Babylonisches Wurzelziehen: Arbeitsblatt mit Lösungen

Für die Lehrkraft: Steckbrief

Klassenstufe: 8 bis 9
Zeitbedarf: 45 bis 60 Minuten
Lernziele: Zahlen im Sechzigersystem lesen und in Dezimalzahlen umrechnen, die Diagonale im Quadrat mit √2 verbinden, das Heron-Verfahren (babylonisches Wurzelziehen) als Folge von Mittelwerten anwenden, eine Näherung mit der Probe prüfen.
Material: dieses Blatt, Taschenrechner (mit Speichertaste oder Ans-Taste). Optional: Tabellenkalkulation für das Verfahren.
Bezug zur Lernseite: Heron-Verfahren, Hintergrund zur Tafel bei YBC 7289

Ablaufvorschlag

Einstieg (5 Minuten): Frage: „Wie rechnet ein Taschenrechner eine Wurzel aus, wenn er nur plus, minus, mal und geteilt kann?“
Geschichte und Abbildung (10 Minuten): Text lesen, das Sechzigersystem an Uhrzeit und Winkeln erklären, die Schreibweise 1;24,51,10 klären.
Aufgaben 1 und 2 (15 Minuten), danach Aufgaben 3 bis 5 (20 Minuten) in Partnerarbeit.
Aufgabe 6 als Gespräch oder Hausaufgabe.

Eine Schülertafel aus Babylon

Vor etwa 3.700 bis 3.800 Jahren schrieben Kinder und Jugendliche in Babylonien Rechenaufgaben auf Tontafeln. Eine davon wird heute an der Yale-Universität in den USA aufbewahrt. Sie hat die Nummer YBC 7289, ist klein und rund und liegt gut in der Hand. Darauf ist ein Quadrat mit seinen beiden Diagonalen gezeichnet. An einer Seite steht die Zahl 30. An der Diagonale stehen zwei weitere Zahlen.

Die Babylonier zählten nicht in Zehnern, sondern in Sechzigern. In der Zahl 1;24,51,10 trennt das Semikolon die ganzen Zahlen von den Sechzigsteln. Die erste Stelle nach dem Semikolon zählt Sechzigstel, die nächste Stelle Dreitausendsechshundertstel und so weiter. Es gilt also 1;24,51,10 = 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000.

Diese Zahl ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 1, also √2. Die zweite Zahl, 42;25,35, ist die Diagonale des Quadrats mit der Seite 30. Wie die Schreiber auf diesen Wert kamen, sagt die Tafel nicht. Man kann ihn mit dem Heron-Verfahren finden. Es heißt auch babylonisches Wurzelziehen, weil man es für Babylon schon früh vermutet. Ob die Schreiber damals genau so rechneten, ist nicht belegt.

Skizze der Schülertafel YBC 7289 (um 1800 bis 1600 v. Chr.): Die Seite des Quadrats ist 30, die Diagonale 42;25,35. Die Zahl 1;24,51,10 ist der Faktor, mit dem die Seite zur Diagonale wird, also √2.

Das Verfahren selbst ist einfach. Du willst die Wurzel aus einer Zahl a finden. Du rätst einen Startwert x. Dann bildest du den Mittelwert aus x und a : x. Das ist der neue Wert. Mit ihm machst du denselben Schritt noch einmal, immer wieder.

Aufgaben

Übersetze die Sechzigerzahlen in Dezimalzahlen mit sechs Nachkommastellen: (a) 1;24, (b) 1;24,51, (c) 1;24,51,10. Vergleiche mit $\sqrt{2} \approx 1,414214$ .
Das Quadrat auf der Tafel hat die Seite 30. (a) Berechne die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras auf vier Nachkommastellen. (b) Wandle 42;25,35 in eine Dezimalzahl um. (c) Vergleiche beide Ergebnisse.
Berechne $\sqrt{2}$ mit dem Heron-Verfahren. Startwert 1, Rechenregel: neuer Wert = (alter Wert + 2 : alter Wert) : 2. Gib die drei ersten Schritte auf sechs Nachkommastellen an und vergleiche mit $\sqrt{2} \approx 1,414214$ .
Rechteckbild: Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 2 hat die Seiten x und 2 : x. Schreibe für Startwert 1 und die ersten drei Schritte beide Seiten auf. Was passiert mit dem Rechteck? Warum nähern sich die Seiten einander an?
Berechne $\sqrt{5}$ mit Startwert 2 in zwei Schritten (sechs Nachkommastellen). Mache die Probe: Quadriere dein Ergebnis. Wie nah kommst du an 5?
Wo begegnet uns das Sechzigersystem heute noch? Warum ist 60 eine praktische Zahl? Schreibe außerdem 1,5 und 2,25 als Sechzigerzahl auf, in der Form „ganze Zahl; Sechzigstel“.

