Differenzengleichungen: Aufgaben mit Lösungen

Eine Differenzengleichung sagt dir, wie du aus einem Wert den nächsten bekommst. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie mischen. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt, die Lösungen blendest du am Bildschirm ein oder aus.

Das brauchst du

• Glieder berechnen: Setze x_n in die Regel x_n+1 = a · x_n + b ein und rechne Schritt für Schritt. Steht die Regel als Änderung da, x_n+1 − x_n = c · x_n + b, dann ist a = 1 + c.
• Fixpunkt: Ein Fixpunkt x* ändert sich nicht mehr, also gilt x* = a · x* + b und damit x* = b : (1 − a) für a ≠ 1. Die Probe: a · x* + b muss wieder x* ergeben.
• Explizite Formel: Der Abstand zum Fixpunkt wird in jedem Schritt mit a malgenommen, also ist x_n = x* + aⁿ · (x₀ − x*).
• Langzeitverhalten: Für |a| < 1 nähert sich die Folge dem Fixpunkt (sie konvergiert). Für a > 1 wächst der Abstand, und die Folge läuft vom Fixpunkt weg. Für a ≤ −1 springt sie abwechselnd über und unter den Fixpunkt und nähert sich ihm nicht (sie schwingt).
• Sachaufgaben: Prozente werden zum Faktor a: Bei 20 % Abbau pro Tag bleiben 80 %, also a = 0,8, bei 10 % Zuwachs ist a = 1,1. Eine feste Dosis, Einzahlung oder Rate ist b, ein Fang oder eine Abhebung ist ein negatives b.

Die Erklärungen stehen auf der Seite Differenzengleichungen, dazu Fixpunkt, explizite Lösung und Verhalten je nach a. Die vier Wachstumsmodelle stehen bei den Wachstumsmodellen, die stetige Version bei den Differentialgleichungen.