Hypergeometrische Verteilung: Formel, Lotto, Abitur

Beim Lotto werden 6 Kugeln aus einer Trommel mit 49 Kugeln gezogen, und keine kommt zweimal vor. Eine Qualitätsprüfung nimmt 8 Teile aus einer Lieferung und legt sie nicht zurück. In beiden Fällen wird ohne Zurücklegen gezogen. Dann sind die einzelnen Ziehungen nicht unabhängig, und die Binomialverteilung passt nicht genau. Die richtige Verteilung heißt hypergeometrische Verteilung.

Du kannst die Seite lesen, wenn du die Binomialkoeffizienten kennst. Zuerst kommt die Idee in einem Bild, dann die Formel, dann zwei Anwendungen und ein Abiturbeispiel. Wer die Rechnungen prüfen möchte, nutzt den Kombinatorik-Rechner.

Ziehen ohne Zurücklegen

Das Urnenmodell zeigt die Idee. In einer Urne liegen N Kugeln, davon M markierte (zum Beispiel rote). Du ziehst n Kugeln, ohne eine zurückzulegen. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele der gezogenen Kugeln markiert sind. Man schreibt $X \sim H (N; M; n)$ .

Das Urnenmodell: Aus N = 10 Kugeln mit M = 4 markierten werden n = 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X zählt die markierten Kugeln, hier k = 2.

Der Unterschied zur Binomialverteilung: Mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für „markiert“ bei jedem Zug gleich. Ohne Zurücklegen ändert sie sich, denn jede gezogene Kugel verändert den Inhalt der Urne.

Die Formel

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich mit der Laplace-Formel herleiten: günstige Fälle durch mögliche Fälle. Alle Stichproben vom Umfang n sind gleich wahrscheinlich. Es gibt $(\binom{N}{n})$ davon. Günstig sind die Stichproben mit genau k markierten Kugeln: Du wählst k der M markierten und n − k der N − M nicht markierten Kugeln.

Lotto 6 aus 49

Beim Lotto sind N = 49 Zahlen im Spiel, davon M = 6 gezogene („markierte“) Zahlen. Du tippst n = 6 Zahlen. X ist die Zahl deiner Richtigen. Es gibt $(\binom{49}{6}) = 13.983.816$ mögliche Tipps (siehe auch Lotto in der Kombinatorik).

Wahrscheinlichkeiten beim Lotto 6 aus 49
Richtige k	Anzahl der Tipps	Wahrscheinlichkeit
0	6.096.454	43,60 %
1	5.775.588	41,30 %
2	1.851.150	13,24 %
3	246.820	1,765 %
4	13.545	0,0969 %
5	258	0,00184 %
6	1	1 zu 13.983.816

Die Zahl der Tipps ergibt sich aus der Formel. Für drei Richtige: $(\binom{6}{3}) \cdot (\binom{43}{3}) = 20 \cdot 12.341 = 246.820$ . Die Summe aller Zeilen ist 13.983.816.

Qualitätskontrolle

Aus einer Lieferung von 50 Teilen, von denen 5 defekt sind, werden 8 Teile geprüft. Dann ist N = 50, M = 5 und n = 8. Mit X als Zahl der defekten Teile in der Stichprobe gilt:

P (X = 0) = \frac{(\binom{45}{8})}{(\binom{50}{8})} = \frac{215.553.195}{536.878.650} \approx 0,4015

P (X = 1) = \frac{5 \cdot (\binom{45}{7})}{(\binom{50}{8})} = \frac{226.898.100}{536.878.650} \approx 0,4226

Qualitätskontrolle: 50 Teile, davon 5 defekt, 8 werden geprüft. Mit 40,1 % ist kein defektes Teil dabei (hervorgehoben). Mit 59,9 % findet die Prüfung mindestens eins.

Mit der Gegenwahrscheinlichkeit folgt: Die Prüfung findet mit P(X ≥ 1) = 1 − 0,4015 ≈ 0,5985 mindestens ein defektes Teil. In gut 40 % der Fälle merkt die Kontrolle nichts, obwohl 10 % der Lieferung defekt sind.

Erwartungswert und Varianz

Auch ohne die ganze Verteilung kannst du den Mittelwert angeben: Der Anteil markierter Kugeln in der Urne ist M/N, also sind in n Zügen im Mittel n · M/N markierte zu erwarten. Mehr zu den Kenngrößen steht bei den Zufallsgrößen.

Wird fast die ganze Urne gezogen (n = N), ist die Varianz null, denn dann steht das Ergebnis fest. Die Endlichkeitskorrektur zeigt das.

Vergleich mit der Binomialverteilung

Zieht man mit Zurücklegen, ist X binomialverteilt mit $p = M / N$ :

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Die Binomialverteilung ist einfacher zu rechnen. Sie ist eine gute Näherung, wenn die Stichprobe klein ist gegenüber der Grundgesamtheit, denn dann ändert das Ziehen den Inhalt der Urne kaum. Als Faustregel nennen viele Bücher n/N < 0,05. Die genaue Grenze hängt vom Lehrbuch ab.

Gute Näherung: N = 100, M = 20, n = 5 (n/N = 5 %)
k	hypergeometrisch	binomial mit p = 0,2
0	0,3193	0,3277
1	0,4201	0,4096
2	0,2073	0,2048
3	0,0478	0,0512

Anders bei einer großen Stichprobe: Bei N = 50, M = 10 und n = 10 ist n/N = 20 %. Die hypergeometrische Verteilung streut weniger, ihre Varianz ist 1,31 gegen 1,6 bei der Binomialverteilung (Faktor 40/49 ≈ 0,82).