Lösungen

(a) 1;24 = 1 + 24/60 = 1,400000. (b) 1;24,51 = 1 + 24/60 + 51/3600 ≈ 1,414167. (c) 1;24,51,10 = 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 ≈ 1,414213. Zum Vergleich: $\sqrt{2} \approx 1,414214$ . Der Wert der Tafel weicht um weniger als ein Millionstel ab.
(a) $d = \sqrt{30^{2} + 30^{2}} = \sqrt{1800} \approx 42,4264$ . (b) 42;25,35 = 42 + 25/60 + 35/3600 ≈ 42 + 0,416667 + 0,009722 = 42,426389. (c) Beide Werte stimmen auf vier Nachkommastellen überein (42,4264). Der Unterschied ist etwa 0,00002. Die Zahl auf der Tafel ist 30 mal 1;24,51,10, also 30 mal √2.
Startwert 1. Schritt 1: (1 + 2 : 1) : 2 = 1,5. Schritt 2: (1,5 + 2 : 1,5) : 2 = (1,5 + 1,333333) : 2 ≈ 1,416667. Schritt 3: (1,416667 + 2 : 1,416667) : 2 = (1,416667 + 1,411765) : 2 ≈ 1,414216. Der dritte Wert stimmt mit 1,414214 schon auf fünf Nachkommastellen überein. Als Brüche sind es 3/2, 17/12 und 577/408.
Die Seiten nach den Schritten: Start 1 und 2, danach 1,5 und 1,333333, danach 1,416667 und 1,411765, danach 1,414216 und 1,414211. Der Flächeninhalt bleibt immer 2. Das Rechteck wird dem Quadrat immer ähnlicher. Erwartungshorizont zur Begründung: Ist x zu klein, dann ist 2 : x zu groß, und umgekehrt. Der Mittelwert liegt dazwischen und ist ein besserer Wert. Die beiden Seiten werden so einander angeglichen. Wenn sie gleich sind, ist das Rechteck ein Quadrat mit der Seite √2.
Startwert 2. Schritt 1: (2 + 5 : 2) : 2 = (2 + 2,5) : 2 = 2,25. Schritt 2: (2,25 + 5 : 2,25) : 2 = (2,25 + 2,222222) : 2 ≈ 2,236111. Probe: ${2,236111}^{2} \approx 5,000193$ . Das ist schon sehr nah an 5. Zum Vergleich: $\sqrt{5} \approx 2,236068$ .
Erwartungshorizont: Eine Stunde hat 60 Minuten, eine Minute 60 Sekunden. Der Vollwinkel hat 360 Grad, das ist 6 mal 60, und Winkel werden in Minuten und Sekunden geteilt. Die Zahl 60 hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb lassen sich viele Brüche ohne Rest schreiben. 1,5 = 1;30 (denn 30/60 = 0,5). 2,25 = 2;15 (denn 15/60 = 0,25).

Hinweise für die Lehrkraft

Typische Schwierigkeiten: Das Semikolon wird als Dezimalkomma gelesen („1;24 ist 1,24“). Statt durch 60 wird mit 60 gerechnet. Beim Heron-Verfahren wird das Halbieren vergessen, oder 2 : x wird mit x : 2 vertauscht. Die Rundung zwischen den Schritten verfälscht das Ergebnis, daher mit der Ans-Taste weiterrechnen.
Leichter: Aufgaben 1, 3 und 6, die Dezimalwerte der Zwischenschritte vorgeben.
Schwerer: Mit Brüchen rechnen: 3/2, 17/12 und 577/408. Es gilt $(17 / 12)^{2} = 2 + 1 / 144$ und $(577 / 408)^{2} = 2 + 1 / 166.464$ . Die Zahl 577/408 hat die Sechzigerdarstellung 1;24,51,10,35 … und stimmt damit bis zur dritten Stelle mit der Tafel überein. Ob die Schreiber so gerechnet haben, ist nicht belegt. Außerdem: Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich bei diesem Verfahren ungefähr mit jedem Schritt.
Quellenlage: Die Tafel YBC 7289 stammt aus der altbabylonischen Zeit (um 1800 bis 1600 v. Chr.) und dürfte eine Schülerübung sein. Die Tafel nennt keine Rechenweise. Heron von Alexandria beschrieb das Verfahren im 1. Jahrhundert n. Chr., die Bezeichnung „babylonisches Wurzelziehen“ ist üblich, für die Babylonier aber nicht sicher belegt.
Weiterführung: Das Verfahren in einer Tabellenkalkulation für a = 3, 7, 10 programmieren. Mehr zum Wurzelziehen bei Heron von Alexandria, zum Sechzigersystem bei der babylonischen Mathematik und den Zahlensystemen. Übungen bei Quadratzahlen und Wurzeln.

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