisch)
• Wikipedia: Pappos