Jost Bürgi

Jost Bürgi (1552–1632) war ein Schweizer Uhrmacher, Instrumentenbauer und Mathematiker aus Lichtensteig im Toggenburg. Über fünf Jahrzehnte arbeitete er für Fürsten: zuerst in Kassel für Landgraf Wilhelm IV. von Hessen, dann in Prag für Kaiser Rudolf II. Neben Uhren, Himmelsgloben und Messgeräten schuf er dort seine mathematischen Werke, vor allem die Progress Tabulen von 1620, eine Tafel, mit der sich Multiplikationen auf Additionen zurückführen lassen.

Bürgi besuchte nur die Elementarschule und kannte kein Latein. Trotzdem wurde er Hofmathematiker und arbeitete mit Johannes Kepler am selben Hof. Seine Tafel erschien sechs Jahre nach der von John Napier, geht aber vermutlich auf Arbeiten ab etwa 1588 zurück. Seine Laufbahn verbindet die Mathematik des 16. mit der Mathematik des 17. Jahrhunderts.

Herkunft und Ausbildung in Lichtensteig

Bürgi kam am 28. Februar 1552 in Lichtensteig zur Welt, einem Dorf mit damals etwa 400 Einwohnern, das zum Herrschaftsgebiet der Fürstabtei St. Gallen gehörte. In alten Quellen heißt er auch Jobst, Joost oder Justus, lateinisch Byrgius. Er lernte Lesen und Rechnen, aber nicht Latein. Wo er sein Handwerk erlernte, ist nicht gesichert, vermutlich war es eine Lehre als Schmied und Uhrmacher.

Kassel: Hofuhrmacher und Astronom des Landgrafen

Am 25. Juli 1579 stellte Landgraf Wilhelm IV. von Hessen-Kassel Bürgi als Hofuhrmacher an. In der Kasseler Sternwarte des Landgrafen baute und verbesserte er die Messinstrumente und arbeitete mit dem Astronomen Christoph Rothmann zusammen. Nach Rothmanns Weggang um 1590 wurde er Hofmathematiker und Astronom, 1591 erhielt er das Bürgerrecht. In einem Brief an Tycho Brahe nannte der Landgraf ihn einen „zweiten Archimedes“.

Genaue Uhren und Himmelsgloben

Bürgis Uhren zeigten außer den Stunden auch Minuten und Sekunden an. Nach einem Brief des Landgrafen an Brahe vom 14. April 1586 wich eine Kasseler Uhr weniger als eine Minute pro Tag ab. Dazu trug die Kreuzschlaghemmung bei, die das Uhrwerk gleichmäßiger antreibt. So ließ sich der Durchgang eines Sterns auf die Sekunde festhalten und seine Lage am Himmel berechnen. Berühmt sind auch seine mechanischen Himmelsgloben, auf denen ein Uhrwerk den Lauf des Himmels nachbildet. Im Juli 1592 brachte Bürgi einen solchen Globus persönlich zu Kaiser Rudolf II. nach Prag. Mehrere Stücke sind erhalten, etwa in Kassel, Paris, Weimar und Zürich.

Prag: am Kaiserhof und mit Kepler

Im Dezember 1604 berief ihn Rudolf II. an seinen Hof und richtete ihm eine Werkstatt auf dem Hradschin ein. Dort wirkte auch Kepler, der seit 1601 kaiserlicher Mathematiker war. Beide arbeiteten bis zu Rudolfs Tod 1612 am selben Hof. Kepler verdankte Bürgi eine Einführung in die Algebra und drängte ihn, seine Logarithmenarbeit aufzuschreiben. Das Manuskript liegt zum großen Teil in Keplers Handschrift vor. Unter Kaiser Matthias blieb Bürgi in Prag, 1631 kehrte er nach Kassel zurück und starb dort am 31. Januar 1632.

Triangulationsinstrument und Proportionalzirkel

Für ein Instrument, das die Triangulation der Landvermessung um eine Entfernungsmessung erweiterte, erhielt Bürgi 1592 ein Patent (nach anderen Angaben 1602). Beschrieben hat es 1648 sein Schwager und Schüler Benjamin Bramer. Ein von Bürgi gebauter Reduktionszirkel, auch Proportionalzirkel genannt, vergrößert und verkleinert Strecken im festen Verhältnis. Auch Galileo Galilei baute ein solches Gerät, wer es zuerst erfand, ist offen.

Der Kunstweg: Sinuswerte durch Addieren und Halbieren

Astronomen brauchten feine Sinustafeln. Seit Ptolemäus berechnete man die Werte aus Sehnen im Kreis. Bürgi entwickelte um 1586/87 in Kassel ein ganz anderes Verfahren, den Kunstweg. Es kommt mit Additionen und Halbierungen aus und konvergiert schnell. Beschrieben ist es im Fundamentum Astronomiae, das Bürgi im Juli 1592 Kaiser Rudolf II. überreichte. Die Handschrift galt als verschollen, bis Menso Folkerts sie 2013 in der Universitätsbibliothek Breslau (Wrocław) fand.

Warum das stimmt, begründete Bürgi nicht. Einen Beweis mit Mitteln der linearen Algebra lieferten erst Folkerts, Launert und Thom (2016). Das Fundamentum enthält eine Sinustafel in Schritten von einer Bogenminute. Eine noch feinere Tafel, der Canon Sinuum, wurde nie gedruckt und ist verloren.

Die Progress Tabulen: Logarithmen in Rot und Schwarz

Schon vor den Logarithmen half sich Bürgi mit der Prosthaphärese, die in der Mathematik des 16. Jahrhunderts erklärt ist: Aus sin a · sin b = ½ · [cos(a − b) − cos(a + b)] wird ein Produkt zu einer Differenz, zum Beispiel sin 20° · sin 40° = ½ · (cos 20° − cos 60°) ≈ ½ · (0,93969 − 0,5) ≈ 0,21985.

