Mehrfachintegrale und Kurvenintegrale: Fubini, Polarkoordinaten, Potential

Das Integral einer Funktion einer Variablen misst die Fläche unter einer Kurve. Mit zwei Variablen wird daraus das Volumen unter einer Fläche, mit drei Variablen die Gesamtmasse eines Körpers mit ortsabhängiger Dichte. Die Idee bleibt dieselbe wie bei Riemann-Integral: Man zerlegt in kleine Stücke, summiert und lässt die Stücke schrumpfen. Neu ist, dass man das Integral nicht mehr direkt ausrechnen kann, sondern auf eindimensionale Integrale zurückführen muss. Das leistet der Satz von Fubini.

Dazu kommen zwei Werkzeuge. Mit dem Transformationssatz wechselst du in Koordinaten, die zur Form des Gebiets passen, etwa Polarkoordinaten bei Kreisen. Mit Kurvenintegralen integrierst du entlang eines Wegs, zum Beispiel die Arbeit einer Kraft. Die Voraussetzungen zu Gradient und Jacobi-Matrix stehen auf der Seite Mehrdimensionale Analysis. Hier rechnest du mit stetigen Funktionen und einfachen Gebieten. Die allgemeine Theorie mit dem Lebesgue-Integral findest du auf der Seite Maß und Integral.

Das Doppelintegral

Sei $f$ stetig auf dem Rechteck $R=[a,b]\times [c,d]$. Man zerlegt $R$ in kleine Rechtecke $R_{ij}$ mit Flächeninhalt $\Delta A_{ij}$, wählt in jedem einen Punkt ${\xi }_{ij}$ und bildet die Riemann-Summe $\sum f({\xi }_{ij})\Delta A_{ij}$. Für feiner werdende Zerlegungen konvergiert sie gegen das Doppelintegral ${\iint }_{R}fdA$. Anschaulich ist $f({\xi }_{ij})\Delta A_{ij}$ das Volumen einer dünnen Säule, und das Integral ist das Volumen des Körpers zwischen Rechteck und Fläche $z=f(x,y)$. Für ein allgemeineres Gebiet $G$ integriert man $f·{\mathbf{1}}_G$ über ein umgebendes Rechteck. Mit $f=1$ erhältst du den Flächeninhalt von $G$.

Beweisidee. Für Treppenfunktionen $f(x,y)={\mathbf{1}}_{I\times J}$ ist die Aussage eine Rechnung mit Produkten von Längen: $\left|I\right|·\left|J\right|$ von beiden Seiten. Stetige Funktionen auf einem Rechteck lassen sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren, und beide Seiten sind stetig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz. Der Satz ist die moderne Fassung einer sehr alten Idee, dem Prinzip von Cavalieri: Das Volumen ergibt sich, indem man die Flächeninhalte der Schnitte aufsummiert. Guido Fubini bewies die allgemeine Form 1907.

Koordinatenwechsel

Die Jacobi-Determinante misst, wie stark $\Phi$ Flächen verzerrt. Bei einer linearen Abbildung ist das genau der Faktor, um den der Flächeninhalt wächst (siehe Determinanten). Die wichtigsten Koordinatensysteme:

Für die Polarkoordinaten ist $\det D\Phi =r$ (Rechnung auf der Seite Mehrdimensionale Analysis). Eine Einführung auf Schulniveau gibt die Seite Polarkoordinaten.

Kurven und Bogenlänge

Eine Kurve ist eine stetig differenzierbare Abbildung $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^n$. Der Vektor ${\gamma }^{\prime }(t)$ ist der Geschwindigkeitsvektor, seine Länge $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert$ die Bahngeschwindigkeit. Die Bogenlänge ist

denn ein kleines Wegstück hat die Länge $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert dt$ (Satz des Pythagoras im Kleinen).

Kurvenintegrale

Das erste summiert eine Größe entlang der Kurve auf, etwa die Masse eines Drahts mit der Liniendichte $f$. Das zweite misst, wie viel das Feld längs der Kurve mitläuft; in der Physik ist es die Arbeit einer Kraft $F$ entlang des Wegs. Bei einer geschlossenen Kurve heißt es auch Zirkulation. Kehrt man die Richtung der Kurve um, wechselt das Integral zweiter Art das Vorzeichen, das erster Art nicht. Eine Umparametrisierung, die die Richtung beibehält, ändert beide nicht.

Gradientenfelder und Wegunabhängigkeit

Beweis. Nach der Kettenregel ist $\frac{d}{dt}\phi (\gamma (t))=\nabla \phi (\gamma (t))·{\gamma }^{\prime }(t)$. Damit ist das Kurvenintegral ${\int }_a^b\frac{d}{dt}\phi (\gamma (t))dt=\phi (\gamma (b))-\phi (\gamma (a))$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Wie erkennt man, ob ein Feld ein Potential hat? Ist $F=(F_1,F_2)$ ein Gradientenfeld, gilt nach dem Satz von Schwarz ${\partial }_y{F}_1={\partial }_{xy}\phi ={\partial }_x{F}_2$. Diese Integrabilitätsbedingung ist also notwendig. Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet (zum Beispiel ganz ${ℝ}^2$ oder einer Kreisscheibe) ist sie auch hinreichend.

Der Zusammenhang zwischen Kurven- und Flächenintegralen ist der Satz von Green: Für eine positiv orientierte, geschlossene Kurve $\gamma$ um ein Gebiet $G$ gilt ${\oint }_{\gamma }F·dx={\iint }_G({\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1)dA$. Mit $F=(-y,x)$ ist die rechte Seite ${\iint }_{G}2dA=2·\left|G\right|$, für den Einheitskreis also $2\pi$, wie in Beispiel 8. Mehr dazu auf der Seite Vektoranalysis.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Cavalieri zu Fubini

Die Idee, ein Volumen aus den Flächen seiner Schnitte zu berechnen, ist als Prinzip von Cavalieri alt und wurde schon im 16. Jahrhundert verwendet. Mit der strengen Definition des Integrals durch Riemann wurde daraus ein beweisbarer Satz über iterierte Integrale. Der Italiener Guido Fubini bewies 1907 die allgemeine Fassung, nach der der Satz heute benannt ist, und Leonida Tonelli veröffentlichte zwei Jahre später die Fassung für nichtnegative messbare Funktionen. Das Gauß-Integral $\int e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ kam mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf: Abraham de Moivre lieferte 1733 erste Näherungen, Laplace und Poisson arbeiteten um 1800 daran.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Satz von Fubini
• Wikipedia: Kurvenintegral
• Wikipedia: Gaußsches Fehlerintegral
• Otto Forster: Analysis 3. Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im R^n und Anwendungen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin.
• Guido Fubini: Sugli integrali multipli, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei 16 (1907).