Gleiche Anteile, verschiedene Modelle: N = 50, M = 10, n = 10 (hypergeometrisch) gegen n = 10, p = 0,2 (binomial). Die hypergeometrische Verteilung streut weniger.

Abituraufgabe: Eingangskontrolle

So könnte eine Aufgabe im Abitur aussehen. Versuche sie zuerst selbst.

Aufgabe: Displays

Eine Lieferung enthält 40 Displays, davon sind 4 defekt. Die Eingangskontrolle entnimmt zufällig 5 Displays, ohne sie zurückzulegen. X ist die Zahl der defekten Displays in der Stichprobe. (a) Begründe, dass X hypergeometrisch verteilt ist, und nenne die Parameter. (b) Berechne P(X = 0), P(X = 1) und P(X = 2). (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens ein defektes Display gefunden? (d) Bestimme E(X) und die Standardabweichung. (e) Die Lieferung wird abgelehnt, wenn mindestens ein defektes Display gefunden wird. Wie viele Displays müssen mindestens geprüft werden, damit die Lieferung mit mindestens 90 % abgelehnt wird? (f) Darf man X näherungsweise als binomialverteilt mit p = 0,1 annehmen?

Lösung anzeigen

(a) Es wird ohne Zurücklegen aus einer Menge mit zwei Sorten gezogen (defekt und nicht defekt). Also ist $X \sim H (40; 4; 5)$ mit N = 40, M = 4 und n = 5.

(b) Es ist $(\binom{40}{5}) = 658.008$ . Dann gilt:

P (X = 0) = \frac{(\binom{36}{5})}{658.008} = \frac{376.992}{658.008} \approx 0,5729

P (X = 1) = \frac{4 \cdot (\binom{36}{4})}{658.008} = \frac{235.620}{658.008} \approx 0,3581

P (X = 2) = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{36}{3})}{658.008} = \frac{42.840}{658.008} \approx 0,0651

(d) E(X) = 5 · 4/40 = 0,5. Die Varianz ist 5 · 0,1 · 0,9 · 35/39 ≈ 0,404, die Standardabweichung also etwa 0,64.

(e) Gesucht ist das kleinste n mit 1 − P(X = 0) ≥ 0,9, also $(\binom{36}{n}) : (\binom{40}{n}) \leq 0,1$ . Für n = 16 ist der Wert 0,1163, die Ablehnung also 88,4 %. Für n = 17 ist er 0,0969 und die Ablehnung 90,3 %. Es müssen mindestens 17 Displays geprüft werden.

(f) Hier ist n/N = 5/40 = 12,5 %, deutlich über 5 %. Die Näherung ist grob: Mit Binomialverteilung wäre P(X = 2) = 10 · 0,1² · 0,9³ = 0,0729 statt 0,0651. Besser rechnest du hypergeometrisch.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Lotterien und Stichproben

Ziehungen ohne Zurücklegen waren früh ein Thema, weil Lotterien so funktionieren. Leonhard Euler untersuchte am 10. März 1763 vor der Berliner Akademie die Wahrscheinlichkeiten in der Genueser Lotterie, bei der aus 90 Zahlen 5 gezogen werden. Sein Vortrag wurde allerdings erst 1862 gedruckt. Seine Zählweise entspricht der Sache nach der hypergeometrischen Verteilung. Der Name hängt mit der gaußschen hypergeometrischen Funktion zusammen, mit der sich viele Kenngrößen der Verteilung ausdrücken lassen.

Heute begegnet dir die Verteilung bei Stichproben aus kleinen Grundgesamtheiten, in der Qualitätssicherung und bei Auswahlverfahren. Wie man mit solchen Stichproben Behauptungen prüft, zeigt die Seite Hypothesentest.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich in der Aufgabe, dass ich hypergeometrisch rechnen muss?

Am Wort „ohne Zurücklegen“ oder an einer gleichzeitigen Auswahl (zum Beispiel eine Stichprobe aus einer Lieferung). Bei „mit Zurücklegen“ oder bei sehr großer Grundgesamtheit genügt die Binomialverteilung.

Warum steht im Nenner der Binomialkoeffizient N über n?

Er zählt alle möglichen Stichproben vom Umfang n. Ihre Reihenfolge spielt keine Rolle, und alle sind gleich wahrscheinlich. Der Zähler zählt davon die günstigen.

Was bedeutet die Endlichkeitskorrektur?

Sie berücksichtigt, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen weniger Zufall im Spiel ist als beim Ziehen mit Zurücklegen. Je größer der Anteil n/N der gezogenen Kugeln, desto kleiner die Varianz.

Ist die Lotto-Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige wirklich so klein?

Ja. Es gibt 13.983.816 mögliche Tipps, und nur einer ist ein Volltreffer. Die Wahrscheinlichkeit ist 1 zu 13.983.816, etwa 0,0000072 %.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Hypergeometrische Verteilung
Wikipedia: Lotto
Wikipedia: Urnenmodell
Leonhard Euler: Réflexions sur une espèce singulière de loterie nommée Loterie Génoise, Vortrag vor der Berliner Akademie 1763, gedruckt in den Opera postuma, 1862 (Eneström-Index E812).

Ziehen ohne Zurücklegen

Die Formel

Lotto 6 aus 49

Qualitätskontrolle

Erwartungswert und Varianz

Vergleich mit der Binomialverteilung

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