Um 1588, so datieren die meisten Historiker, begann Bürgi mit einer Tafel für beliebige Zahlen, die er für seine astronomischen Rechnungen brauchte. Gedruckt wurde sie erst 1620 in Prag als Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen, auf Drängen Keplers. Zwei Folgen laufen nebeneinander, eine geometrische mit gleichen Faktoren und eine arithmetische mit gleichen Schritten. Bürgi beginnt bei 100.000.000, um ohne Dezimalbrüche auszukommen, und multipliziert immer wieder mit 1,0001, addiert also ein Zehntausendstel. Neben diese schwarzen Zahlen setzte er die Folge 0, 10, 20, 30 und so weiter, die roten Zahlen.

Die Tafel reicht bis 1.000.000.000, wozu die rote Zahl 230.270,022 gehört: rund 23.000 Einträge auf 58 Seiten. In heutiger Schreibweise gehört zur roten Zahl R die schwarze Zahl S mit

Die schwarzen Zahlen sind also Werte einer Exponentialfunktion, die roten ihre Logarithmen. Bürgis Tafel ist damit eine Tafel der Umkehrung: Man sucht die Zahl zum Logarithmus. Die roten Zahlen sind außerdem fast genau das Hunderttausendfache des natürlichen Logarithmus der Zahl S/10⁸, mit einer Abweichung von nur 0,005 %.

Meist liegt eine gesuchte Zahl zwischen zwei Einträgen. Weil sich benachbarte schwarze Zahlen nur um ein Zehntausendstel unterscheiden, genügt es, geradlinig zu interpolieren. Der Fehler beträgt höchstens etwa 1,25 · 10⁻⁹ des Wertes. Napier ging den umgekehrten Weg: Sein Faktor lag knapp unter 1 (0,9999999), und sein Logarithmus nahm ab, wenn die Zahl wuchs. Bürgis Tafel blieb fast unbeachtet: Die Gebrauchsanleitung kam erst 1856 in den Druck, und von der Ausgabe von 1620 sind nur wenige Exemplare erhalten.

Bürgi und Napier: Wer erfand die Logarithmen?

Sicher ist, dass Napier seine Tafel 1614 veröffentlichte und Bürgi erst 1620. Bürgi arbeitete aber nach den meisten Darstellungen schon um 1588 an seiner Methode, nachweislich vor 1610. Kepler schrieb 1627 in der Einleitung der Rudolfinischen Tafeln, Bürgi sei viele Jahre vor Napiers Werk auf die Logarithmen gekommen, habe sie aber nicht veröffentlicht. Die Methoden unterscheiden sich so deutlich, dass die Forschung sie als unabhängig ansieht.

Die Bewertung schwankt. Ältere Darstellungen wie die Neue Deutsche Biographie von 1955 sehen bei Napier den Beginn der modernen Rechenkunst mit Logarithmen. Andere betonen, dass Bürgis Tafel begrifflich modern wirkt. Manche Fachleute meinen, ihm habe noch ein Begriff der logarithmischen Funktion gefehlt, und nennen ihn einen unabhängigen zweiten Entdecker, nicht den Erfinder. In der Praxis setzte sich Napiers Weg durch, in der Fassung von Henry Briggs mit der Basis 10 (1624). Mehr dazu steht auf der Lernseite Logarithmen.

Zeitleiste: Jost Bürgi

1. 1552 Geburt in Lichtensteig am 28. Februar
2. 1579 Hofuhrmacher des Landgrafen Wilhelm IV. in Kassel am 25. Juli
3. 1586 Brief des Landgrafen an Tycho Brahe über Bürgis genaue Uhr; Kunstweg (1586/87)
4. 1591 Bürgerrecht in Kassel; Uhr mit kopernikanischem Planetenmodell
5. 1592 Fundamentum Astronomiae und Himmelsglobus für Rudolf II.; Patent für das Triangulationsinstrument
6. 1604 Berufung an den Kaiserhof in Prag im Dezember
7. 1620 Progress Tabulen erscheinen in Prag
8. 1631 Rückkehr nach Kassel; Tod dort am 31. Januar 1632

Bedeutung und Nachwirkung

Bürgis Mathematik blieb lange weitgehend unbekannt. Die Wiederentdeckung ist jung: 2013 tauchte das Fundamentum Astronomiae auf, und 2015 erschien eine englische Ausgabe der Progress Tabulen mit Kommentar von Kathleen Clark. Logarithmen begegnen uns heute im pH-Wert, in Dezibel und in der Richterskala, der Logarithmusrechner rechnet sie aus. In Kassel erinnert eine Gedenktafel an Bürgi, sein Grab ist nicht erhalten.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Fritz Staudacher: Jost Bürgi, Kepler und der Kaiser. Uhrmacher, Instrumentenbauer, Astronom, Mathematiker 1552–1632, Verlag Neue Zürcher Zeitung, Zürich 2013.
• Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom: Jost Bürgi’s method for calculating sines. In: Historia Mathematica 43 (2016), S. 133–147.
• Kathleen Clark: Jost Bürgi’s Aritmetische und Geometrische Progreß Tabulen (1620). Edition and Commentary, Birkhäuser, 2015.
• MacTutor History of Mathematics: Jost Bürgi (englisch)
• Historisches Lexikon der Schweiz: Bürgi, Jost
• Deutsche Biographie: Bürgi, Jost (Neue Deutsche Biographie, Band 2, 1955)